2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第3节　函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性【课标要求】（1）了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义；（2）会依据函数的性质进行简单的应用.知识点一函数的奇偶性偶函数奇函数前提定义域关于原点对称定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称结论（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性；（3）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.（1）（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（B）A.f（x）＝ex－x2x2+1C.f（x）＝ex－xx+1 D.（2）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2，则函数f（x）＋2为奇函数.（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）解析：（1）法一对于A，f（－x）＝e－x−(−x）2(−x）2+1＝e－x－x2x2+1≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝cos(−x）＋(−x）2(−x）2+1＝cosx＋x2x2+1＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}法二（特殊值法）对于A，f（1）＝e－11+1＝e－12，f（－1）＝e－1－11+1＝e－1－12，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝cos(−x）＋(−x）2(−x）2+1＝cosx＋x2x2+1＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，法三（性质法）易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cosx＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sinx＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.（2）由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f（－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性包括的两个必备条件（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数；（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.练1（1）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝（A）A.－7 B.－1C.1 D.7解析：（1）由结论知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f（x）＝2x－1（x≥0），则f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7.（2）函数f（x）＝lg（2x+1－1）的图象关于（BA.直线y＝x对称 B.原点对称C.x轴对称 D.y轴对称解析：（2）f（x）＝lg（2x+1－1）＝lg1－x1+x，令1－x1+x＞0得－1＜x＜1，故f（x）＝lg（2x+1－1）的定义域为（－1，1），关于原点对称，又f（x）＋f（－x）＝lg1－x1+x＋lg1+x1－x＝lg（1－x1+x·1+（3）（苏教必修一P129问题与探究）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（D）A.f（x）＋g（x）为R上的奇函数B.f（x）－g（x）为R上的偶函数C.f（x）D.｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数解析：（3）因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，所以f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.对于A，x∈R，设F（x）＝f（x）＋g（x），则F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－f（x）－g（x）＝－F（x），故错误；对于B，x∈R，设N（x）＝f（x）－g（x），则N（－x）＝f（－x）－g（－x）＝－f（x）－g（x）≠f（x）－g（x）＝N（x），故错误；对于C，x∈R，g（x）≠0，设M（x）＝f（x）g（x），M（－x）＝f(−x）g(−x）＝－f（x）g（x）＝－M（x）≠M（x），故错误；对于D，x∈R，设H（x）＝｜f（x）g（x）｜，H（－x）＝｜f（－x）g（－x）｜＝｜－f（x）g（x）｜＝｜知识点二函数的周期性1.周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.2.最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.结论对f（x）定义域内任一自变量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f（x），则T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f（x），则T＝2a（（1）（2025·重庆一模）已知f（x）是定义域为R的奇函数且满足f（x）＋f（2－x）＝0，则f（20）＝（B）A.－1 B.0C.1 D.±1解析：（1）由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（－x）＝－f（x），且f（0）＝0，又由f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，即f（2－x）＝－f（x），则有f（2－x）＝f（－x），可得f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，故f（20）＝f（0）＝0，故选B.（2）（2025·菏泽模拟）设f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝log2（x＋1），则函数f（x）在[2，4]上的解析式为f（x）＝log2（5－x）.解析：（2）根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，又x∈[0，2]时，f（x）＝log2（x＋1），则f（4－x）＝log2[（4－x）＋1]＝log2（5－x），又f（x）为周期为4的偶函数，所以f（x）＝f（x－4）＝f（4－x）＝log2（5－x），x∈[2，4]，则有f（x）＝log2（5－x），x∈[2，4].规律方法1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.练2（1）函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2025）＝（C）A.1 B.7C.132 解析：（1）因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝13f（x），所以f（x＋4）＝13f（x+2）＝1313f（x）＝f（x），所以f（x）的周期为4，（2）〔多选〕（2025·深圳模拟）已知非常数函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋2）＋f（x）＝0，f（－x）＝－f（x），则（ACD）A.f（2）＝0B.f（x＋4）为偶函数C.f（x）为周期函数D.f（x）的图象关于点（－4，0）对称解析：（2）因为f（x＋2）＋f（x）＝0，所以f（x）＝－f（x＋2），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的一个周期是4，故C正确；又f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，所以f（2）＋f（0）＝0，即f（2）＝0，故A正确；又f（x）的一个周期为4，且为奇函数，所以f（x＋4）为奇函数，故B不正确；因为f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）的图象也关于点（－4，0）对称，故D正确.提能点函数奇偶性的综合应用角度1利用函数奇偶性求值（解析式）（1）（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln2x－12x+1为偶函数，则aA.－1 B.0C.12 解析：（1）法一要使函数f（x）有意义，必须满足2x－12x+1＞0，解得x＜－12或x＞12.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－12）∪（12，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln－2x－1－2x+1＝（x＋a）ln2x－12x+1，则（x－a）ln2x－12x+1＝（x法二因为f（x）＝（x＋a）ln2x－12x+1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln3，f（1）＝（a＋1）ln13＝－（a＋1）ln3，所以（a－1）ln3＝－（a＋1）ln3，解得（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x＋1，则函数f（x）的解析式为f（x）＝x2－解析：（2）当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋x＋1＝x2＋x＋1，因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝x2＋x＋1，所以f（x）＝－x2－x－1，综上，函数f（x）的解析式为f（x）＝x角度2利用函数奇偶性解不等式（1）设函数f（x）＝log2｜x｜－x－2，则不等式f（x－2）≥f（2x＋2）的解集为（C）A.[－4，0] B.[－4，0）C.[－4，－1）∪（－1，0] D.[－4，－1）∪（－1，0）解析：（1）函数f（x）＝log2｜x｜－x－2的定义域为{x｜x≠0}，且f（－x）＝log2｜－x｜－（－x）－2＝log2｜x｜－x－2＝f（x），所以f（x）＝log2｜x｜－x－2为偶函数，当x＞0时f（x）＝log2x－x－2，因为y＝log2x与y＝－x－2在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，不等式f（x－2）≥f（2x＋2），即f（｜x－2｜）≥f（｜2x＋2｜），等价于｜x－2｜≥｜2x+2|,x－2≠0，2x+2≠0，解得－4≤x＜－1或－1＜（2）（2025·朔州高三阶段练习）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，则m的取值范围为（D）A.（－∞，0） B.（0，＋∞）C.（－∞，1） D.（1，＋∞）解析：（2）易知函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增.函数在x＝0处连续，又f（x）是定义域为R的奇函数，故f（x）在R上是增函数.因为f（－x）＝－f（x），由f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，可得f（3＋m）＞f（7－3m），又因为f（x）在R上是增函数，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故选D.规律方法1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题.练3（1）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x∈[－1，0]时，f（x）＝aex＋1＋1e，若f（1）＝1，则f（0）＝（CA.e B.－eC.1e D.－解析：（1）因为f（x）是定义域为R的偶函数，则f（－1）＝f（1），即ae＋1＋1e＝1，解得a＝－1，所以f（0）＝－1＋1＋1e＝1e（2）〔多选〕（2025·合肥调研）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上单调递减，则（BD）A.f（f（1））＜f（f（2）） B.f（g（1））＜f（g（2））C.g（f（1））＜g（f（2）） D.g（g（1））＜g（g（2））解析：（2）因为f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减，所以f（1）＜f（2），g（0）＝0＞g（1）＞g（2），所以f（g（1））＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g（2）），所以B、D正确，C错误；若｜f（1）｜＞｜f（2）｜，则f（f（1））＞f（f（2）），A错误.（3）（2025·龙岩模拟改编）若定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，且f（3）＝0，试求满足xf（x－2）＜0的x的取值范围.（3）解：因为定义在R上的奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（3）＝0，所以f（x）在（－∞，0）上也单调递增，且f（－3）＝0，f（0）＝0，所以当x∈（－∞，－3）∪（0，3）时，f（x）＜0，当x∈（－3，0）∪（3，＋∞）时，f（x）＞0，所以由xf（x－2）＜0，可得x<0，解得－1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈（－1，0）∪（2，5）.一、单项选择题1.（2025·宁波一模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，则f（2025）＝（）A.2 B.0C.－2 D.－4解析：C因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f（x）为奇函数，所以f（2025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－1）＝－2，故选C.2.（2025·阜阳一模）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x＋x－1，则当x＜0时，f（x）＝（）A.2－x－x－1 B.2－x＋x＋1C.－2－x－x－1 D.－2－x＋x＋1解析：D当x＜0时，－x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－2－x＋x＋1，故选D.3.（2025·西安调研）若函数f（x）＝x－xx+1，则下列函数中为奇函数的是（A.f（x＋1）－2 B.f（x－1）－2C.f（x－1）＋2 D.f（x＋1）＋2解析：C因为f（x）＝x－xx+1＝x＋1－x+1－1x+1－1＝x＋1＋1x+1－2，所以f（x－1）＋2＝x＋1x，由于g（x）＝x＋1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.又g（－x）＝－x－1x＝－g（x），故g（x）＝x＋1x为奇函数，故4.（2025·衡水一模）已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，＋∞），均有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0成立，若a＝f（2），b＝f（－1），c＝f（e13），则a，b，c的大小关系为（A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜b＜a D.b＜c＜a解析：B由题意得，偶函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减.b＝f（－1）＝f（1），（2）6＝8，（e13）6＝e2，因为8＞e2，所以2＞e13，又e13＞1，所以f（2）＜f（e13）＜f（－1），所以a5.（2025·湖北T8联盟模拟）已知函数f（x）＝xlgx＋bx＋a（a≠b）为偶函数，若b＞1，则A.－2024 B.－2C.－2 D.－1解析：D函数f（x）＝xlgx＋bx＋a为偶函数，y＝x是奇函数，则g（x）＝lgx＋bx＋a为奇函数，g（－x）＝－g（x），即g（x）＋g（－x）＝0，lgx＋bx＋a＋lg－x＋b－x＋a＝0，即lgb2－x2a2－x2＝0，∴b26.（2025·重庆模拟）已知函数f（x）＝2－｜x｜＋2x2+11，则使得不等式f（2m）＜f（m＋1）成立的实数m的取值范围是A.（13，1B.（－13，1C.（－∞，－13）∪（1，＋∞D.（－∞，13］∪（1，＋∞解析：C因为f（－x）＝2－｜x｜＋2x2+11＝f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又因为当x＞0时，y＝2－x和y＝2x2+11单调递减，所以f（x）＝2－｜x｜＋2x2+11在（0，＋∞）上单调递减，因为f（2m）＜f（m＋1），所以｜m＋1｜＜｜2m｜，即（m＋1）2＜（2m）2，展开可得3m2－2m－1＞0，解得m∈（－7.已知函数f（x）＝ax－a－x2＋8（a＞0，a≠1）在区间[a，b]上的最小值为－10，则函数f（x）在区间[－b，－A.10 B.26C.－10 D.与a有关解析：B∵f（x）＝ax－a－x2＋8（a＞0，a≠1），y＝ax与y＝－a－x单调性相同，∴f（x）在区间[a，b]，区间[－b，－a]上均为单调函数，令g（x）＝ax－a－x2（a＞0，a≠1），满足g（－x）＝－g（x），即g（x）为奇函数，∵f（x）＝ax－a－x2＋8（a＞0，a≠1）在区间[a，b]上的最小值为－10，∴g（x）＝ax－a－x2（a＞0，a≠1）在区间[a，b]上的最小值为－10－8＝－18，∴g（x）在区间[－b，－a]上的最大值为二、多项选择题8.已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则（）A.f（2026）＝2B.f（x）的值域为[－1，2]C.f（x）在[4，6]上单调递减D.f（x）在[－6，6]上有8个零点解析：ABf（2026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，又函数的周期为4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上有6个零点，所以D错误.9.（2025·苏州调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）满足（）A.f（0）＝0B.y＝f（x）为奇函数C.f（x）在R上是增函数D.f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}解析：ABD由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），即f（0）＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），所以y＝f（x）为奇函数，故B正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2），因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在R上是减函数，故C错误；对于D，由f（x－1）＋f（x2－1）＞0，可得f（x－1）＞－f（x2－1）＝f（1－x2），由C知函数f（x）在R上是减函数，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.三、填空题10.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数f（x）＝3cosπx（答案不唯一）.解析：因为f（x）是最大值为3，最小正周期为2的偶函数，所以f（x）＝3cosπx，或f（x）＝cosπx＋2，或f（x）＝2cosπx＋1等（答案不唯一）.11.已知函数y＝f（x），其中f（x）＝ax4＋bx2＋x＋6，且f（－1）＝2023，则f（1）＝2025.解析：f（x）＝ax4＋bx2＋x＋6，得ax4＋bx2＋6＝f（x）－x，构造函数g（x）＝ax4＋bx2＋6＝f（x）－x，定义域为R.因为g（－x）＝a（－x）4＋b（－x）2＋6＝ax4＋bx2＋6＝g（x）.所以函数g（x）是偶函数，所以g（1）＝g（－1），所以f（1）－1＝f（－1）－（－1），从而f（1）＝f（－1）＋2，又f（－1）＝2023，因此f（1）＝2025.12.（2025·泸州模拟）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且周期为3，又f（－1）＝1，f（0）＝－2，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝0.解析：因为f（x）的周期为3，f（－1）＝1，则f（2）＝f（－1＋3）＝f（－1）＝1，又f（0）＝－2，则f（3）＝f（0＋3）＝f（0）＝－2，因为函数f（x）在R上的图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，故f（1）＝f（－1）＝1，则f（1）＋f（2）＋f（3）＝0，故f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝675×0＝0.四、解答题13.（2025·银川模拟）已知函数f（x）是偶函数.当x＞0时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1）.（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的解析式；（3）求不等式f（x）＜1的解集.解：（1）∵当x＞0时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1），∴loga3＝－1，解得a＝13（2）设x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝log13（－又∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（－x）＝log13（－综上所述，f（x）＝lo（3）∵f（x）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，1＝log1313＝f∴f（x）＜1⇒f（x）＜f（13）∴｜x｜＞13解得x＜－13或x＞1故不等式的解集为{x｜x＜－13或x＞1314.（2025·潍坊模拟）设