2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第1节　随机抽样与统计图表

第1节随机抽样与统计图表【课标要求】（1）了解获取数据的基本途径；（2）会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样；（3）能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.知识点一简单随机抽样1.总体、个体、样本、样本容量统计含义总体把调查对象的全体称为总体个体组成总体的每一个调查对象称为个体样本在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本样本容量样本中包含的个体数称为样本容量2.简单随机抽样（1）简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样（除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样是指不放回简单随机抽样）；（2）简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本；（3）简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数法.（1）〔多选〕下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的为（BD）A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验C.某班有56名学生，指定个子最高的5名学生参加学校组织的篮球赛D.盒子中共有80个零件，采用抽签法从中选出5个零件作为样本解析：（1）A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；C.某班有56名学生，指定个子最高的5名学生参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；根据简单随机抽样的概念可知B、D正确.（2）一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从下面给出的随机数表的第10列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的第五个样本的号码是17.95339522001874720018387958693281768026928280842539解析：（2）依题意，抽取的前5个号码依次是：01，47，20，28，17，所以抽取的第五个号码是17.规律方法应用简单随机抽样的注意点（1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取.（2）简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于总体中个体数较多的情况）.练1（1）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是110，110（2）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为169石.解析：（1）第一次被抽到，显然为110；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为910×19（2）由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1534≈169（石知识点二分层随机抽样1.定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.2.分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样.（1）（2024·驻马店二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（B）A.6人 B.9人C.12人 D.18人解析：（1）设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知200480＝x36，80480＝y36，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人（2）现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（D）A.12 B.14C.18 D.20解析：（2）设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周易》有z册，学生人数为m，则x＋y＋z=94，m=3x，m=4y，m规律方法分层随机抽样问题的类型及解题思路（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；（2）已知某层个体数量，求总体容量：根据分层随机抽样即按比例抽样，列比例式进行计算；（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比＝样本容量总样本量＝各层样本数量练2（1）某社区为迎接中秋节，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12，如果采用比例分配的分层随机抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（C）A.20 B.22C.24 D.26（2）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人.已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生1800人.解析：（1）由比例分配的分层随机抽样的等比例关系，可得1210+13+12×70＝24（2）由题意可知从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高三有120人，所以抽取的比例为120720＝16，设该校共有n名学生，可得300n＝16，解得n＝1800，即该校共有1知识点三统计图表1.常见的统计图表有扇形图、条形图、折线图、雷达图、频率分布直方图等.2.作频率分布直方图的步骤（1）求极差；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图.角度1扇形图与条形图（2024·乐山三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（）A.800，360 B.600，108C.800，108 D.600，360解析：B由扇形图可知，三个年级的学生总人数为400＋600＋1000＝2000，所以样本容量为2000×30%＝600；因为抽取的二年级学生人数为600×30%＝180，所以抽取的二年级学生中满意的人数为180×60%＝108.故选B.规律方法1.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.2.由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量.角度2折线图〔多选〕如图为某新能源汽车企业2016—2023年及2024年1—9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2016—2023年营业额的增长率的统计图.已知2024年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长10%，则下列结论正确的是（）A.2016—2023年营业额逐年增加B.2023年的净利润超过2018—2022年净利润的总和C.2016—2023年营业额的增长率最大的是2023年D.2024年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元解析：BC选项A：2020年的营业额低于2019年，A错误；选项B：2023年的净利润为166.2亿元，2018—2022年的净利润的总和为40.7＋27.8＋16.1＋42.3＋30.5＝157.4（亿元），157.4＜166.2，B正确；选项C：2016—2023年营业额的增长率最大的是2023年，C正确；选项D：设2024年第一季度的净利润为a亿元，则第四季度的净利润为（1＋10%）3a，则a＋（1＋10%）a＋（1＋10%）2a＝a（1－1.13）1－1.1＝213.7，得1.13a－a＝21.37，故2024年第四季度的净利润比第一季度的净利润多规律方法折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.角度3频率分布直方图由于巴黎奥运会上中国健儿的优秀表现，全民对网球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对网球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（）A.140 B.120C.100 D.80解析：C由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频率之和为（0.04＋0.02）×5＝0.3，第二组频率为0.07×5＝0.35.因为第四组与第五组共有150人，所以样本容量n＝1500.3＝500，所以第二组人数为500×0.35＝175，所以第二组中男性球迷人数为175－75＝100.规律方法频率分布直方图的相关结论（1）频率分布直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，（2）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.练3（1）为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况.将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为4，则该校报考飞行员的学生总人数是（B）A.40 B.32 C.28 D.24（2）〔多选〕某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图（如图）.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述正确的是（ABC）A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个解析：（1）由图可知后2个小组频率为（0.013＋0.037）×5＝0.25，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第1小组的频率为（1－0.25）×11+2+3＝0.125，又因为第1小组的频数为4，所以报考飞行员的学生人数是4÷0.125＝32（2）由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差大于5℃，而一月的平均温差小于5℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份只有3个，D不正确.故选A、B、C.一、单项选择题1.从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是（）A.500名学生的体重是总体B.每名被抽取的学生的体重是个体C.抽取的60名学生的体重是一个样本D.抽取的60名学生的体重是样本容量解析：D由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学生的体重，个体是每名被抽取的学生的体重，样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有D不正确.2.（2024·泉州模拟）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系可能是（）A.p1＝p2＜p3 B.p1＝p2＝p3C.p1＝p3＜p2 D.p2＝p3＜p1解析：B因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为nN，所以p1＝p2＝p3.故选B3.总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A.27 B.26C.25 D.19解析：D从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数，符合条件的编号依次有23，20，26，24，25，19，03，…，故第6个个体编号为19.故选D.4.在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的14，且样本量为80，则中间一组的频数为（A.0.25 B.16C.20 D.0.5解析：B设中间一组的频数为x，依题意有x80＝14（1－x80），解得x＝16.5.某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图：已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2024年1月至6月的总利润高于2024年7月至12月的总利润B.该企业2024年1月至6月的平均收入低于2024年7月至12月的平均收入C.该企业2024年7月至12月的支出持续增长D.该企业2024年11月份的月利润最大解析：B因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小，故A错误；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知7月至12月的支出有升有降，故C错误；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误.6.采用分层随机抽样方法对某校共600名高三年级学生的身高（单位：厘米）进行调查，估计得到该年级男生、女生和全体学生的平均身高分别为170.0，160.4，165.6，则该年级的男生人数约为（）A.315 B.320C.325 D.330解析：C设该年级的男生人数为x，则女生人数为600－x，则x600×170.0＋600－x600×160.4＝165.6，即170x＋600×160.4－160.4x＝165.6×600，即9.6x＝600×（165.6－160.4）＝600×5.2，所以x＝600×5二、多项选择题7.某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛，并根据这n名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在[50，60）内的学生有3名，则下列说法正确的是（）A.a＝0.006B.n＝50C.样本中分数在[40，50）内的学生有2名D.用比例分配的分层随机抽样方法从分数在[50，60），[90，100]内的学生中抽取4名，则分数在[50，60）内的有3名解析：ABC对于A，由（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，解得a＝0.006，故A正确；对于B，n＝30.06＝50，故B正确；对于C，样本中分数在[40，50）内的学生有10×0.004×50＝2（名），故C正确；对于D，分数在[50，60）内的学生有0.0060.018+0.006×4＝1（名），故8.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中正确的是（）A.快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多解析：ABC由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%×39.6%＝22.176%，超过20%，所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%，B正确；快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%×17%＝9.52%，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确；快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确.故选A、B、C.三、填空题9.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量（件）1300样本容量（件）130由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是800.解析：设总样本容量为x，则x3000×1300＝130，∴x＝300.∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170（件）.设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C产品的数量为300010.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样的方法抽取若干名教授组成研究小组.已知高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（0＜m≤72≤n）.（1）若从A，B两所高校中共抽取3名教授，从B，C两所高校中共抽取5名教授，则m＝36，n＝108；解析：（1）因为0＜m≤72≤n，从A，B两所高校中共抽取3名教授，从B，C两所高校中共抽取5名教授，所以从高校B中抽取2名教授，从高校A中抽取1名教授，从高校C中抽取3名教授，所以1m＝272＝3n，解得m＝36，n（2）若从高校B中抽取的教授人数是从高校A和C中抽取的教授总人数的23，则三所高校的教授总人数为180（2）因为从高校B中抽取的教授人数是从高校A和C中抽取的教授总人数的23，所以23（m＋n）＝72，解得m＋n＝108，所以三所高校的教授总人数为m＋n＋72＝11.如图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（）A.该同学数学学科成绩一定下降B.该同学政治学科成绩一定下降C.该同学化学学科成绩可能下降D.该同学语文学科成绩一定提升解析：D对于A：第一次月考数学成绩占16%，第二次月考数学成绩占17%，且第一