2026高中数学计算题专练15个专题22含答案

第3页（共3页）2026高中数学计算题专练15个专题22数列公式的运算一．填空题（共14小题）1．已知数列{an}（n≥1，n∈N）的通项公式是an=2n-12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a3+a7+a9＝28，则S9＝．4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n﹣1，则此数列的通项公式为．5．已知数列{an}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝．6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a12a19＝16，则log2a8+log2a23＝．7．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝2a3+8a1，S4＝30，则a6＝．8．已知数列{an}满足a1＝1，an=1+1an-1(n∈9．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5＝0，则S5S10．已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13＝4π，则tan（a2+a12）＝．11．在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝30，则a2+a3＝．12．在等比数列{an}中，若a7•a9＝4，a4＝1，则a12的值是．13．正项等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝．14．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4=17二．解答题（共16小题）15．在等比数列{an}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．16．求数列112，217．已知log3x=-1log23，求x+x2+x18．在数列{an}中，已知a1=-12，an+1=12an+1（n∈N*19．在等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，a2+a4＝30，试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．20．在等差数列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．（1）判断﹣2和﹣58是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．（2）求数列{an}的前n项和Sn．21．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3﹣a2＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．22．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2+Sn对一切正整数n恒成立．（1）求a1和数列{an}的通项公式；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．23．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝9，a2+a3＝8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求Sn；（Ⅲ）若S3，a14，Sm成等比数列，求m的值．24．已知公差不为零的等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设bn=an+2n，求数列{b25．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a5＝2a3+8．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．26．设数列{an}是等差数列，已知a1＝3，a3＝9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=3anan+1，求b127．已知公差不为零的等差数列{an}的前3项和为3，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=3an，求数列{bn}的前n项和28．已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足a1＝b1＝2，a2+a3＝10，b2b4＝a18．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式．（Ⅱ）设数列{cn}中cn＝an+bn，求和：c1+c3+c5+…+c2n﹣1．29．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{an}的公比；（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．30．已知等比数列{an}的各项均为正数，a2＝2，a3+a4＝12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an+log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．数列公式的运算一．填空题（共14小题）1．已知数列{an}（n≥1，n∈N）的通项公式是an=2n-1【答案】25．【解析】根据题意，得2n-1=7，解得n故答案为：25．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝9．【答案】9．【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a3=2a1+所以S6＝6a1+6×52故答案为：9．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a3+a7+a9＝28，则S9＝63．【答案】63．【解析】因为a1+a3+a7+a9＝28，根据等差数列的性质，可得a1+a9＝a3+a7＝14，所以S9故答案为：63．4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n﹣1，则此数列的通项公式为an＝2n﹣1．【答案】见试题解答内容【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2﹣1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，又21﹣1＝1，所以an＝2n﹣1，故答案为：an＝2n﹣1．5．已知数列{an}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝18．【答案】18．【解析】等差数列{an}满足a5＝2，则其前9项和S9=9(a1+故答案为：18．6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a12a19＝16，则log2a8+log2a23＝4．【答案】4．【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a12a19＝a8a23，又a12a19＝16，所以a8a23＝16，所以log2a8+log2a23＝log2a8a23＝4．故答案为：4．7．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝2a3+8a1，S4＝30，则a6＝64．【答案】64．【解析】设等比数列{an}的共比为q（q＞0），由a5＝2a3+8a1，得a1q4＝2a1q2+8a1，即q4﹣2q2﹣8＝0．（q2+2）（q2﹣4）＝0，解得q＝2或q＝﹣2（舍去），又S4＝30，则a1(1-24)所以a6＝2×25＝26＝64．故答案为：64．8．已知数列{an}满足a1＝1，an=1+1an-1(n∈N*【答案】53【解析】由足a1＝1，an得a2a3a4故答案为：539．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5＝0，则S5S2=【答案】见试题解答内容【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若8a2﹣a5＝0，则有8a2﹣a2q3＝0，解可得q＝2，则S5故答案为：3110．已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13＝4π，则tan（a2+a12）＝-3【答案】见试题解答内容【解析】∵a1+a7+a13＝4π，a1+a13＝2a7，∴3a7＝4π，即a7=43∵a1+a13＝a2+a12＝2a7=8π则tan（a2+a12）＝tan（2a7）＝tan8π3=tan2π3故答案为：-311．在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝30，则a2+a3＝15．【答案】见试题解答内容【解析】因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4＝a2+a3，由a1+a2+a3+a4＝30，所以，2（a2+a3）＝30，则a2+a3＝15．故答案为：15．12．在等比数列{an}中，若a7•a9＝4，a4＝1，则a12的值是4．【答案】见试题解答内容【解析】∵a7•a9＝4，a4＝1，a7•a9＝a4•a12，∴a12＝4．故答案为：4．13．正项等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝28．【答案】见试题解答内容【解析】∵正项等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，由于每相邻两项的和也成等比数列，∴S2、S4﹣S2、S6﹣S4成等比数列，即7，S4﹣7，91﹣S4成等比数列．∴（S4﹣7）2＝7（91﹣S4），解得S4＝28，故答案为：28．14．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4=1716，则公比【答案】见试题解答内容【解析】设等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，∵S8S4=1716，∴化为q4=116，则公比q=1故答案为：12二．解答题（共16小题）15．在等比数列{an}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．【答案】见试题解答内容【解析】设等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1＝2，4a联立可得，a1（q﹣1）＝2，q2﹣4q+3＝0∴q=3a1=1∴s16．求数列112，2【答案】见试题解答内容【解析】数列的通项为a所以数列的前n项和：Sn=(1+n)n=-1所以数列的前n项和为-17．已知log3x=-1log23，求x+x2+x【答案】见试题解答内容【解析】∵log∴log3x＝﹣log32，即x=由等比数列求和公式得Sn＝x+x2+x3…+xn=x(1-x18．在数列{an}中，已知a1=-12，an+1=12an+1（n∈N*【答案】见试题解答内容【解析】∵an+1=12an+1（n∈N∴an+1﹣2=12（a又∵a1﹣2=-12-∴数列{an﹣2}是首项为-52、公比为∴an﹣2=-52•∴an＝2-519．在等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，a2+a4＝30，试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．【答案】见试题解答内容【解析】（1）根据题意，等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，则有a1•a2•a3＝（a2）3＝27，即a2＝3，a2＝3时，a4＝30﹣a2＝27，有q2=a4a若q＝3，则a1=a若q＝﹣3，则a1=a（2）当q＝3，a1＝1时，前6项的和S6=1(1-当q＝﹣3，a1＝﹣1时，前6项的和S6=(-1)(1-20．在等差数列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．（1）判断﹣2和﹣58是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．（2）求数列{an}的前n项和Sn．【答案】（1）﹣2不是数列{an}中的项，﹣58是数列{an}中的第21项；（2）Sn=n(7-3n)【解析】（1）由题意知，an＝a3+（n﹣3）d＝﹣4+（n﹣3）×（﹣3）＝5﹣3n，令5﹣3n＝﹣2，则n=73∉N*，所以﹣2不是数列{a令5﹣3n＝﹣58，则n＝21∈N*，所以﹣58是数列{an}中的第21项．（2）由an＝5﹣3n，知a1＝2，所以Sn=(21．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3﹣a2＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．【答案】（1）an＝n．（2）Sn=n(n+1)【解析】（1）∵等差数列{an}中，a1＝1，d＝a3﹣a2＝1．∴数列{an}的通项公式为：an＝1+（n﹣1）×1＝n．（2）∵a1＝1，d＝1，∴数列{an}的前n项和：Sn＝n×1+n(n-1)2×22．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2+Sn对一切正整数n恒成立．（1）求a1和数列{an}的通项公式；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．【答案】（1）an=2n；（2）2n【解析】等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2+Sn对一切正整数n恒成立，当n＝1时，a2＝2+S1，整理得：a1q＝2+a1，故a1当n＝2时，整理得：a1解得：q＝2，当n≥2时，an＝2+Sn﹣1，两式相减得：an+1＝2an，即：an+1故：数列{an}是以a1＝2，公比为2的等比数列．所以：an（2）由于：an所以：Sn则：Tn=4(＝2n+2﹣2n﹣4．23．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝9，a2+a3＝8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求Sn；（Ⅲ）若S3，a14，Sm成等比数列，求m的值．【答案】（I）an＝2n﹣1；（Ⅱ）n2；（Ⅲ）9．【解析】（Ⅰ）由题意得S3解得a1故{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn（III）因为S3，a14，Sm成等比数列，所以S3所以9m2＝272，即m2＝81，又因为m∈N*，则解得m＝9．24．已知公差不为零的等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设bn=an+2n，求数列{b【答案】（1）an＝3n﹣5；（2）Sn=3n2-7n【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列，∴4a1+6d=10(a1+2d)2=(a∴an＝3n﹣5；（2）由（1）得bn∴Sn25．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a5＝2a3+8．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）Sn=n(n-1)【解析】（1）因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a5＝2a3+8，所以令数列{an}的公比为q，a所以q4＝2q2+8，解得q＝﹣2（舍去）或2，所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，an（2）因为bn＝log2an，所以bn＝n﹣1，bn+1＝n，bn+1﹣bn＝1，所以数列{bn}是首项为0、公差为1的等差数列，Sn26．设数列{an}是等差数列，已知a1＝3，a3＝9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=3anan+1，求b1【答案】（I）3n．（Ⅱ）20216066【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，则由题意有a3＝a1+2d，d=a∴an＝3+3（n﹣1）＝3n．（Ⅱ）b∴b1+b2+b3+…+b2021=1=1=202127．已知公差不为零的等差数列{an}的前3项和为3，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=3an，求数列{bn}的前n项和【答案】（1）an＝2n﹣3．（2）Sn=-124（1﹣9【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，由a1+a2+a3＝3可得3a2＝3，∴a2＝1，又∵a2，a3，a6成等比数列，∴a3∴a1+d=1(a1∴an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．（2）bn＝32n﹣3=3∴数列{bn}是首项为13∴Sn=13(1-28．已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足a1＝b1＝2，a2+a3＝10，b2b4＝a18．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式．（Ⅱ）设数列{cn}中cn＝an+bn，求和：c1+c3+c5+…+c2n﹣1．【答案】见试题解答内容【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，因为a2+a3＝10，所以2a1+3d＝10，又a1＝2，所以d＝2，即an＝2+（n﹣1）×2＝2n，设正项等比数列{bn}的公比为q，q＞0，因为b2b4＝a18＝36，即b12⋅q4=36，由b1＝2，（II）cn设S2n﹣1＝c1+c3+c5+…+c2n﹣1，则S2