2025年高考数学模拟试卷及答案(逻辑推理专题训练)

2025年高考数学模拟及答案(逻辑推理专题训练)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题\(p:\existsx\in\mathbb{R},x^2-2x+3\leq0\)，则命题\(\negp\)为（）A.\(\forallx\in\mathbb{R},x^2-2x+3>0\)B.\(\forallx\in\mathbb{R},x^2-2x+3\geq0\)C.\(\existsx\in\mathbb{R},x^2-2x+3>0\)D.\(\existsx\in\mathbb{R},x^2-2x+3\geq0\)2.设\(a,b\in\mathbb{R}\)，则“\(a^3>b^3\)”是“\(a>b\)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某超市为促销设计了“满减券”活动：单日消费满200元减20元，满400元减50元，满600元减90元，满800元减140元。观察减价金额的规律，推测消费满1000元时可减（）A.180元B.200元C.210元D.230元4.已知命题\(p:\)若\(a>b\)，则\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)；命题\(q:\)函数\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的定义域为\((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\)。则下列命题中为真命题的是（）A.\(p\landq\)B.\(p\land\negq\)C.\(\negp\landq\)D.\(\negp\land\negq\)5.平面几何中，若正三角形的边长为\(a\)，则其内切圆半径\(r=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)。类比到立体几何中，若正四面体的棱长为\(a\)，则其内切球半径\(R\)为（）A.\(\frac{\sqrt{6}}{12}a\)B.\(\frac{\sqrt{6}}{6}a\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{12}a\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{6}a\)6.用反证法证明命题“若\(a,b\in\mathbb{N}^\)，且\(ab\)为偶数，则\(a\)或\(b\)为偶数”时，假设的内容应为（）A.\(a\)为奇数且\(b\)为奇数B.\(a\)为奇数或\(b\)为奇数C.\(a\)为偶数且\(b\)为偶数D.\(a\)为偶数或\(b\)为偶数7.演绎推理“因为指数函数\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）是增函数，而\(y=(\frac{1}{2})^x\)是指数函数，所以\(y=(\frac{1}{2})^x\)是增函数”的结论显然错误，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.以上都不对8.已知\(A,B,C,D\)四人参加数学竞赛，成绩互不相同。甲说：“A是第一名，B是第二名”；乙说：“C是第一名，D是第三名”；丙说：“A是第二名，D是第四名”。若每人只说对了一半，则四人的实际名次从第一到第四依次为（）A.C,A,D,BB.C,D,A,BC.A,C,B,DD.A,B,C,D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.用数学归纳法证明\(1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)时，当\(n=k+1\)时，左边需在\(n=k\)的基础上加上的项是__________。10.已知“\(|x-1|<a\)”是“\(x^2-2x-3<0\)”的充分不必要条件，则实数\(a\)的取值范围是__________。11.甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是医生，一人是律师。已知：①甲和教师不同岁；②教师比乙年龄小；③丙比律师年龄大。则甲的职业是__________。12.观察下列等式：\(1^3=1^2\)\(1^3+2^3=(1+2)^2\)\(1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2\)……推测第\(n\)个等式为__________。三、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（12分）已知\(a,b,c\in\mathbb{R}\)，且\(a+b+c>0\)，\(ab+bc+ca>0\)，\(abc>0\)。用反证法证明：\(a,b,c\)均为正数。14.（14分）已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)（\(n\in\mathbb{N}^\)）。（1）计算\(a_2,a_3,a_4\)，并猜想\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。15.（14分）某班级举办逻辑推理比赛，甲、乙、丙、丁四位同学进入决赛，评委给出四个提示：①若甲不是冠军，则乙是亚军；②乙和丙的名次不相邻；③丁的名次在丙之前；④冠军和亚军的分数之和大于季军和第四名的分数之和。若四位同学名次各不相同，且提示①~④均为真，求四人的名次（从冠军到第四名）。16.（16分）已知命题\(p:\)关于\(x\)的方程\(x^2-2mx+m^2-1=0\)有两个不相等的正根；命题\(q:\)函数\(f(x)=\log_2(x^2-2mx+5)\)的定义域为\(\mathbb{R}\)。若\(p\lorq\)为真，\(p\landq\)为假，求实数\(m\)的取值范围。17.（16分）如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(E\)是\(PD\)的中点。（1）证明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）若\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)，求三棱锥\(E-ACD\)的体积。（注：本题需结合逻辑推理说明线面平行的判定依据及体积计算的关键步骤）18.（18分）已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，其图像在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(y=3x-1\)，且\(f(x)\)在\(x=-2\)处有极值。（1）求\(a,b,c\)的值；（2）若\(x\in[-3,2]\)，求\(f(x)\)的最大值和最小值；（3）通过归纳\(f(x)\)在区间\([n,n+1]\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）上的单调性规律，推测\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的整体单调性，并证明你的结论。答案与解析一、单项选择题1.答案：A解析：特称命题的否定是全称命题，“\(\leq\)”的否定是“\(>\)”，故\(\negp:\forallx\in\mathbb{R},x^2-2x+3>0\)。2.答案：C解析：由于函数\(y=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增，故\(a^3>b^3\iffa>b\)，为充要条件。3.答案：C解析：观察减价金额：20,50,90,140，相邻差值为30,40,50，推测下一个差值为60，故140+60=210元。4.答案：C解析：命题\(p\)为假（如\(a=1,b=-1\)），命题\(q\)为真（解\(x^2-2x-3\geq0\)得定义域），故\(\negp\landq\)为真。5.答案：A解析：平面正三角形内切圆半径\(r=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)（面积\(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{1}{2}\times3a\timesr\)）；类比正四面体，体积\(V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=\frac{1}{3}\times4\times\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\timesR\)，解得\(R=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)。6.答案：A解析：反证法需假设原命题结论的否定，“\(a\)或\(b\)为偶数”的否定是“\(a\)且\(b\)均为奇数”。7.答案：A解析：大前提错误，指数函数\(y=a^x\)当\(0<a<1\)时是减函数，故结论错误。8.答案：A解析：假设甲前半句“\(A\)是第一名”为真，则丙的“\(A\)是第二名”为假，故丙后半句“\(D\)是第四名”为真；乙的“\(C\)是第一名”为假，故“\(D\)是第三名”为假，矛盾。因此甲后半句“\(B\)是第二名”为真，丙前半句“\(A\)是第二名”为假，故“\(D\)是第四名”为真；乙后半句“\(D\)是第三名”为假，故“\(C\)是第一名”为真；剩余\(A\)为第三名，即名次为\(C,A,D,B\)。二、填空题9.答案：\((k+1)^2\)解析：数学归纳法中，\(n=k+1\)时左边为\(1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2\)，比\(n=k\)时多\((k+1)^2\)。10.答案：\((0,2]\)解析：\(x^2-2x-3<0\)即\(-1<x<3\)，\(|x-1|<a\)即\(1-a<x<1+a\)。由充分不必要条件知\((1-a,1+a)\subsetneqq(-1,3)\)，故\(1-a\geq-1\)且\(1+a\leq3\)，解得\(a\leq2\)，又\(a>0\)，故\(0<a\leq2\)。11.答案：律师解析：由①知甲不是教师；由②知教师不是乙（教师比乙小），故教师是丙；由③知丙（教师）比律师大，故律师是甲（乙只能是医生）。12.答案：\(1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2\)解析：观察等式左边为前\(n\)个自然数的立方和，右边为前\(n\)个自然数和的平方。三、解答题13.证明：假设\(a,b,c\)中至少有一个非正数。若\(a\leq0\)，由于\(abc>0\)，则\(b,c\)同号。若\(b\leq0,c\leq0\)，则\(a+b+c\leq0\)，与\(a+b+c>0\)矛盾；若\(b>0,c>0\)，则\(ab+bc+ca=a(b+c)+bc\leq0+bc\)，但\(bc>0\)，无法确定矛盾，需进一步分析：若仅有一个负数，不妨设\(a<0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，则\(a=-k\)（\(k>0\)），由\(a+b+c>0\)得\(b+c>k\)；由\(ab+bc+ca=-kb+bc-kc=bc-k(b+c)>0\)，即\(bc>k(b+c)\)。但\(b+c>k\)，故\(bc>k(b+c)>k^2\)，而\(abc=-kbc>0\)矛盾（因\(-kbc<0\)）。综上，假设不成立，故\(a,b,c\)均为正数。14.解：（1）\(a_2=2\times1+1=3\)，\(a_3=2\times3+1=7\)，\(a_4=2\times7+1=15\)，猜想\(a_n=2^n-1\)。（2）证明：①当\(n=1\)时，\(a_1=2^1-1=1\)，成立；②假设\(n=k\)（\(k\geq1\)）时，\(a_k=2^k-1\)成立；则\(n=k+1\)时，\(a_{k+1}=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1\)，也成立。由①②知，对任意\(n\in\mathbb{N}^\)，\(a_n=2^n-1\)成立。15.解：设名次为冠军、亚军、季军、第四名（记为1~4名）。由①，若甲≠1，则乙=2；由②，乙和丙名次差≠1；由③，丁<丙（名次数字小）；由④，冠军+亚军>季军+第四名（总分为定值，故前两名分数和大于后两名）。假设甲=1（冠军），则①中“甲≠1”为假，故①恒真；由③，丁<丙，可能的丁=2,3，丙=3,4；若丁=2（亚军），则丙≥3，由②乙和丙不相邻，若乙=3，则丙=4（相邻，矛盾）；若乙=4，丙=3（乙=4与丙=3不相邻，符合），此时名次为甲(1)、丁(2)、丙(3)、乙(4)，验证④：1+2>3+4？3>7？不成立。若甲≠1，则乙=2（亚军）；由③，丁<丙，丁可能=1,3；若丁=1（冠军），则丙≥2，但乙=2，故丙≥3；由②，乙=2与丙不相邻，故丙≥4（丙=4），则名次为丁(1)、乙(2)、甲(3)、丙(4)，验证④：1+2>3+4？3>7？不成立。若丁=3，则丙≥4（丙=4），由③丁=3<丙=4，符合；乙=2（亚军），冠军只能是甲或丙，但丙=4，故冠军=甲=1；此时名次为甲(1)、乙(2)、丁(3)、丙(4)，验证②乙=2与丙=4不相邻（差2），符合；④1+2=3>3+4=7？不成立。重新假设丁=1（冠军），乙=2（亚军），丙=4（第四名），则季军=甲=3，名次为丁(1)、乙(2)、甲(3)、丙(4)，验证④：1+2=3>3+4=7？不成立。矛盾，说明甲=1且丁=2不成立，可能我的假设错误。重新考虑：由④，冠军+亚军>季军+第四名，即前两名分数和大于后两名，由于总分固定，前两名名次数字小（1,2），后两名数字大（3,4），故分数和与名次数字负相关，因此冠军+亚军（1+2=3）应大于季军+第四名（3+4=7），矛盾，说明我的理解有误，分数和与名次数字无关，应直接比较分数值。正确推理：设分数为\(S_1>S_2>S_3>S_4\)，则\(S_1+S_2>S_3+S_4\)。由①，若甲≠1，则乙=2；由③，丁名次<丙名次（即\(S_丁>S_丙\)）；假设甲=1（\(S_1\)），则①自动成立；由③，丁名次<丙名次，即\(S_丁>S_丙\)，可能丁=2（\(S_2\)），丙=3或4；若丁=2（\(S_2\)），则丙=3（\(S_3\)）或4（\(S_4\)）；由②，乙和丙名次不相邻，若乙=3，则丙=4（相邻，矛盾）；若乙=4，丙=3（乙=4与丙=3相邻，矛盾），故丁≠2。若丁=3（\(S_3\)），则丙=4（\(S_4\)），此时乙只能是2（\(S_2\)），名次为甲(1)、乙(2)、丁(3)、丙(4)，验证②乙=2与丙=4不相邻（差2），符合；④\(S_1+S_2>S_3+S_4\)成立（因\(S_1>S_3,S_2>S_4\)）。综上，名次为甲(1)、乙(2)、丁(3)、丙(4)。16.解：命题\(p\)：方程\(x^2-2mx+m^2-1=0\)即\((x-m)^2=1\)，根为\(x=m\pm1\)，有两个不相等正根需\(m-1>0\)，即\(m>1\)。命题\(q\)：\(x^2-2mx+5>0\)对任意\(x\)成立，故判别式\(\Delta=4m^2-20<0\)，即\(-\sqrt{5}<m<\sqrt{5}\)。由\(p\lorq\)为真，\(p\landq\)为假，知\(p,q\)一真一假。若\(p\)真\(q\)假，则\(m>1\)且\(m\leq-\sqrt{5}\)或\(m\geq\sqrt{5}\)，即\(m\geq\sqrt{5}\)；若\(p\)假\(q\)真，则\(m\leq1\)且\(-\sqrt{5}<m<\sqrt{5}\)，即\(-\sqrt{5}<m\leq1\)。综上，\(m\in(-\sqrt{5},1]\cup[\sqrt{5},+\infty)\)。17.解：（1）连接\(BD\)交\(AC\)于\(O\)，则\(O\)为\(BD\)中点。∵\(E\)是\(PD\)中点，∴\(OE\parallelPB\)（中位线定理）。又\(OE\subset\)平面\(AEC\)，\(PB\not\subset\)平面\(AEC\)，故\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。（2）\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，故\(PA\)是四棱锥的高。\(E\)是\(PD\)中点，故\(E\)到底面\(ACD\)的距离为\(\frac{1}{2}PA=1\)。底面\(ACD\)的面积\(S=\frac{1}{2}\timesAD\timesAB=\frac{1}{