第一章《勾股定理》3.勾股定理的应用预习

2025年秋季北师大版数学八年级上册知识点及基础题预习第一章勾股定理3.勾股定理的应用知识点预习折叠问题中勾股定理的应用：折叠问题（利用折叠前后图形全等找等边）、动态几何问题（用变量表示边长）、已知直角三角形斜边和一条直角边（或周长面积等）求另一条边。核心：利用方程思想，将勾股定理a²+b²=c²看作一个关于未知数的方程。勾实际测量与建模问题：核心：将现实世界中的距离、高度等测量问题，抽象为几何图形（主要是直角三角形），利用勾股定理建立方程求解。常见类型：不可达距离：（如测量河宽、湖宽）在河岸同侧构造直角三角形（利用标杆、参照物），测量两条直角边（如基线长和其中一点到对岸参照物的视线距离），求斜边（河宽）。不可达高度：（如测量树高、楼高）范围确定问题：（如台风影响范围）以某点为圆心，影响半径为半径画圆。判断一个点是否在影响范围内，即计算该点到圆心的距离是否小于等于半径。通常需要构造直角三角形计算两点间距离（利用坐标差或已知线段）。。定最短路径问题（几何体表面）：核心：将三维空间中的曲面（或折面）上的最短路径问题，通过展开图转化为平面上两点之间的线段长度问题，再利用勾股定理求解。常见模型：圆柱侧面：将圆柱侧面沿一条母线展开成长方形。起点和终点位于展开图上，连接两点的线段即为最短路径。利用长方形的长（底面周长）和宽（高），结合勾股定理计算线段长。长方体表面：根据起点和终点的相对位置，选择不同的面展开（通常需要尝试不同的展开方式），将三维路径转化为平面上的折线或直线，比较不同展开图中连接两点的直线段长度，最短者即为所求。计算时需构造直角三角形（利用长方体的长、宽、高）。台阶问题：将连续的台阶侧面展开成一个长方形（高是所有台阶高度之和，长是所有台阶深度之和），起点和终点位于展开图上，连接两点的线段长度即为最短路径（忽略台阶宽度时）。总结：第三节是勾股定理及其逆定理知识的综合应用和能力提升阶段。它要求学生能够灵活地将所学定理应用于解决实际生活问题（如测量、最短路径）和复杂几何问题（计算、证明）。关键在于：建模——把实际问题转化为数学问题（构造直角三角形）；转化——将空间问题转化为平面问题（展开图）；构造——在平面图形中构造直角三角形；4)计算与验证——熟练运用公式进行计算，必要时利用逆定理验证直角。本节内容最能体现数学的应用价值和解决问题的策略。基础题预习选择题预习（30分）1．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm2．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．45m B．40m C．50m D．56m3．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）A．3m B．8m C．5m D．10m4．如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度可能是（）A．4cm B．7cm C．9cm D．12cm5．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为1.2丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（）尺A．8 B．10 C．12 D．136．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝14，则图中阴影部分的面积为（）A．72 B．92 C．67．勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面100cm（即CE＝100cm），将其展开至点B距离墙面168cm的位置时（即水平距离BD＝168cm），AB＝232cm，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是（）cm．A．332−402 B．233−402 C．172 8．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A． B． C． D．9．如图是一个底面周长为10cm，高AB为12cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．261cm B．461cm C．1310．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（）A．163分米 B．202分米 C．16分米二、填空题预习（24分）11．一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了24km，然后向正北方向航行了10km，这时他离出发点km．12．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，若设学校旗杆的高度是xm，则可列方程为．13．如图，长方体三条棱的长分别为7cm，5cm，5cm，蚂蚁从A1出发，沿长方体的表面爬到C点，则最短路线长是cm．14．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．15．如图，高度为1米的平台上有一根长为8米的木杆垂直于台面AB，在一阵大风后，木杆从点E处折断，AE依然垂直于AB，木杆顶端落在地面的点D处，已知AB∥CD，AB＝2米，CD＝1米，则木杆依然直立的部分AE的长为．16．如图，圆柱底面圆的周长为8cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高BC＝6cm，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．三、解答题预习（46分）17．如图，在电线杆AB上的点C处，向地面拉有一条10m长的钢缆CD，地面固定点D到电线杆底部的距离BD＝6m，AB⊥BD于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为2.5m，求电线杆的高度AB．18．我国古代数学著作《九章算术》中记载了下面的一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”（丈、尺都是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？19．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．（1）请判断△ABC的形状？（2）求修建的公路CD的长．20．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过75km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．∠ACB＝90°．（1）求BC的长．（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．21．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=2千米，AD＝43（1）求小溪流AC的长．（2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）22．随着中国科技、经济的不