《菱形的判定》教案

第2课时菱形的判定课时目标1.经历探索菱形判定定理的过程,掌握菱形的判定定理,培养学生的合情推理与演绎推理的能力.2.通过对比平行四边形、矩形判定的学习方法,体会证明过程中类比、转化、由一般到特殊的数学思想方法,发展学生的数学思维.达成目标1的标志:学生通过对比平行四边形、矩形判定的学习方法,可以提出菱形判定的猜想,然后经历验证并证明猜想的过程,最终能够得出菱形的判定定理.达成目标2的标志:学生能够主动想到类比平行四边形及矩形判定的学习方法来学习菱形的判定定理,在探究判定的过程中能自己设计探究过程并分步实施,最终得出结论.学习重点菱形的判定定理.学习难点菱形判定定理的应用.课时活动设计回顾平行四边形、矩形的判定定理是怎样研究的?平行四边形及矩形的性质与判定有什么联系?菱形有哪些性质?如何研究菱形的判定?说一说你的研究思路.设计意图:引导学生回顾菱形的性质以及平行四边形、矩形判定的研究路径,明确图形的性质与判定的逻辑关系,为菱形判定的研究提供研究思路,让学生体会它们的研究路径和方法是一致的.通过类比复习可以将知识结构化、系统化,帮助学生对本章知识的理解与掌握.你现在知道的判定菱形的方法是什么?判定菱形需要几个条件?分别是什么?菱形还有其他的判定定理吗?请根据你的经验作出猜想.学生活动:先独立写出菱形性质的逆命题,再小组讨论,最后形成一致意见进行展评.菱形的性质:菱形的四条边都相等.逆命题:四条边都相等的(平行)四边形是菱形.菱形的性质:菱形的两条对角线互相垂直.逆命题:两条对角线互相垂直的(平行)四边形是菱形.菱形的性质:菱形的每一条对角线平分一组对角.逆命题:每一条对角线平分一组对角的(平行)四边形是菱形.对于逆命题中的条件,是用四边形还是用平行四边形这个条件呢?为什么?设计意图:引导学生回忆菱形的定义,明确定义具有双重性,既是性质也是判定.引导学生通过性质猜想判定,让学生体会数学知识间的联系,建立知识的整体结构框架,理清各个知识点之间的联系,使学生头脑中的知识结构化、系统化.通过分析逆命题中的条件,让学生体会定理条件的精简,体会数学的简洁美.画图验证下列逆命题的真假:逆命题1:四条边都相等的四边形是菱形.逆命题2:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.逆命题3:一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.逆命题4:每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.设计意图:让学生经历猜想——验证——证明——得出结论的科学的探究过程,培养学生科学的思维方法,发展学生的核心素养.通过画图验证,培养学生动手作图的能力,发展学生的几何直观.你能证明教学活动3中的四个命题吗?证明命题的步骤是画图——写出已知和求证——证明,请同学们按照步骤对上述命题进行证明,然后小组展评.1.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.2.已知:如图所示,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵在▱ABCD中,AO=CO且AC⊥DB.∴AD=CD.∴▱ABCD是菱形.3.已知:如图所示,在▱ABCD中,AC平分∠DAB和∠DCB.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC.∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=CD.∴▱ABCD是菱形.4.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.在△ABD和△CBD中,∠∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC,AD=CD.同理可得△BAC≌△DAC,∴AB=AD,BC=CD.∴AB=CD,AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.设计意图:引导学生在经过合情推理之后对得到的结论进行严密的逻辑推理证明,让学生明白每一个数学定理的得出都要经过严谨的演绎推理的过程,培养学生思维的缜密性以及推理能力.通过小组合作讨论、展评,培养学生的合作意识以及语言表达能力.再次理解:教学活动3中的四个命题均已得证,这四个真命题均可成为判定定理吗?请大家先思考,然后打开教材验证,并回答为什么有的真命题没有成为判定定理?设计意图:通过思考哪个真命题可以作为菱形的判定定理,让学生体会命题3用来证明菱形可以通过角平分线+平行证邻边相等,从而转化成为有一组邻边相等的平行四边形是菱形,于是没有出现这个定理的必要;而命题4,证明时需要4对角相等,用起来不方便,所以没有作为定理出现.通过这样的思考过程,既可以培养学生的推理能力,还可以使学生站在更高的角度思考定理的合理性,培养学生科学的思维方法.例题练习,巩固理解先独立完成教材第57页例4,然后学生代表讲解,全班分享,共同完善修正答案.例如图,▱ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形.设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,培养学生的语言表达能力,加深学生对性质的理解.本节课我们研究了菱形的判定定理,请同学们带着以下问题进行总结:(1)在探寻菱形的判定定理时,你经历了怎样的研究过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?(2)矩形、菱形都是特殊的平行四边形,矩形是平行四边形角特殊的情况,菱形是平行四边形边特殊的情况,那么还需要考虑平行四边形对角线特殊的情况吗?为什么?平行四边形能否存在边和角同时特殊的情况呢?将要怎样研究呢?设计意图:学生通过自主反思,不但可以梳理本节所学的知识,更重要的是能将数学思想方法进行内化吸收,通过引导学生理解矩形和菱形分别是平行四边形角和边的特殊情况,而同时它们的对角线也有特殊之处,所以不再研究平行四边形对角线特殊的情况,使学生头脑中的知识系统完整,培养学生科学的思维方式.通过是否存在边、角同时特殊的情况?引出下一节的内容,为下一节的研究做好铺垫并提供研究思路及研究方法.知能演练提升能力提升1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠DAC=30°,BD=8,则下列结论:①∠DAB=60°;②∠ADB=60°;③OD=4;④AD=8;⑤OC=43,其中正确的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为()A.1 B.2 C.2 D.33.如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=()A.13 B.10 C.12 D.54.若菱形的周长为20cm,且有一个内角为45°,则该菱形的高为cm.

5.如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD菱形.(填“是”或“不是”)

★6.如图,点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足条件时,四边形EFGH是菱形.

7.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AD,AB的中点.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)若BE=3,∠C=60°,求菱形ABCD的面积.8.如图,四边形ABCD为矩形,G是对角线BD的中点,连接GC并延长至点F,使CF=GC,以DC,CF为邻边作菱形DCFE,连接CE.(1)判断四边形CEDG的形状,并证明你的结论.(2)连接DF,若CD=1,求DF的长.9.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.创新应用★10.将两块完全相同的三角尺Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A'B'C')按如图①所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C'=90°,∠ABC=∠A'B'C'=60°),斜边重合.若三角尺Ⅱ不动,三角尺Ⅰ在三角尺Ⅱ所在的平面上向右滑动,图②是滑动过程中的一个位置.(1)在图②中,连接BC',B'C,求证:△A'BC'≌△AB'C.(2)当三角尺Ⅰ滑动到什么位置(点B'落在AB边的什么位置)时,四边形BCB'C'是菱形?说明理由.知能演练·提升一、能力提升1.D2.D题图中的六个小直角三角形都全等,∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=30°.设EB=x,则EC=AE=3-x,∴3-x=2x,x=1.∴BC=3.3.B连接BD,交AC于点O,如图.∵菱形ABCD,点E,F分别是边CD,BC的中点,∴AB∥CD,EF∥BD.∵AC,BD是菱形的对角线,AC=24,∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD.又AB∥CD,EF∥BD,∴DE∥BG,BD∥EG,∴四边形BDEG是平行四边形,∴BD=EG.在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,∴OB=OD=132∴BD=2OD=10,∴EG=BD=10.4.522如图,过点C作CE⊥AD于点∵周长为20cm,∴CD=5cm,∵∠BCD=45°,∴∠CDE=45°,∴高h=CE=22CD=525.是∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,∴AE=AF,∴S▱ABCD=BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴▱ABCD是菱形.6.AB=CD需添加条件AB=CD.∵E,F分别是AD,DB的中点,∴EF∥AB,EF=12AB∵H,G分别是AC,BC的中点,∴HG∥AB,HG=12AB∴EF∥HG,EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.∵E,H分别是AD,AC中点,∴EH=12CD∵AB=CD,∴EF=EH.∴四边形EFGH是菱形.7.(1)证明∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵点E,F分别是边AD,AB的中点,∴AF=AE.在△ABE和△ADF中,AB∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)解如图,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠A=∠C=60°,∴△ABD是等边三角形.∵点E是边AD的中点,∴BE⊥AD.在Rt△AEB中,设AB=x,则AE2+BE2=AB2,即12x2+(3)2=x2,即AD=AB=2,∴菱形ABCD的面积=AD·BE=2×3=23.8.解(1)四边形CEDG是菱形,理由如下:∵四边形ABCD为矩形,G是对角线BD的中点,∴GC=GD.∵CF=GC,∴GC=GD=CF.∵四边形DCFE是菱形,∴CF=DE,DE∥GC,∴DE=GC,∴四边形CEDG是平行四边形.∵GD=GC,∴四边形CEDG是菱形.(2)∵四边形DCFE是菱形,∴∠CDF=12∠CDE,∴DC=CF=1∵GD=GC=CF,∴GD=GC=CD=1,即△GCD为等边三角形.∴∠GDC=∠GCD=60°.∴∠DCF=120°.∴∠CDF=30°.∴∠GDF=90°.在Rt△GDF中,DF=GF9.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中,AD∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形.理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF.又OA=OC,∴四边形