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数学竞赛中考题目及答案一、选择题（共20分）1.（4分）若a、b、c是△ABC的三边长，且a²+b²+c²=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状。A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不能确定答案：C2.（4分）若x、y是实数，且x²+y²=0，则x和y的值分别是：A.x=0，y=0B.x=1，y=0C.x=0，y=1D.x=1，y=1答案：A3.（4分）若a、b、c是三个非零实数，且a²+b²+c²=ab+bc+ca，则a+b+c的值是：A.0B.1C.3D.-1答案：A4.（4分）若x、y满足方程x²+y²=1，且x+y=1，则x²y²的值是：A.0B.1/2C.1/4D.1答案：C5.（4分）若a、b、c是三个实数，且a²+b²+c²=3，ab+bc+ca=1，则a+b+c的值是：A.0B.1C.3D.-1答案：D二、填空题（共30分）1.（6分）若a、b、c是△ABC的三边长，且a²+b²+c²=ab+ac+bc，则△ABC的周长是______。答案：32.（6分）若x、y是实数，且x²+y²=0，则x+y的值是______。答案：03.（6分）若a、b、c是三个非零实数，且a²+b²+c²=ab+bc+ca，则a+b+c的值是______。答案：04.（6分）若x、y满足方程x²+y²=1，且x+y=1，则x²y²的值是______。答案：1/45.（6分）若a、b、c是三个实数，且a²+b²+c²=3，ab+bc+ca=1，则a+b+c的值是______。答案：-1三、解答题（共50分）1.（10分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a²+b²+c²=ab+ac+bc，求证：△ABC是等边三角形。证明：∵a²+b²+c²=ab+ac+bc，∴2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc，∴(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形。2.（10分）已知x、y是实数，且x²+y²=0，求x和y的值。解：∵x²+y²=0，∴x²=-y²，∴x=±y，又∵x²+y²=0，∴x=0，y=0。3.（10分）已知a、b、c是三个非零实数，且a²+b²+c²=ab+bc+ca，求a+b+c的值。解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ca，∴a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=0，∴(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b=c，∴a+b+c=3a=0。4.（10分）已知x、y满足方程x²+y²=1，且x+y=1，求x²y²的值。解：∵x²+y²=1，∴x²+y²+2xy=1+2xy，∴(x+y)²=1+2xy，∵x+y=1，∴1=1+2xy，∴xy=0，∴x²y²=(xy)²=0。5.（10分）已知a、b、c是三个实数，且a²+b²+c²=3，ab+bc+ca=1，求a+b+c的值。解：∵a²+b²+c²=3，ab+bc+ca=1，∴(

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