中学几何动点问题专项训练

中学几何动点问题专项训练引言在中学几何中，动点问题是中考及各类竞赛的核心压轴题型之一。它以“点的运动”为背景，融合了几何图形的性质、函数关系、最值分析等多方面知识，重点考查学生的动态思维能力（从变中找不变）、几何建模能力（将动态问题转化为静态模型）及逻辑推理能力（严谨推导结论）。动点问题的难点在于“动”——点的位置变化会导致图形形状、大小、位置的变化，但本质是“动态中的不变量”（如定线段、定角度、定比例、定轨迹）。掌握这些不变量，是解决动点问题的关键。本文将从类型分类、模型构建、解题策略三个维度展开，结合专项训练题，帮助学生系统突破动点问题。一、动点问题的核心类型及典型模型根据动点的数量、运动方式及考查目标，动点问题可分为四大类：单动点轨迹问题、双动点联动问题、动点与函数结合问题、动点与最值问题。每类问题对应不同的模型与解法，以下逐一说明。（一）单动点轨迹问题——定轨迹法核心特征：单个点在运动过程中，满足某种固定的几何条件（如到定点距离为定长、到定直线距离为定长、对定线段张角为定角），其轨迹为固定图形（圆、直线、线段、圆弧等）。常用模型：定距轨迹：到定点距离为定长→圆（如圆的定义）；到定直线距离为定长→两条平行线。定角轨迹：对定线段张角为定角→圆弧（如“定弦定角”模型，圆心在定线段的垂直平分线上，半径由定角计算）。定比轨迹：到两定点距离之比为定值→阿氏圆（特殊情况：比为1→线段的垂直平分线）。例1（定弦定角模型）：如图，AB为定线段，长度为4，点P满足∠APB=60°，求点P的轨迹。解析：根据圆的性质，定弦所对的定角的点的轨迹是圆弧（不包括A、B两点）。圆心O在AB的垂直平分线上，且∠AOB=2∠APB=120°（圆心角是圆周角的2倍）；半径OA=OB=AB/sin60°=4/(√3/2)=8/√3=(8√3)/3；轨迹为劣弧AB（∠APB=60°为锐角，对应劣弧），优弧AB对应的角为120°，不符合条件。（二）双动点联动问题——变量关联法核心特征：两个或多个点同时运动，运动速度、方向存在固定关系（如比例关系、同步关系），需通过变量关联（如用同一参数表示多个点的坐标）分析轨迹或数量关系。常用方法：坐标法：建立坐标系，用同一参数（如时间t）表示各动点坐标，进而推导轨迹方程或数量关系；几何关联法：通过全等、相似、中位线等几何定理，将双动点的运动转化为单一变量的变化（如中点联动、比例联动）。例2（中点联动模型）：在正方形ABCD中，AB=2，点E从A出发沿AB向B运动（速度1），点F从B出发沿BC向C运动（速度1），同时出发，设运动时间为t(t∈[0,2])，求线段EF的中点M的轨迹。解析：建立坐标系：A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)。E点坐标：(t,0)（沿AB运动，速度1，时间t）；F点坐标：(2,t)（沿BC运动，速度1，时间t）；中点M坐标：((t+2)/2,(0+t)/2)=(t/2+1,t/2)。消去参数t，得轨迹方程：y=x-1（x∈[1,2],y∈[0,1]），即线段（从(1,0)到(2,1)）。（三）动点与函数结合问题——坐标转化法核心特征：动点的运动导致某些几何量（如长度、面积、角度）随时间变化，需通过坐标表示将几何量转化为函数关系式（一次函数、二次函数、三角函数等），进而分析函数性质（如定义域、值域、极值）。解题步骤：1.建立坐标系，设动点坐标（用参数t表示）；2.用坐标表示目标几何量（如面积、距离）；3.化简得函数关系式，分析其性质（如最值、增减性）。例3（面积与二次函数模型）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P从C出发沿CA向A运动（速度1），点Q从B出发沿BC向C运动（速度1），同时出发，设运动时间为t(t∈[0,3])，求△CPQ的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值。解析：建立坐标系：C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)。P点坐标：(t,0)（沿CA运动，t∈[0,3]）；Q点坐标：(0,4-t)（沿BC运动，t∈[0,3]，Q未到C）；面积S=(1/2)×CP×CQ=(1/2)×t×(4-t)=-(1/2)t²+2t。函数性质：二次函数，开口向下，顶点在t=-b/(2a)=2；最大值S=-(1/2)×4+2×2=2（当t=2时取得）。（四）动点与最值问题——几何模型法核心特征：动点运动过程中，目标量（如距离、面积、周长）随位置变化而变化，需通过几何模型（如将军饮马、胡不归、阿氏圆、垂线段最短）求极值。常用模型：将军饮马：求PA+PB最小值（P在直线上）→作对称点，转化为两点之间线段最短；胡不归：求PA+k·PB最小值（0<k<1）→构造角θ，使cosθ=k，转化为PA+PQ（PQ=k·PB）；阿氏圆：求PA+k·PB最小值（k≠1）→利用阿氏圆的比例性质，转化为两点之间线段最短；垂线段最短：求点到直线的距离最小值→垂线段长度。例4（胡不归模型）：如图，点A(0,2)，B(3,0)，点P在x轴上运动，求PA+(1/2)PB的最小值。解析：步骤1：模型转化：(1/2)PB可表示为PB·cos60°（因为cos60°=1/2），故构造∠PBQ=60°，过P作PQ⊥BQ于Q，则PQ=(1/2)PB；(2)目标转化为PA+PQ的最小值（PQ=(1/2)PB）。步骤2：求最小值：根据两点之间线段最短，当A、P、Q三点共线且AQ⊥BQ时，PA+PQ最小（即AQ的长度）。步骤3：计算AQ长度：BQ的方程：∠OBQ=60°，B(3,0)，斜率为tan(180°-60°)=-√3，方程为y=-√3(x-3)；点A(0,2)到直线BQ的距离：\(d=\frac{|-√3×0+2-3√3|}{\sqrt{(√3)^2+1^2}}=\frac{|2-3√3|}{2}=\frac{3√3-2}{2}\)（3√3≈5.196>2，取绝对值后为正）。结论：PA+(1/2)PB的最小值为(3√3-2)/2。二、动点问题解题通用策略无论动点问题类型如何，均可遵循以下五步解题法：1.定范围：确定动点的运动范围（如线段、直线、圆），避免遗漏情况；2.设变量：用参数（如时间t、坐标x）表示动点位置，统一变量；3.找关系：通过几何定理（相似、全等、勾股定理）或坐标法，建立目标量与变量的关系式；4.析极值：若涉及最值，通过函数性质（如二次函数顶点、导数）或几何模型（如将军饮马）求极值；5.验结果：验证结果是否符合动点的运动范围（如t的取值范围），避免增根。三、专项训练题及解析（一）单动点轨迹问题（基础）题目1：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P在BC边上运动，连接AP，作∠APQ=∠B，PQ交AC于Q，求点Q的轨迹。解析：相似分析：∠APQ=∠B=∠C，∠PAQ=∠CAP（公共角），故△APQ∽△ACP（AA相似）；比例关系：AQ/AP=AP/AC→AQ=AP²/AC=AP²/5；AP范围：AP是A到BC的距离（最小值4）到AB（最大值5），故AQ=AP²/5∈[16/5,5]；轨迹：AC边上从距离A点16/5（约3.2）到C点的线段。（二）双动点联动问题（中等）题目2：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E从A出发沿AD向D运动（速度1），点F从C出发沿CB向B运动（速度1），同时出发，设运动时间为t(t∈[0,3])，求四边形AEFB的面积。解析：坐标系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)；E(t,0)（沿AD运动，AD是y轴？不，AD是从A(0,0)到D(0,3)，故E(0,t)）；F(4,3-t)（沿CB运动，CB是从C(4,3)到B(4,0)，故F(4,3-t)）；四边形AEFB是梯形，上底AE=t，下底BF=3-t，高AB=4；面积S=(1/2)×(AE+BF)×AB=(1/2)×(t+3-t)×4=6（定值）。结论：四边形AEFB的面积始终为6，与t无关（动态中的不变量）。（三）动点与函数结合问题（较难）题目3：在半径为2的圆O中，AB为直径，点C在圆上运动（不与A、B重合），求△ABC的面积S与AC长度x的函数关系式，并求S的最大值。解析：AB=4（直径），∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）；BC=√(AB²-AC²)=√(16-x²)（x∈(0,4)）；面积S=(1/2)×AC×BC=(1/2)x√(16-x²)；求最大值：令f(x)=x√(16-x²)，则f(x)²=x²(16-x²)=-x⁴+16x²=-(x²-8)²+64，故f(x)最大值为8，S最大值为4（当x²=8→x=2√2时取得）。（四）动点与最值问题（难题）题目4：在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，点P在BC边上运动，求PA的最小值。解析：几何分析：PA是点A到BC边上的点P的距离，最小值为A到BC的垂线段长度（垂线段最短）；计算垂线段：作AD⊥BC于D，∠BAD=60°，AD=AB×cos60°=6×1/2=3；结论：PA的最小值为3（当P=D时取得）。四、总结与提升建议（一）核心思想动点问题的本质是“动态中的不变量”——通过分析运动过程中保持不变的几何关系（如定轨迹、定比例、定角度），将动态问题转化为静态问题解决。（二）提升建议1.熟练模型：牢记常见几何模型（如定弦定角、将军饮马、胡不归），快速识别问题类型；2.坐标辅助：学会用坐标法将几何问题转化为代数问题，利用函数分析（如二次函数顶点、点到直线距离）；3.几何直观：多画动态图（如用几何画板模拟运动），培养对图形变化的感知能力；4.分类讨论：考虑动点在不同位置的情况（如线段端点、临界点），避免遗漏；5.总结规律：