2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第2节　用样本的数字特征估计总体

第2节用样本的数字特征估计总体高中总复习·数学课标要求（1）能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）、离散程度参数（标准差、方差、极差），理解集中趋势参数和离散程度参数的统计含义；（2）能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义；（3）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.目录CONTENTS知识点一总体百分位数的估计01.知识点二总体集中趋势的估计02.知识点三总体离散程度的估计03.课时跟踪检测04.PART01知识点一总体百分位数的估计定义意义百

分位

数一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组

数据中

有p%的数据小于或等于这个值，且

至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值反映该组数中小

于或等于该百分

位数的分布特点至少

2.

求一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步：按从小到大排列原始数据；第2步：计算i＝

⁠；第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数

据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.n×p%

（1）（2024·新余二模）一个容量为10的样本，其数据依次为：9，

2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为

（

C

）A.9B.10C.13D.16

C（2）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为

⁠.82

练1（1）（2025·唐山模拟）某校高三年级一共有1

200名同学参加数学

测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103

分的人数至少为（

B

）A.220B.240C.250D.300解析：

∵1

200×80%＝960，∴小于103分的学生最多有960人，则数

学成绩不小于103分的学生至少有1

200－960＝240（人）.B（2）若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是

4.5，则实数x的取值范围是

⁠.解析：

因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数

据为4.5，所以应该有5个数据不大于4.5，则x≥4.5.[4.5，＋∞）PART02知识点二总体集中趋势的估计名称概念平均

数（1）平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么

（x1＋x2＋…

＋xn）就是这组数据的平均数，用

表示，即

＝

⁠

⁠；（2）加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k

（k≤N）个.不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数为fi

（i＝1，2，…，k），则加权平均数为

＝

fiyi

＋…＋xn）

名称概念中位

数将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在

⁠

的一个数据（数据个数是奇数）或最中间两个数据的

⁠

（数据个数是偶数）叫做这组数据的中位数众数一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数

据）叫做这组数据的众数最中间

平均数

（2）频率分布直方图中的常见结论①众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；②平均数的估计值

等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之

和；③中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.

（1）某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的环数分别为9，

10，7，8，10，10，6，8，9，7，设其平均数为a，中位数为b，众数为

c，则有（

D

）A.

a＞b＞cB.

c＞a＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞aD

（2）（2024·新高考Ⅱ卷4题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上

种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表：亩产量[900，950）[950，1

000）[1

000，1

050）[1

050，1

100）[1

100，1

150）[1

150，1

200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（

C

）CA.100块稻田亩产量的中位数小于1

050

kgB.100块稻田中亩产量低于1

100

kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200

kg至300

kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900

kg至1

000

kg之间

规律方法1.

求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计.2.

求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位

数是这两个数据的平均数.3.

若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数

据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数.提醒

中位数、众数分别反映了一组数据的中等水平、多数水平，平均数反

映了数据的平均水平，我们需要根据实际需求选择使用.练2（1）下表是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（PM2.5）的观

测值：396275268225168166176173188168141157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，则下列数字特征没

有改变的是（

C

）A.

极差B.

中位数C.

众数D.

平均数C

（2）（2025·晋中模拟）人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能

写诗、撰文、编码等.一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会

应用.某调查机构为了解大学生使用聊天机器人的情况，对8所高校进行了

调查，其中6所学校给出了使用的学生占比，将数据从小到大依次排列为

71%，75%，77%，80%，82%，85%，另外两所学校未给出调查数据，那

么这8所学校使用的学生比例的中位数不可能是（

D

）A.76%B.77.5%C.80%D.81.5%D

PART03知识点三总体离散程度的估计1.

标准差与方差

2.

总体方差和总体标准差

（2）加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，

不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），

则总体方差为S2＝

⁠.

结论

（1）数据x1，x2，…，xn与数据x'1＝x1＋a，x'2＝x2＋a，…，x'n＝

xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；（2）若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b

的方差为a2s2.

（1）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识

竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所

示，下列关系完全正确的是（

B

）BA.

＜

，

＝

B.

＝

，

＞

C.

＞

，

＝

D.

＝

，

＜

A.1B.2C.2.5D.2.75C

规律方法

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差

越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散

程度越小，越稳定.练3（1）（苏教必修二P257练习3题改编）若样本数据x1，x2，x3，…，

x10的标准差为4，则数据1－2x1，1－2x2，1－2x3，…，1－2x10的标准差

为（

B

）A.4B.8C.16D.64B解析：

设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据y1，

y2，…，yn（其中yi＝axi＋b，i＝1，2，…，n）的方差s'2＝a2s2.由题

意，样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为16，所以1－2x1，1－2x2，1－

2x3，…，1－2x10的方差为（－2）2×16＝64，即标准差为8.（2）慢走是一种既简单又健康的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可

以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程

（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，m，n，20，27，且这6个

月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最

小，则m＝（

C

）A.14B.15C.16D.17C

提能点分层随机抽样的平均数（均值）与方差

某工厂新、旧两条生产线的产量比为7∶3，为了解该工厂生产的一批

产品的质量情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法从两条生产线抽取

样本并计算得：新生产线生产的产品的质量指标的均值为10，方差为1；

旧生产线生产的产品的质量指标的均值为9，方差为2，据此估计该批产品

的质量指标的均值为

；方差为

⁠.

9.71.51规律方法计算分层随机抽样的方差的步骤

练4

（1）（2024·鹰潭一模）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机

抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本.其中，男性平均体

重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数

之比为5∶3，则该单位职工体重的方差为（

D

）A.166B.167C.168D.169

D（2）已知15个数x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为9，现从中剔除

x1，x2，x3，x4，x5这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则

剩余的10个数x6，x7，…，x15的方差为

⁠.8

PART04课时跟踪检测12345678910111213141516一、单项选择题1.

已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（

）A.

这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.

把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.

把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.

把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数解析：

因为100×75%＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的

平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选C.

√2.

（2025·湖南长郡中学模拟）已知样本数据x1，x2，…，x100的平均数

和标准差均为4，则数据－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均数与方差

分别为（

）A.

－5，4B.

－5，16C.4，16D.4，4解析：

由题意知样本数据x1，x2，…，x100的平均数和标准差均为4，

则x1，x2，…，x100的方差为16，则－x1，－x2，…，－x100的平均数为－

4，方差为（－1）2×16＝16，故－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均

数为－4－1＝－5，方差16，故选B.

√123456789101112131415163.

某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生

校本课程的学分，统计如下表所示，s1，s2分别表示甲、乙两班抽取的5名

学生校本课程学分的标准差，则（

）甲811141522乙67102324A.

s1＞s2B.

s1＜s2C.

s1＝s2D.

s1，s2的大小不能确定√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·菏泽一模）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员

某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，

得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表）（

）A.

m＝0.3B.

样本质量指标值的平均数为75C.

样本质量指标值的众数大于其平均数D.

样本质量指标值的第75百分位数为85√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

n＝mB.

n≥m

C.

n＜mD.

n＞m√123456789101112131415166.

（2024·厦门二模）已知样本2，1，3，x，4，5（x∈R）的平均数等

于60%分位数，则满足条件的实数x的个数是（

）A.0B.1

C.2D.3√123456789101112131415167.

四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子向上的点数，根据四名同学

的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（

）A.

平均数为2，方差为2.4B.

中位数为3，方差为1.6C.

中位数为3，众数为2D.

平均数为3，中位数为2√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

（2023·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最

小值，x6是最大值，则（

）A.

x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.

x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.

x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.

x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2024·宁波“十校”联考）已知一组样本数据xi（i＝1，2，3，…，

10）均为正实数，满足x1≤x2≤x3≤…≤x10，下列说法正确的是（

）A.

样本数据的第80百分位数为x8B.

去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C.

若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样

本数据的平均数大于中位数D.

若样本数据的方差s2＝

－4，则这组样本数据的平均数等于2√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题10.

（2025·济南模拟）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为

整数）形成一组数据，这组数据的中位数为8，唯一的众数为9，极差为

3，则该组数据的平均数为

⁠.

7.81234567891011121314151611.

某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.

将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），

[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的

面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为

秒.

16.5

1234567891011121314151612.

（2025·孝感模拟）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方

差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已

知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为

⁠.

13.612345678910111213141516四、解答题13.

一家水果店的店长为了解本店荔枝的日销售情况，安排两位员工分别

记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：千克）.结果如

下：（已按从小到大的顺序排列）上半月：55

70

75

80

80

84

84

85

86

89

91

94

96

99

104下半月：74

75

83

85

85

87

93

94

97

99

101

102

107

107

11712345678910111213141516（1）请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差；解：

将所有数据从小到大排列：55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，

91，93，94，94，96，97，99，99，101，102，104，107，107，117，中位数为第15，16个数的平均数，即（87＋89）÷2＝88，极差为117－55＝62.12345678910111213141516（2）一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不

能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又

能有80%的天数可以满足顾客的需求.请问：每天应该进多少千克荔枝？

1234567891011121314151614.

某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取n名会员进行线

上问卷调查，将会员的评分（满分10分）从低到高分为四个等级：会员评分[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）[9，10]满意等级不满意一般满意非常满意并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[7，8）的会员数为

40人.12345678910111213141516（1）求样本容量n及频率分布直方图中的t值；

12345678910111213141516

（2）若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值

为代表进行评估.12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

15.

〔多选〕（2025·广东一模）现有十个点的坐标为（x1，0），（x2，

0），…，（x10，0），它们分别与（y1，10），（y2，10），…，（y10，

10）关于点（3，5）对称，已知x1，x2，…，x10的平均数为