1.3 一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册1.3一元二次方程的根与系数的关系

第一章

一元二次方程章节导读学

习

目

标12探索一元二次方程的根与系数的关系及其逆用，并证明掌握一元二次方程的根与系数的关系，并解决求值、求参等问题知识回顾1.一元二次方程ax2

+

bx

+

c

=

0(a≠0)的求根公式：2.一元二次方程ax2

+

bx

+

c

=

0(a≠0)的根的情况：

①当Δ

>0时，有两个不相等的实数根；②当Δ

=0时，有两个相等的实数根；③当Δ

<0时，方程无实数根。新知探究思

考1.完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？x1x2x1+x2x1·x2x2

-3x

+2=012x2

+3x

+2=0-1-2x2

-5x

+6=023x2

+5x

+6=0-2-3x2

-3x

=00332-3256-5630两根的和与一次项系数互为相反数两根的积与常数项相等新知探究思

考1.完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？【猜想】若x2+px

+q=0的两个根是x1，x2，则x1

+

x2

=-p，x1·x2

=

q。新知探究思

考

新知探究思

考3.求出方程3x2-7x+4=0的解，再验证这个方程的根与系数是否有2.中发现的关系。

x1+x2x1·x2∴这个方程的根与系数有2.中发现的关系。新知探究

证

明

新知探究

知识要点典例分析典例1

完成下列表格。方法技巧

Δ=b2-4acx1+x2x1·x2x2

-2x

-3=02x2

-x

-10=04x2

+17x

+4=04x2

-4x

+1=0x2

+4x

+5=016>02-381>0-5225>0101-4<0××再次强调：韦达定理的使用前提：Δ=b2-4ac

≥

0典例分析典例2

完成下列表格。x1+x2x1·x2x12+x22|x1-x2|x2

-2x

-3=02-32x2

-x

-10=0-54x2

+17x

+4=014x2

-4x

+1=011040方法技巧

新知探究与x1+x2，x1·x2有关的常见变形公式：知识要点典例分析典例3

已知ax2

+

bx

+

c

=

0(a≠0)的两根之和5，两根之积是6，则原方程可能为__________________。

x2-5x

+6=0方法技巧解题关键：若已知两根的和、两根的积，则可先用韦达定理，将条件转化为系数之间的关系式，再进一步求解。新知探究韦达定理的逆用：

若一元二次方程的两个根x1，x2满足x1

+x2

=

m，x1·x2

=

n，

则这个方程可以记为a(x2

-mx

+n)=0(a≠0)。知识要点题型探究【例1】关于x的一元二次方程5x2

-

4x

+

k

=

0的一个根为1，则它的另一个根是________。已知方程的一个根，求另一个根题型一此题型默认b2-4ac≥0，可直接用韦达定理

题型探究求关于根的代数式的值—对称型题型二【例2】(1)已知a、b是一元二次方程2x2

+

3x

-

4

=

0的两个根，那么ab2

+

a2b的值是________；

此题型默认b2-4ac≥0，可直接用韦达定理3题型探究求关于根的代数式的值—对称型题型二【例2】(2)已知实数a、b分别满足a2

-

6a

+

4

=

0，b2

-

6b

+

4

=

0，且a

≠

b，则a2

+

b2的值为（）A．36

B．50

C．28

D．25(2)∵a2

-

6a

+

4

=

0，b2

-

6b

+

4

=

0，且a

≠

b，∴a、b可看作方程x2

-

6x

+

4

=

0的两根，∴a

+

b

=

6，ab

=

4，∴a2

+

b2

=

(a+b)2

-2ab

=

62

-

2

×

4

=

28。C题型探究求关于根的代数式的值—非对称型题型三【例3】(1)已知方程x2

-

2x

-

2

=

0的两根分别为x1，x2，则x12

-x22

+

4x2的值为________；解：(1)∵x2

-

2x

-

2

=

0的两根分别为x1，x2，∴x1

+x2

=2，x1·x2

=-2，∴x12

-

x22

+

4x2

=(x1

+x2

)(x1

-

x2

)

+

4x2=

2

(x1

-x2

)+

4x2

=2(

x1

+x2

)=4；4此题型默认b2-4ac≥0，可直接用韦达定理解题方法与策略：先通过韦达定理代值将非对称型的代数式转化为对称型题型探究求关于根的代数式的值—非对称型题型三【例3】(2)若α、β为x2

+

2x

-

4

=

0的两根，则a2

+

αβ

+

2α的值为________。(2)∵α、β为x2

+

2x

-

4

=

0的两根，∴α2

+

2α

-

4

=

0，αβ

=

-4，∴α2

=

-2α

+

4，∴a2

+

αβ

+

2α

=

-2α

+

4

+

αβ

+

2α

=4

+

αβ=

4

+(-4)

=

0。0解题方法与策略：先通过原方程式降次将非对称型的代数式转化为对称型等式左边是二次，右边是一次，从左到右，可以达到“降次”的目的题型探究已知方程的两根，求参数题型四【例4】若关于x的方程2x2

+

mx

+

n=

0的根是x1

=

-1，x2

=3，则m+

n=

________。

此题型默认b2-4ac≥0，可直接用韦达定理-10题型探究已知方程两根的关系式，求参数题型五【例5】若关于x的方程x2

+(2

-

k

)x

+

k2

=

0的两根互为倒数，则k

=（）A．3

B．1

C．-1

D．±1判断下列做法是否正确：解：∵关于x的方程x2

+(2

-

k

)x

+

k2

=

0的两根互为倒数，∴x1·x2

=

k2=1，解得：k

=

1或k

=

-1。两个条件：①两个实数根②两根互为倒数当k

=

1时，方程为x2

+

x

+1=

0，∵Δ=

b2-4ac=1-4=-3<0，∴方程无实数根，与题意不符。题型探究已知方程两根的关系式，求参数题型五【例5】若关于x的方程x2

+(2

-

k

)x

+

k2

=

0的两根互为倒数，则