2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 指、对同构

指、对同构在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的是同一函数），无疑会大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.几种常见变形：xex＝ex＋lnx；exx＝ex－lnx；xex＝elnx－x；x＋lnx＝ln（xex）；x－lnx一、指、对同构的理解（1）（2025·扬州模拟）若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，则（B）A.ln（2b－a＋1）＜0B.ln（2b－a＋1）＞0C.ln｜a－2b｜＞0D.ln｜a－2b｜＜0解析：（1）对已知不等式变形可得：2a＋log2a＜22b＋log22b.令f（x）＝2x＋log2x，x＞0.易知函数y＝2x与y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上为增函数.2a＋log2a＜22b＋log22b即f（a）＜f（2b），根据函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上为增函数，可得2b＞a＞0，则2b－a＞0.所以2b－a＋1＞1，则ln（2b－a＋1）＞ln1＝0，A错，B对.无法确定｜a－2b｜与1的大小，故无法确定ln｜a－2b｜与0的大小，C、D都错.故选B.（2）若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b（lnb－2）＝e3λ－1（a，b∈R＋）可化为同构方程，则ab的值为（A）A.e8 B.eC.ln6 D.1解析：（2）对aea－2＝e4两边取自然对数，得lna＋a＝6①，对b（lnb－2）＝e3λ－1两边取自然对数，得lnb＋ln（lnb－2）＝3λ－1，即lnb－2＋ln（lnb－2）＝3λ－3②，因为方程①②为两个同构方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，设F（x）＝lnx＋x，x＞0，则F'（x）＝1x＋1＞0，所以F（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以方程F（x）＝6的解只有一个，所以a＝lnb－2，所以ab＝b（lnb－2）＝e3×3－1＝e8规律方法利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.二、和、差型同构（1）已知x＞0，y＞0，且ex＋lny＞x＋y，则下列选项正确的是（B）A.x＞y B.x＞lnyC.x＜y D.x＜lny解析：原不等式等价于ex－x＞y－lny，等价于ex－lnex＞y－lny.令g（x）＝x－lnx，则不等式ex－lnex＞y－lny，等价于g（ex）＞g（y），因为g'（x）＝x－1x，所以当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝x－1x＞0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈（0，1]，恒有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln（2）已知函数f（x）＝aex－1－lnx＋lna，若f（x）≥1，试求实数a的取值范围.解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f（x）＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1，等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.令g（x）＝ex＋x，上述不等式等价于g（lna＋x－1）≥g（lnx）.显然g（x）为增函数，则不等式等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1.令h（x）＝lnx－x＋1，则h'（x）＝1x－1＝1当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以lna≥0，即a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.规律方法和、差型ea±a＞b±lnb的两种同构方式（1）同左构造：ea±a＞elnb±lnb，构造函数f（x）＝ex±x；（2）同右构造：ea±lnea＞b±lnb，构造函数f（x）＝x±lnx.三、积型同构（1）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜blnb，则（B）A.ab＞e B.b＞eaC.ab＜e D.b＜ea解析：由已知aea＜blnb，则ealnea＜blnb.设f（x）＝xlnx，则f（ea）＜f（b）.因为a＞0，则blnb＞0，则b＞1.当x＞1时，f'（x）＝lnx＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以ea＜b.故选B.（2）（2025·长沙模拟）设实数m＞0，若对任意的x∈（1，＋∞），不等式2e2mx－lnxm≥0恒成立，试求实数m解：因为m＞0，不等式2e2mx－lnxm≥0成立，即2e2mx≥lnxm成立，即2me2mx≥进而转化为2mxe2mx≥xlnx＝elnx·lnx恒成立，构造函数g（x）＝xex（x＞0），可得g'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，则不等式2e2mx－lnxm≥0恒成立等价于g（2mx）≥g（lnx）即2mx≥lnx恒成立，进而转化为2m≥lnxx设h（x）＝lnxx，可得h'（x）＝当0＜x＜e时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞e时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以当x＝e，函数h（x）取得最大值，最大值为h（e）＝1e，所以2m≥1即实数m的取值范围是［12e，＋∞规律方法积型aea≤blnb的三种同构方式（1）同左构造：aea≤elnblnb，构造函数f（x）＝xex；（2）同右构造：ealnea≤blnb，构造函数f（x）＝xlnx；（3）取对构造：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）（b＞1），构造函数f（x）＝x＋lnx.四、商型同构（1）已知函数f（x）＝lneax－1eax，若不等式f（x）≥lnx－1x对x∈（0，e]A.（－∞，1e］ B.［－1e，C.（0，1e］ D.［1e，＋解析：（1）因为lneax－1eax≥lnx－1x，设函数g（x）＝lnx－1x，x∈（0，e]，则lneax－1eax≥lnx－1x等价于g（eax）≥g（x）.因为g'（x）＝2－lnxx2，所以当x∈（0，e]时，g'（x）＞0，则g（x）在（0，e]上单调递增，所以当x∈（0，e]时，g（eax）≥g（x）等价于eax≥x，即a≥lnxx恒成立.设函数h（x）＝lnxx，x∈（0，e]，则h'（x）＝1－lnxx2≥0，即h（（2）已知x∈N，y∈N，x＜y，则方程xy＝yx的解的组数为（B）A.0 B.1C.2 D.无穷多个解析：（2）xy＝yx，两边取自然对数，得ylnx＝xlny，即lnxx＝lnyy，设f（x）＝lnxx，x＞0，则f'（x）＝1－lnxx2，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，且当x∈（0，1]时，f（x）≤0，当x＞1时，f（x）＞0，f（2）＝ln22，f（4）＝ln44＝ln22，所以满足x∈N，y∈N，规律方法商型eaa≤（1）同左构造：eaa≤elnblnb，构造函数（2）同右构造：ealnea≤blnb，（3）取对构造：a－lna≤lnb－ln（lnb）（b＞1），构造函数f（x）＝x－lnx.1.不等式ax＋eax＞ln（bx）＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是（）A.f（x）＝lnx＋x B.f（x）＝xlnxC.f（x）＝xex D.f（x）＝x解析：A由恒等式x＝lnex可得ax＝lneax，所以ax＋eax＞ln（bx）＋bx可变形为lneax＋eax＞ln（bx）＋bx，构造函数f（x）＝lnx＋x，可得f（eax）＞f（bx）.2.已知函数f（x）＝mln（x＋1）－3x－3，若不等式f（x）＞mx－3ex在（0，＋∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[0，3] B.[3，＋∞）C.（－∞，3] D.（－∞，0]解析：Cmln（x＋1）－3（x＋1）＞mx－3ex＝mlnex－3ex.令g（x）＝mlnx－3x，则有g（x＋1）＞g（ex），因为1＜x＋1＜ex，所以g（x）在（1，＋∞）上单调递减，从而g'（x）＝mx－3≤0⇒m≤3x，故m≤33.设a，b都是正数，若aea＋1＋b＜blnb（其中e是自然对数的底数），则（）A.ab＞e B.b＞ea＋1C.ab＜e D.b＜ea＋1解析：B由已知aea＋1＋b＜blnb，移项整理得aea＋1＜blnbe，两边同时除以e得aea＜belnbe，为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得aea＝ea·lnea，故ea·lnea＜belnbe.设f（x）＝x·lnx，则有f（ea）＜f（be），因为a＞0，所以ea＞1.因为b（lnb－1）＞0，b＞0，所以lnb＞1，故b＞e，be＞1，当x＞1时，f'（x）＝1＋lnx＞0，f（x）单调递增，所以ea＜be，4.（2025·合肥模拟）已知x（aex＋1）＞lnex有解，则实数a的取值范围为（A.（－1e2，＋∞） B.（－1eC.（－1，＋∞） D.（－∞，1e解析：A不等式x（aex＋1）＞lnex可化为a（xex）＋x＋lnx＞1，a（xex）＋ln（xex）＞1，令t＝xex，则at＋lnt＞1且t＞0，由已知不等式lnt＋at＞1在（0，＋∞）上有解，所以a＞1－lntt在（0，＋∞）上有解.令f（t）＝1－lntt，则f'（t）＝lnt－2t2，当0＜t＜e2时，f'（t）＜0，f（t）在（0，e2）上单调递减；当t＞e2时，f'（t）＞0，f（t）在（e2，＋∞）单调递增，所以f（t）min＝f（e2）＝－1e2，所以a＞－15.对于任意的x＞0，ex≥（a－1）x＋ln（ax）恒成立，则a的最大值是