7平面向量的应用-解析

第7讲平面向量的应用【例1】1、已知等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2DC=2AD=2，EA．13DB+C．13DB+【解题思路】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解．【解答过程】因为AB=所以32AB=又BC的中点为E，所以BE=故选：D．2、在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=2DC，M是AD的中点，若BM=λA．54 B．78 C．56【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【解答过程】由题可知，AM=12所以有BM=12BA+故选：C.3、如图所示的矩形ABCD中，E，F满足BE=EC，CF=2FD，G为EF的中点，若AG=A．12 B．23 C．3【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将AG用AB,AD表示出出来，从而可求得【解答过程】因为G为EF的中点，BE=EC，所以AG=因为AG=λAB所以λμ=故选：A.【练习】1、已知G是△ABC的重心，若GC=xAB+A．1 B．−1 C．13 D．【解题思路】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.【解答过程】连接CG并延长交AB于D，如图，

因为G是△ABC的重心，则D是AB所以GC=−1又GC=xAB+y所以x−故选：B.2、如图，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，AC,BD交于点O,BF=14A．3 B．−3 C．7 D．−7【解题思路】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可.【解答过程】因为AF⃗所以x=故选：C.【例2】如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，N是AC的中点，BM（1）求cos∠（2）若CP=xAB【解题思路】（1）以AB,AC为基底表示（2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可.【解答过程】（1）以AB,AC为基底，设则BNAM=所以BN2同理AM2AM⋅则cosAM（2）因为A、P、同理有B、P、则有λ3【练习】如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=3DC．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F（1）用AB，AC表示AD；（2）若AE=λAB，AF【解题思路】（1）根据向量的线性运算即可求解，（2）根据共线的性质即可求解.【解答过程】（1）在△ABD中，由AD又BD=3DC所以AD（2）因为AD=14AB所以AB=1λ所以AD又D，E，F三点共线，且A在线外，所以有：14λ+【例3】在△ABC中，点F为线段AC上任一点（不含端点），若BF=3xBA+A．1 B．4 C．9 D．16【解题思路】由题意得3x+y【解答过程】由题意，在△ABC中，点F为线段AC若BF=3xBA设AF=λAC所以3x则3x当且仅当3yx=3x故选：D．【练习】如图，在正方形ABCD中，CE=2DE,EB和AC相交于点G，且F为AG上一点（不包括端点），若BF=λBEA．5+33 B．6+25 C．8+【解题思路】先确定G的位置，接着由BF=λBE【解答过程】由题可设BG=则由题意得BG=因为A、G、C三点共线，故x+所以BG=所以BF=又A、G、F三点共线，所以53所以3λ当且仅当3μλ=故3λ+1故选：B.【例4】在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠BAD=90∘，AB=6，AD=CD=3，对角线AC交（1）求AM⋅（2）若N为线段AC上任意一点，求AN⋅【解题思路】（1）以A为原点，AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点O、M的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得AM⋅（2）设AN=λAC，其中λ∈0,1，求出向量AN【解答过程】（1）解：以A为原点，AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，则A0,0、B6,0、C3,3因为AB//CD，AB=6所以△ABO∽△CDO，所以OA设Mm,0，则OM=因为OM⊥BD，所以OM⋅所以M1,0，AM=1,0（2）解：由（1）知，AC=3,3，设AN=则MN=所以AN⋅因为λ∈0,1，故当λ=1时，AN当λ=112时，AN故AN⋅MN的取值范围为【练习】已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点F为线段BD（含端点）上一动点，点E满足DE=3EC，则【解题思路】利用基底，结合向量的线性运算表示AF,【解答过程】设BF=λBD已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB则△ABD为等边三角形，又DE则AF⋅DE=(AB==又0≤λ≤1，故3−故AF⋅DE∈故答案为：32

【例5】已知A，B，C是单位圆上不同的三点，AB=AC，则AB⋅A．0 B．−14 C．−1【解题思路】令A(1,0)，B(cosθ,sinθ【解答过程】不妨令A(1,0)，B(cosθ,所以AB=cos当cosθ=12时，故选：C.【练习】如图，正方形ABCD的边长为2,E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点；AP=λA．λ最大值为1 B．μ最大值为1C．AP⋅AD最大值是2 D．AP【解题思路】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得2λ=cosα+1，且λ【解答过程】以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，则A(−1,0)，D(−1,2)，设∠BOP=α，则P(cos所以AP=(cosα+1,sin由AP=λAE+μAD，得2λ对于A，当α=0时，λ对于B，μ=对于C，AP⋅对于D，AP⋅AE=故选：ACD．课堂检测1、已知G为△ABC的重心，则（

A．BG=23C．BG=−13【解题思路】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.【解答过程】如图所示，设D为AC中点，又G为△ABC则BG=23BD=13BA+BC故选：B.2、已知向量a,b不共线，AB=λa+b,ACA．5 B．4 C．3 D．2【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【解答过程】因为A,所以存在实数k，使AB→=k又向量a,b不共线，所以由λ>0,μ>0当且仅当λ=4即λ+4故选：B.3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，点E在边CDA．22,72 B．[22,4]【解题思路】以A为坐标原点建立直角坐标系，设Ea,2，得AE⋅BE=【解答过程】以A为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，因为在矩形ABCD中，AB=则B2又点E在边CD上运动（包含端点），设Ea,2，则AE=则AE⋅因为0≤a≤2故选：D.课后作业1、在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λABA．−56 B．−16 C．【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解.【解答过程】EF=EA+AF=−所以λ+故选：A.2、在△ABC中，点D在BC上，且满足BD=14BC，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=A．22 B．43 C．4+23【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得x+4y=1【解答过程】因为BD=14BC，由A，E，D三点共线可得x+4y=1所以1x当且仅当x=2y故选：D.3、在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=A．2 B．2 C．3 D．8【解题思路】根据题意以AB,AC为基底表示出AD，再根据E,F,D三点共线，利用共线定理可得【解答过程】如下图所示：因为BD=2DC，易知又AE=mAB易知E,F,又m>0，n所以m+2当且仅当2m3n所以m+