2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示高中总复习·数学课标要求（1）了解平面向量基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.目录CONTENTS知识点一平面向量基本定理01.知识点二平面向量的坐标运算02.知识点三平面向量共线的坐标表示03.课时跟踪检测04.PART01知识点一平面向量基本定理1.

定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.

基底：若e1，e2

，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有

向量的一个基底.提醒

（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能

作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.有且只有

不共线

A.

①②B.①③C.

①④D.③④B

A.

m＋

nB.

m＋

nC.

m＋

nD.

m＋

nD

规律方法1.

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用三角形法则或平行四边形

法则进行向量的加、减或数乘运算.2.

用平面向量基本定理解题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底

将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

A.

a＋

bB.

a＋

bC.

a－

bD.－

a＋

b

B

PART02知识点二平面向量的坐标运算1.

平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量作正交分解.2.

平面向量的坐标运算（1）向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－

b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝

，｜a｜

＝

⁠；互相垂直

（λx1，λy1）

（x2－x1，y2－y1）

（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

（1）（人A必修二P31例6改编）已知a＝（5，－2），b＝（－4，

－3），若a－2b＋3c＝0，则c＝（

D

）A.

（

，

）B.（

－

，－

）C.

（

，

）D.（

－

，－

）

D

A.

B.

C.2D.

B

规律方法1.

利用向量的坐标运算解题，主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法

则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，

化归为方程（组）进行求解.2.

向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很

多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.

A.

（－9，－1）B.

C.

（1，－5）D.

B（2）设向量a＝（m，1），b＝（1，2），且｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜

b｜2，则m＝

⁠.解析：a＝（m，1），b＝（1，2），a＋b＝（m＋1，3），又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，所以（m＋1）2＋32＝m2＋1＋1＋4，解得m＝－2.－2

PART03知识点三平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b⇔

⁠.

x1y2－x2y1＝0

（1）（人A必修二P31例7改编）已知平面向量a＝（－1，2），b＝

（m，－3），若a＋2b与a共线，则m＝

⁠；

（2）已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），O为坐标原点，则

AC与OB的交点P的坐标为

⁠.

（3，3）

规律方法1.

两平面向量共线的充要条件的两种形式（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－

x2y1＝0；（2）若a∥b（b≠0），则a＝λb.2.

向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当

两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.练3（1）（苏教必修二P33习题8题改编）已知▱ABCD的三个顶点A（－

1，－2），B（3，1），C（0，2），则顶点D的坐标为（

D

）A.

（2，－3）B.（－1，0）C.

（4，5）D.（－4，－1）

D

A.

－2B.

ABD

C.1D.－1PART04课时跟踪检测

A.

c＝

a＋bB.

c＝－

a－bC.

c＝

a＋

bD.

c＝

a－

b

12345678910111213141516√2.

（2025·汕头一模）已知平面向量a＝（3，4），b＝（m，3）.若向

量a－2b与a＋b共线，则实数m＝（

）A.3B.

C.

D.

√12345678910111213141516

A.

（－6，4）B.（－4，6）C.

（4，－6）D.（6，－4）

√12345678910111213141516

A.

（－4，2）B.（－4，－2）C.

（4，－2）D.（4，2）

√12345678910111213141516

A.

B.

C.1D.－1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

a＋

bB.－

a＋

bC.

－

a＋

bD.

a＋

b√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.1B.2C.3D.4√

12345678910111213141516二、多项选择题8.

已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，－2），则

下列结论正确的是（

）A.

｜c｜＝2｜a｜B.

向量c与向量b共线C.

若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则λ1＝0，λ2＝－2D.

对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

P为线段OC的中点时，μ＝

B.

P为线段OC的中点时，μ＝

C.

无论μ取何值，恒有λ＝

D.

存在μ∈R，λ＝

√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

2

1234567891011121314151612.

（2025·河北部分学校联考）若{α，β}是平面内一个基底，向量γ

＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底{α，β}下的

坐标.现已知向量a在基底{p，q}，p＝（1，－1），q＝（2，1）下的坐

标为（－2，2），则a在基底{m，n}，m＝（－1，1），n＝（1，2）

下的坐标为

⁠.

（0，2）

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）判断四边形OABC的形状，并求出其周长.

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值.

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