第03讲集合的基本运算-原卷版

第03讲集合的基本运算知识点一：并集图形语言：并集的性质：【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．知识点二：交集图形语言：理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是.交集的性质：知识点三：补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.【思考】全集一定是实数集R吗？全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.（2）补集的概念自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为.图形语言：补集的性质(1)交换律A⋃B=B⋃A，A⋂B=B⋂A；(2)结合律A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C)，A⋂B(3)分配律A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C)，A⋃B(4)德摩根律∁UA⋃B【特别提醒】(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；知识点四：运算律(1)交换律A⋃B=B⋃A，A⋂B=B⋂A；(2)结合律A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C)，A⋂B(3)分配律A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C)，A⋃B(4)德摩根律∁UA⋃B（5）容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：解题方法1.求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．2.集合并集运算应注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个．(3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．3.求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．4.求集合A∩B的步骤：(1)搞清集合A，B的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来；(3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅)5.求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．运用补集思想解题的步骤当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为：第一步：否定已知条件，考虑反面问题；第二步：求解反面问题对应的参数范围；第三步：取反面问题对应的参数范围的补集。6.解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到.交集、并集、补集的基本运算方法1、进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。2、解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分；3、当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。7.韦恩图的应用韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．8.集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．9.、利用交并补求参数范围的解题思路若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若A有参数，则需要讨论A是否为空集；题型1：交集的概念及运算2.求下列每对集合的交集：3.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝．6.已知集合A={x|-3<x<0}，B=-3,-2,-1,0，则A∩B=（

A．∅ B．-2,-1 C．-3,-2,-1 D．-3,-2,-1,09.若集合A=-2,0,2，B=xx2=2xA．-2,0 B．2 C．-2,2 D．0,210.设A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{x＝1，y＝2} C．{（1，2）} D．{（x，y）|x＝1或y＝2}A．2B．3C．4D．5可以用文氏图直观地反映A∩B的几种不同情况（１）表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集；（２）表示集合A是B的子集的情况，此时A∩B＝A；（３）表示集合A与B没有公共元素的情况，此时A∩B＝∅．题型2：根据交集结果求集合或参数A．B．C．D．3.设集合A={5,a+1}，B={a,b}，若A∩B={2}，则a+b=（

）A．1 B．2 C．3 D．44.已知集合M⊆1,2,3,4，且M∩1,2=1,2，则集合A．1 B．2 C．3 D．4A． B．0 C．1 D．或19.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（

）A．-1,2 B．2,+∞ C．-1,+∞A．0 B． C． D．3题型3：并集的概念及运算2.满足条件{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（）A．4个 B．8个 C．16个 D．32个11.设集合A=x-2≤x≤3,B=x-1≤x-2<3A．x-2≤x<5 B．x1≤x≤3 C．x可以用文氏图直观地反映A∪B的几种不同情况，如图其中阴影部分表示A∪B．（１）表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时A和B都是A∪B的真子集（２）表示集合A是B的子集的情况，此时A∪B＝B（３）表示集合A与B没有公共元素的情况题型4：根据并集结果求集合或参数2.已知集合A=2,3,4,5,6，B=1,a+2,2a+1，若A∪B=1,2,3,4,5,6，则a=A．1 B．2 C．3 D．43.已知集合A=1,3,A∩B=1,A∪B=0,1,3A．0,3 B．0,1 C．1,3 D．1A．1B．C．8D．A．0 B．1 C． D．0或题型5：根据并集结果求集合元素个数A．4 B．5 C．6 D．7A．1 B．7 C．8 D．16A．1 B．3 C．4 D．6题型6：补集的概念及运算3.已知全集U=-2,-1,0,1,2，集合A=-2,-1,0，则∁UA．1,2,3 B．1,2 C．0,2 D．1,28.若全集U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2}，则（A．A⊆B B．B⊆AC．∁UA⊆B题型7：根据补集结果求集合或参数A．3 B．1 C．4 D．2A．B．C．D．A．B．C．D．0A．1 B．2 C．3 D．4题型8：交并补混合运算2.设集合U=1,2,3,4,5，T=1,3,5，S=1,2,4，则S∩A．2 B．1,2 C．2,4 D．1,2,46.设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（

）7.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个.10已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝．11.设集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，全集U＝R，则＝．12.已知全集U＝R，集合，则＝．13.已知集合A＝{x|x2﹣9≥0}，B＝{x||x﹣4|＜2}，C＝{x|＜0}．（1）求A∩B、A∪C；（2）若全集U＝R，求∩B．17.已知集合A={x∣-1<x<2},B={x∣-2<x<1}，则集合∁A∪BA∩B=A．-1,1 B．-2,2 C．-2,-1∪1,218.设集合U=R，集合M=x|x<1，N=x|-1<x<2，则x|x>-1A．∁U(M∪N) B．N∪∁UA．7 B．8 C．15 D．1621.设全集U为自然数集N，记E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}，那么N可以表示为（）A．E∪F B． C． D．题型9：根据交并补混合运算确定集合或参数1.已知集合P=x∣-2≤x≤10,Q=x∣1-m≤x≤1+m.若Q∩∁UA．m≤3 B．m≥9 C．m≤3或m≥9 D．3≤m≤92.已知集合A=x3≤x<7，B=xx>m，若∁RA．m<3 B．m>3 C．m<7 D．m>73.已知U=R，集合A=xx2-x-2=0，B=x|mx+1=0，A．-12或1 B．-12或0 C．1或0 D．5.已知集合A＝{x||x﹣1|＞2}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，则m的取值范围是（）A． B． C．[0，1] D．(1)求集合(1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值；15.已知集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求；（2）若C＝{x|a﹣1≤x≤2a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围．题型10：Veen图的应用1.图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）

A． B．C． D．5.（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）7.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（

）8.已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（）A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪9.如果全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，，则B＝．10.设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分．11.已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是．（用含A、B或、集合语言表示）．12.设全集为U＝R，集合，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}．（1）求如图阴影部分；（2）已知C＝{x|3x﹣t＜0}，若B∪C＝C，求实数t的取值范围．13.已知全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,N=-1,0,1,M=A．1,2,3 B．2 C．1,2 D．2,314.已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8，集合A={x∈N|x<5}，B=

A．0,2,4 B．2,4C．0,4 D．2,4,615.如图，U是全集，M,P,S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A．M∩P∩S B．C．M∩P∩∁U17.（多选）如图中阴影部分所表示的集合是（）18.如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（）19.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）题型11：容斥原理1.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．43．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．84.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.5.某校学生积极参加社团活动，高年级共有100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团的学生有75名(并非每个学生必须参加某个社团).在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有多少名学生？最少有多少名学生？6.学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（）人．A．3 B．9 C．19 D．147.高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（

）A．16 B．17 C．18 D．198.七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为.9.某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有人10.某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为_______．A．2B．3C．4D．5题型12：集合新定义1.已知全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．n﹣m C．m+n D．m﹣n2.已知，其中a1＜a2＜a3＜a4，且a1、a2、a3、a4均为整数，若A∩B＝{a3，a4}，a1+a3＝0，且A∪B中的所有元素之和为270，则集合A中所有元素之和为．3.设A,B为非空集合，定义A*B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N=xx>2，则M*N=A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x<2或x>3}C．{x|0≤x≤2或x>3} D．{x|0≤x<2}4.对于集合M，N，定义M-N=xx∈M,x∉N，M⊕N=(M-N)∪(N-M)，设A=x|x≥-94,x∈RA．x|-94<x<0,x∈C．x|x<-94或x≥0,x∈5.定义集合运算：A⊕B=x,y∣x2∈A,2y∈BA．6,23 B．4,1 C．1,3(1)求集合；(2)求集合；(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．(1)写出实数集的一个二元“好集”；(2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；(3)求出正整数集上的所有三元“好集”．(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.(2)证明：不存在“减2集”；(3)请写出所