2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第1节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【课标要求】（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题；（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.知识点一基本立体图形角度1立体图形的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点长度相等且延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环（1）（人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（C）A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析：（1）由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，FG，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱.（2）下列结论正确的是（D）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析：（2）由图1知，A错误；如图2，当两个平行截面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确.规律方法辨别空间几何体的两种方法角度2立体图形的直观图1.画法：常用斜二测画法.2.规则：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°（或135°），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.结论按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）S直观图＝24S原图形（2）S原图形＝22S直观图.（1）（苏教必修二P161练习4题改编）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（B）A.三角形的直观图仍然是一个三角形B.90°的角的直观图一定会变为45°的角C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：（1）对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误；C、D显然正确.（2）已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为22解析：（2）法一实际图形和直观图如图1和图2所示.因为OE＝（2）2－1＝1，由斜二测画法可知O'E'＝12，E'F＝24，D'C'＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D'的面积S'法二因为OE＝（2）2－1＝1，S原图形＝1+32×1＝2，故S直观图＝规律方法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半.角度3立体图形的展开图（1）如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（C）A.2 B.3C.23 D.33解析：（1）将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝4+4+2×2×2×（2）（2025·金丽衢十二校联考）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图周长的最小值为8π.解析：（2）设圆柱的母线长和底面圆半径分别为l，r，根据已知得2lr＝4，由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为l侧＝4πr＋2l≥24πr×2l＝8π，当且仅当4πr＝2l，即r＝1π，规律方法1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题.2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展开，注意球无法展开成平面图形.练1（1）下列四个命题正确的是（D）A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面是长方形的直四棱柱是长方体，所有棱长均相等的长方体是正方体解析：（1）对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，由长方体、正方体的结构特征知，D正确.（2）如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（B）A.42＋4 B.46＋4C.82 D.8解析：（2）根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝22，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝8+16＝26，故原平面图形的周长为2＋2＋26＋26＝46＋4.（3）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长SA＝3，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为33.解析：（3）已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，如图，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为AA'，设∠ASA'＝α，圆锥底面周长为2π，所以AA'＝α×3＝2π，所以α＝2π3，在△SAA'中，由SA＝SA'＝3和余弦定理，得AA'＝SA2＋SA知识点二空间几何体的表（侧）面积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r＋r'）l2.空间几何体的表面积柱体（棱柱和圆柱）锥体（棱锥和圆锥）台体（棱台和圆台）球表面积S表面积＝S侧＋2S底S表面积＝S侧＋S底S表面积＝S侧＋S上＋S下S＝4πR2（1）（北师必修二P252例3改编）如图所示，已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为（A）A.6+332 BC.11+332 D.3＋解析：（1）因为CC1⊥平面ABC，AC，CB⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以S梯形BB1C1C＝S梯形ACC1A1＝12×（1＋2）×1＝32，在梯形A1ABB1中，易知A1B1＝2，AB＝22，AA1＝BB1＝2，所以S梯形A1ABB1＝12×（2＋22）×（2）（人A必修二P120习题6题改编）如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2cm，O1O2＝5cm，OO1＝4cm，圆台下底面圆半径为5cm，则该组合体的表面积为（B）A.42πcm2 B.84πcm2C.36πcm2 D.64πcm2解析：（2）由题知，圆柱的上底面面积为4πcm2，圆柱的侧面积为4π×5＝20π（cm2），圆台的下底面面积为25πcm2，圆台的母线长为42＋（5－2）2＝5（cm），所以圆台的侧面积为π（2＋5）×5＝35π（cm2），则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π规律方法求解几何体表面积的类型及方法（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.练2（1）（苏教必修二P201练习1题改编）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（A）A.8π B.4πC.8 D.4解析：（1）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2，故其侧面积为S＝2πr×h＝2π×2×2＝8π.故选A.（2）如图（图1是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD，如图2），砖雕厚度为6cm，AD＝80cm，CD＝3AB，CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为6880π＋960cm2.解析：（2）延长DA与CB交于点O.由CD＝3AB，AD＝80cm，得OA＝40cm，OD＝120cm.因为CD所对的圆心角为直角，所以CD＝60πcm，AB＝20πcm.所以该梅花砖雕的侧面积S侧＝6（CD＋AB＋AD＋BC）＝480π＋960（cm2），扇环ABCD的面积为14（π×1202－π×402）＝3200π（cm2），则该梅花砖雕的表面积S表面积＝480π＋960＋2×3200π＝6880π＋960（cm2）.知识点三空间几何体的体积柱体（棱柱和圆柱）锥体（棱锥和圆锥）台体（棱台和圆台）球体积V＝ShV＝13ShV＝13（S上＋S下＋S上S下V＝43πR结论底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）.角度1公式法求体积（2025·黔西一模）如图所示的花盆为正四棱台，上口宽5cm，下口宽3cm，侧棱长33cm，则该花盆的体积为（）A.2453cm3 B.493cmC.4933cm3 D.245解析：A如图，由题意，该棱台的上、下底面的对角线长分别为52cm，32cm，所以棱台的高为h＝（33）2－（52－322）2＝5（cm），故棱台的体积为V＝13h（S上＋S下＋S上S下）＝13×角度2割补法求体积如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为4.解析：法一（分割法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（12×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（12×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝法二（补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝12×8＝4角度3等积法求体积棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为1.解析：如图，由正方体棱长为2，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，∴V三棱锥A1-D1MN＝V三棱锥D1-A规律方法求空间几何体的体积的三种方法练3（1）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（B）A.36π B.39πC.42π D.45π（2）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为766解析：（1）将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×33＝23，故圆柱的底面半径为3，则容器内液体的体积为12×（10＋16）×π×（3）2＝13×π×3＝39π.故选B（2）法一如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12－BE2＝2－12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱台ABCD法二如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2－BO2＝6，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为62，所以V正四棱台ABCD-A1B1C1一、单项选择题1.下列关于空间几何体的叙述，正确的是（）A.直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥B.棱柱的侧面都是平行四边形C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台D.直平行六面体是长方体解析：B直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，A错误；根据棱柱定义知棱柱的侧面都是平行四边形，B正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台，C错误；底面是长方形的直平行六面体是长方体，D错误.故选B.2.（2025·厦门模拟）用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，A'D'＝B'C'＝2，那么S△ABC＝（）A.2 B.2 C.22D.4解析：D根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，其中AD⊥BC，AD＝2A'D'＝4，BC＝B'C'＝2，原平面图形的面积为S△ABC＝12BC·AD＝12×2×4＝4.故选D3.（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.23π B.33πC.63π D.93π解析：B设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+3，而它们的侧面积相等，所以2πr×3＝πr×3+r2，即23＝3+r2，故r＝3，故圆锥的体积为13π×9×3＝4.（2025·泰州调研）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（）A.24－3π B.24－πC.24＋π D.24＋5π解析：B由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的18球后的剩余部分，则其表面积＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝245.（2025·咸阳模拟）碳60（C60）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（）A.12 B.14C.18 D.20解析：D根据题意，设正五边形为x个，正六边形为y个，碳60（C60）的顶点数为60，有32个面，由顶点数－棱数＋面数＝2，则棱数为90，则有x＋y=32，5x+6y=180，解可得y6.（2025·吕梁一模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆台的母线长为（）A.3 B.4C.5 D.6解析：C设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：r＋R＝6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知：π（r+3）π（3+R）＝r+39－r＝12，解得r＝1，所以R7.（2023·天津高考8题）在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝13PC，线段PB上的点N满足PN＝23PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为（A.19 B.C.13 D.解析：B如图，连接NC.以A为顶点，三棱锥A-PMN与三棱锥A-PNC的高相同，底面分别为△PMN和△PNC，分别以PM和PC为底边，则这两个三角形的高相同，S△PMN∶S△PNC＝PM∶PC＝1∶3，所以V三棱锥A-PMN∶V三棱锥A-PNC＝1∶3，即V三棱锥A-PMN＝13V三棱锥A-PNC.同理，以C为顶点，三棱锥C-PAN与三棱锥C-PAB的高相同，底面分别为△PAN和△PAB，且S△PAN∶S△PAB＝PN∶PB＝2∶3，所以V三棱锥C-PAN∶V三棱锥C-PAB＝2∶3，即V三棱锥C-PAN＝23V三棱锥C-PAB.所以V三棱锥A-PMN＝13V三棱锥A-PNC＝13×23V三棱锥C-PAB＝29V三棱锥C-PAB，即V三棱锥P-AMN＝29V三棱锥P8.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和V3，则（）A.V1＜V2＜V3 B.V2＜V1＜V3C.V3＜V1＜V2 D.V3＜V2＜V1解析：B设正方体棱长为a，正四面体棱长为b，球的半径为R，表面积为S.正方体表面积为S＝6a2，所以a2＝S6，所以V12＝（a3）2＝（a2）3如图，正四面体P-ABC中，D为AC的中点，O为△ABC的中心，则PO是正四面体P-ABC底面ABC上的高.则BD⊥AC，AD＝12b，所以BD＝AB2－AD2＝32b，所以S△ABC＝12×AC×BD＝12×b×32b＝34b2，所以正四面体P-ABC的表面积为S＝4S△ABC＝3b2，所以b2＝33S.又O为△ABC的中心，所以BO＝23BD＝33b.又根据正四面体的性质，可知PO⊥BO，所以PO＝PB2－BO2＝63b，所以V22＝（13×S△ABC×PO）2＝（13×34b2×63b）2＝172b6＝172×（33S）3＝3648S3；球的表面积为S＝4πR2，所以R2＝S4π，所以V32＝（43πR3）2＝136πS3二、多项选择题9.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图为四角攒尖，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为21米，则（）A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为243平方米D.正四棱锥的侧面积为123平方米解析：AC如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，OH＝AH＝a，所以OS＝33a，SH＝233a.在Rt△SAH中，a2＋（233a）2＝21，解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝12×6×23×4＝10.（2023·新高考Ⅱ卷9题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（）A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.AC＝22D.△PAC的面积为3解析：AC如图，连接PO.在△PAB中，PA＝PB＝2，∠APB＝120°，且点O是AB的中点，∴PO⊥AB，∠APO＝60°，∴PO＝1，OA＝3，即圆锥的高h＝1，底面圆的半径r＝3.对于A，该圆锥的体积V＝13πr2h＝13π×（3）2×1＝π，则A正确；对于B，该圆锥的侧面积S＝12×2πr×PA＝π×3×2＝23π，则B不正确；对于C，取AC的中点D，连接OD，PD.由OA＝OC，得OD⊥AC.又∵PA＝PC，D为AC的中点，∴AC⊥PD，∴∠PDO为二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO＝45°.又在Rt△POD中，PO＝1，∴OD＝1，∴AC＝2AO2－OD2＝2（3）2－12＝22，则C正确；对于D，在Rt△POD中，PO＝1，∠PDO＝45°，∴PD＝2，∴△PAC的面积S＝12×AC×PD＝12×11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是（）A.直三棱柱的侧面积是4＋22B.直三棱柱的体积是1C.三棱锥E-AA1O的体积为定值D.AE＋EC1的最小值为22解析：ACD在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋12＋12×2＝4＋22，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝12×1×1×2＝1，故B不正确；如图1所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值22，S△AA1O＝12×22×2＝22，所以V三棱锥E-AA1O＝13×22×22＝16，故C正确如图2所示.则AC1即为所求AE＋EC1的最小值，AC1＝22＋（1+1）2＝2三、填空题12.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，则前两个圆柱的高分别为1152mm，23mm解析：设第一个圆柱的高为h1，第二个圆柱的高为h2，则π（3252）2ℎ2π（652）2ℎ1＝π（325213.（2025·通化模拟）某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6cm，AA1＝4cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为282＋543mg.解析：由题意，该几何体侧面4个面的面积和为4×4×6＝96（cm2），底面积为6×6＝36（cm2），正方形EFGH的面积为3×3＝9（cm2）.考虑梯形ABFE，高为BF2－［12（AB－EF）］2＝332（cm），故正四棱台的侧面积为4×12×（3＋6）×332＝273（cm2），故该模型的表面积为2×（141＋273）＝（282＋543）mg.14.如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V是水面高度x的函数，记为V＝f（x），若正数a，b满足a＋b＝1，则f（a）＋f（b）的最小值为112π.解析：因为圆锥形容器的底面半径和高都是1，水面高度为x，所以容器中水的体积V＝f（x）＝13πx3.因为a＋b＝1，所以b＝1－a（0＜a＜1），f（a）＋f（b）＝13πa3＋13π（1－a）3