2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征

第5节离散型随机变量及其分布列、数字特征高中总复习·数学课标要求（1）了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列；（2）理解离散型随机变量的均值、方差的概念；（3）能计算离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.目录CONTENTS知识点一离散型随机变量的分布列01.知识点二离散型随机变量的均值与方差02.课时跟踪检测03.PART01知识点一离散型随机变量的分布列1.

离散型随机变量对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有

的实数X（ω）

与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以

⁠的

随机变量，我们称为离散型随机变量.唯一

一一列举

2.

离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取

每一个值xi的概率

，i＝1，2，…，n为X的概率分

布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn3.

离散型随机变量的分布列的性质（1）pi≥0（i＝1，2，…，n）；（2）p1＋p2＋…＋pn＝

⁠.P（X＝xi）＝pi

1

A.

B.

C.

D.

A（2）（湘教选二P134练习3题改编）已知随机变量X的分布列为X1234P

p设Y＝2X－5，则P（Y≥1）＝

⁠.

规律方法离散型随机变量分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各

个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.练1（1）（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如表所

示，则下列各式正确的是（

C

）ξ－10123P

A.

P（ξ＜3）＝

B.

P（ξ＞1）＝

C.

P（2＜ξ＜4）＝

D.

P（ξ＜0.5）＝0C

（2）若离散型随机变量X的概率分布列如表所示，则a＝

⁠.X－11P4a－13a2＋a

PART02知识点二离散型随机变量的均值与方差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn

x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

平均水

平

（3）均值（数学期望）与方差的性质：①E（aX＋b）＝

⁠

；②D（aX＋b）＝

（a，b为常数）.标准差

偏离程度

aE（X）＋

b

a2D（X）

结论

（1）若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；③D（X）＝E（X2）－（E（X））2；④若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.（2）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－

p）.角度1

均值与方差的性质

（1）〔多选〕（2025·南通模拟）已知随机变量X，Y，其中Y＝

3X＋1，随机变量X的分布列如表X12345Pm

n

若E（X）＝3，则（

AC

）A.

m＝

B.

n＝

C.

E（Y）＝10D.

D（Y）＝21AC

（2）已知随机变量X的分布列为X123Pab2b－a则D（3X－1）的最大值为

.6

规律方法与均值、方差性质有关问题的解题思路

若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思

路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋

b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分

布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相

等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.角度2

离散型随机变量的均值与方差

（1）求白球的个数m；

（2）若有放回地取出两个球，记取出的红球个数为X，求X的分布列、数

学期望和方差.

X012P​

​

​

所以随机变量X的分布列如表所示：规律方法求离散型随机变量X的均值与方差的步骤（1）理解X的意义，写出X可能的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均

值E（ξ），方差D（ξ）.

ξ04080120160P​

​

​

​

​

所以ξ的分布列为提能点均值与方差在决策中的应用

（2025·海南模拟）从2024年开始，新高考数学试卷中为了提高试卷

考点的覆盖面和提高试卷的区分度，对多项选择题的命题进行了改革.新

高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确

的.每一道题考生全部选对得6分，选项中有错误得0分，对而不全得部分

分.对而不全得部分分的规则如下：若多选题中有2个选项正确，则只选对

1个得3分；若多选题中有3个选项正确，则只选对1个得2分，只选对2个得

4分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为p（0＜p＜1），

有3个选项正确的概率为1－p，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其

概率为0）.在一次模拟考试中：

E（Z）＜E（Y）＜E（X），故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案①.规律方法利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概

率模型的差异性，不能混淆；（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特

征；（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方

案，做出决策.练3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，一局游戏中有

A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，且可自主选择猜歌顺序，只

有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基

金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时

获得相应的奖励基金如表：歌曲ABC猜对的概率0.80.50.5获得的奖励基金金额/元1

0002

0003

000（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你

计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基

金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.解：

甲决定按“A，B，C”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，则X的所有可能取值为0，1

000，3

000，6

000，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝1

000）＝0.8×（1－0.5）＝0.4，P（X＝3

000）＝0.8×0.5×（1－0.5）＝0.2，P（X＝6

000）＝0.8×0.5×0.5＝0.2，所以E（X）＝0×0.2＋1

000×0.4＋3

000×0.2＋6

000×0.2＝2

200；甲决定按“C，B，A”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，则Y的所有可能取值为0，3

000，5

000，6

000，P（Y＝0）＝0.5，P（Y＝3

000）＝0.5×（1－0.5）＝0.25，P（Y＝5

000）＝0.5×0.5×（1－0.8）＝0.05，P（Y＝6

000）＝0.5×0.5×0.8＝0.2，所以E（Y）＝0×0.5＋3

000×0.25＋5

000×0.05＋6

000×0.2＝2

200.参考答案一：由于D（X）＝（0－2

200）2×0.2＋（1

000－2

200）

2×0.4＋（3

000－2

200）2×0.2＋（6

000－2

200）2×0.2＝4

560

000，D（Y）＝（0－2

200）2×0.5＋（3

000－2

200）2×0.25＋（5

000－2

200）2×0.05＋（6

000－2

200）2×0.2＝5

860

000，由于D（Y）＞D（X），所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，

大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按

照“A，B，C”的顺序猜歌名.其他合理答案均可.PART03课时跟踪检测

12345678910111213141516一、单项选择题1.

甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用

ζ表示甲的得分，则{ζ＝3}表示（

）A.

甲赢三局B.

甲赢一局输两局C.

甲、乙平局二次D.

甲赢一局输两局或甲、乙平局三次解析：

因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

故{ζ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.√2.

若离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，4－5P（X＝

0）＝p，则p＝（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√123456789101112131415164.

已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X/亿元－102概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y/亿元012概率0.30.40.312345678910111213141516A.

甲产业收益的期望大，风险高B.

甲产业收益的期望小，风险小C.

乙产业收益的期望大，风险小D.

乙产业收益的期望小，风险高解析：

由题意可得E（X）＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D

（X）＝（－1－1.1）2×0.1＋（0－1.1）2×0.3＋（2－1.1）2×0.6＝

1.29；E（Y）＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D（Y）＝（0－1）

2×0.3＋（1－1）2×0.4＋（2－1）2×0.3＝0.6，故E（X）＞E

（Y），D（X）＞D（Y），即甲产业收益的期望大，风险高.则下列说法正确的是（

）√123456789101112131415165.

现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机

抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E（ξ）＝（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

ξ1234P​

​

​

​

123456789101112131415166.

已知随机变量X，Y的分布列如下，则（

）X12P0.60.4Y1－2P0.50.5A.

D（Y）＝9D（X）B.

E（1－X）＝0.5C.

D（1－Y）＝2.5D.

E（X＋Y）＝0.9√12345678910111213141516解析：

E（X）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，E（Y）＝1×0.5－2×0.5

＝－0.5，D（X）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝0.24，D

（Y）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所以D（Y）

≠9D（X），E（1－X）＝－E（X）＋1＝－0.4，D（1－Y）＝（－

1）2D（Y）＝2.25，E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0.9，故选D.

123456789101112131415167.

体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次

发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概

率为p∈（0，1），发球次数为X，若X的数学期望E（X）＞1.75，则p

的取值范围是（

）A.

（0，

）B.

（

，1）C.

（0，

）D.

（

，1）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中ab≠0，则下列说法正确

的是（

）X012Pa

A.

a＋b＝1B.

E（X）＝2bC.

D（X）有最大值D.

D（X）有最小值√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

已知随机变量X的取值为不大于n（n∈N*）的非负整数，它的概率分

布列为X0123…nPp0p1p2p3…pn12345678910111213141516其中pi（i＝0，1，2，3，…，n）满足pi∈[0，1]，且p0＋p1＋p2＋…＋

pn＝1.定义由X生成的函数f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…

＋pnxn，g（x）为函数f（x）的导函数，E（X）为随机变量X的期望.

现有一枚质地均匀的正四面体形骰子，四个面分别标有1，2，3，4四个点

数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为

f1（x），则（

）A.

E（X）＝g（2）B.

f1（2）＝

C.

E（X）＝g（1）D.

f1（2）＝

√√12345678910111213141516X2345678P​

​

​

​

​

​

​

解析：

因为f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，则

g（x）＝f'（x）＝p1＋2p2x1＋3p3x2＋…＋ipixi－1＋…＋npnxn－1，E

（X）＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，当x＝1时，E（X）＝p1＋

2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn＝g（1），故选项A错误，选项C正确；连续

抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题10.

随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（｜X｜＝1）＝

，公差d的取值范

围是

⁠.

1234567891011121314151611.

已知随机变量X的分布列为X－2－10123P

（4，9]12345678910111213141516

12345678910111213141516

5

12345678910111213141516ξ0123P​

​

​

​

12345678910111213141516四、解答题13.

袋中装有大小相同的4个红球，2个白球.某人进行摸球游戏，一轮摸球

游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充

分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸

球游戏结束.（1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此

人总得分X的分布列和数学期望.

12345678910111213141516X2345P​

​

​

​

所以一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为：1234567891011121314151614.

近年来，全国旅游业蓬勃发展.某景区有一个自愿消费的项目：在参观

某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出

口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走

照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营

一段时间后，统计出平均只有30%的游客会选择带走照片.为改善运营状

况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系做了市场调研，发现收费与

消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1

元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05.假设平均每天有5

000人参

观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每位游客是否购买照片

相互独立.12345678910111213141516（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前

多还是少？解：

当收费为20元时，每张照片被带走的概率为0.3，不被带走的概

率为0.7，设此时每张照片的利润为Y1元，则Y1的分布列为Y115－5P0.30.7E（Y1）＝15×0.3－5×0.7＝1，则每天的平均利润为5

000元.当收费为10元时，每张照片被带走的概率为0.3＋0.05×10＝0.8，不被带

走的概率为0.2，12345678910111213141516Y25－5P0.80.2E（Y2）＝5×0.8－5×0.2＝3，则每天的平均利润为5

000×3＝15

000（元）.调整价格后，该项目每天的平均利润比调整前多10

000元.设每张照片的利润为Y2元，则Y2的分布列为12345678910111213141516（2）要使每天的平均利润达到最大