数学四年级下册第七讲三角形（一）基础版（含答案教师版学生版）人教版

第7讲三角形（一）知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈第三边〈两边之和。判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。10、等边三角形是特殊的等腰三角形考点1：三角形的特性【典例1】（2020春•广元期末）下面各组小棒中能围成三角形的是（）组．A．3厘米、3厘米、7厘米 B．2厘米、3厘米、5厘米 C．3厘米、4厘米、5厘米【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析。【解答】解：A、3+3＜7，不能够围成三角形；B、2+3＝5，不能够围成三角形；C、3+4＞5，能围成三角形。故选：C。【点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。【典例2】（2020春•通许县期末）已知三角形其中两边分别长5厘米和8厘米，那么这个三角形周长最大是（）厘米．（三条边都是整数）A．25 B．26 C．无法确定【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此求得第三边的最大值，再根据周长的定义解答即可。【解答】解：8﹣5＜第三边＜5+8所以：3＜第三边＜13即第三边的取值3～13厘米（不包括3厘米和13厘米）因为三条边的长度都是整厘米数，所以第三条边最长为：13﹣1＝12（厘米）5+8+12＝25（厘米）答：这个三角形的周长最大是25厘米。故选：A。【点评】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征解决问题。【典例3】（2020春•湖滨区期末）一根小棒长8厘米，如果把它截成两段后与一根长4厘米的小棒一起围成三角形，下面截法正确的是（）A．3cm和5cm B．2cm和6cm C．1cm和7cm【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。【解答】解：A、3+4＞5，A能围成三角形；B、2+4＝6，B不能围成三角形；C、1+4＜7，C不能围成三角形。故选：A。【点评】此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答。【典例4】（2020春•永年区期末）在如图平面图形中，最不易变形的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（易变形），进行解答即可。【解答】解：在如图平面图形中，最不易变形的是三角形。故选：D。【点评】此题考查了三角形的稳定性在实际生活中是应用。【典例5】（2020春•太原期末）用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来（如图），这样风就不易吹动窗户．这是生活中应用三角形的稳定性的一个例子．【分析】根据三角形具有稳定性的特性解答即可。【解答】解：用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来（如图），这样风就不易吹动窗户．这是生活中应用三角形的稳定性的一个例子。故答案为：三角形的稳定性。【点评】解答此题的关键是明确：三角形具有稳定性。考点2：三角形的分类【典例1】（2020•江北区）表示各种三角形之间的关系，下面正确的是（）A． B． C． D．【分析】三角形按照角可以分为：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形；按边可以分为：不等边的三角形和等腰三角形，而等边三角形是等腰三角形的一种，即等腰三角形包含了等边三角形，由此选择即可．【解答】解：三角形按角分类：按边分类：选项中B是正确的．故选：B．【点评】本题考查了三角形的分类，找清楚分类的标准，以及弄清楚它们之间的包含关系是解决本题的关键．【典例2】（2019秋•德州期中）如图的分针与时针所形成的角是平角．√（判断对错）【分析】钟面上被分成了12个大格，每格是360°÷12＝30°，在6点时，分针指向12，时针指向6，分针与时针相差6格，它们之间的夹角是30°×6＝180°．【解答】解：当6点时，分针与时针都相差6格，它们之间的夹角是30°×6＝180°，即分针与时针成平角，所以本题说法正确；故答案为：√．【点评】此题实际上考查的是学生对钟面的认识，以及有关钟面的计算问题．【典例3】．（2019春•莲湖区校级月考）把一个锐角三角形顺时针旋转90°，它就变成了直角三角形．×（判断对错）【分析】根据旋转的特征，一个图形绕某点顺时针旋转90°，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形，即旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．【解答】解：一个图形绕某一点顺时针旋转90°，其大小、形状不变，位置发生变化，原题的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题是考查旋转的特征．图形平移、旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．综合练习一．选择题1．（2020秋•磐石市期末）一个三角尺上有（）个锐角。A．1 B．2 C．3【分析】因为三角形的三个内角的和是180度，三角尺中有一个直角，另两个角的度数都小于90度，所以是锐角；由此解答即可。【解答】解：一个三角尺上有2个锐角。故选：B。【点评】此题应根据三角形的内角和是180度，并结合锐角的含义进行解答。2．（2020春•灌阳县期末）长度如下的三组线段中，不能围成三角形的是（）A．1厘米、1厘米、2厘米 B．2厘米、3厘米、4厘米 C．3厘米、3厘米、3厘米【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析。【解答】解：A、1+1＝2，不能够组成三角形；B、2+3＞4，能够组成三角形；C、3+3＞3，能组成三角形。故选：A。【点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。3．（2020春•仪征市期末）菲菲有两根小棒，长度分别是4厘米和7厘米，她准备再添一根小棒和它们围成一个三角形，添的这根小棒的长度可以是（）厘米．A．3 B．11 C．2 D．10【分析】三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此解答即可。【解答】解：7﹣4＜第三边＜7+4所以：3＜第三边＜11即第三边的取值在3～11厘米（不包括3厘米和11厘米），因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最长为：11﹣1＝10（厘米），最短为：3+1＝4（厘米）观察选项，10厘米符合题意。故选：D。【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。4．（2020春•峄城区期末）把一根13厘米的小棒截成3根整厘米的小棒围成一个三角形．最长的一根小棒不能超过（）厘米．A．8cm B．7cm C．6cm【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。【解答】解：因为三角形两边之和大于第三边，13的一半是6.5，那么小于6.5的最大的整数是6，那么其余两边之和就7，刚好满足。故选：C。【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。5．（2020春•邛崃市期末）下面（）组中的三根小棒可以首尾相连，摆成一个三角形．（单位：厘米）A．5，8，13 B．6，4，7 C．8，11，37 D．15，25，5【分析】三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此解答即可。【解答】解：A、因为5+8＝13，所以不能围成三角形；B、因为6+4＞7，所以能围成三角形；C、因为8+11＜37，所以不能围成三角形；D、因为15+5＜25，所以不能围成三角形。故选：B。【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。6．（2020春•浦城县期末）动物王国举行围篱笆比赛，（）围的比较牢固．A．小熊 B．公鸡 C．小狗【分析】三角形具有稳定性，四边形易变形，所以比较牢固，据此解答即可。【解答】解：小熊围的比较牢固。故选：A。【点评】此题考查了三角形具有稳定性、四边形易变形的性质，要熟练掌握。7．（2020春•荥阳市期末）小明将窗户打开后，用窗钩AB可将其固定（如图）．他这样做的依据是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线【分析】根据三角形的稳定性特点进行选择即可。【解答】解：根据三角形的特性可知：三角形具有稳定性，所以小明将窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，是利用了三角形的稳定性。故选：A。【点评】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用。8．（2020春•巩义市期末）下面各组小棒不能拼成三角形的选项是（）A． B． C．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。【解答】解：A、因为4+4＞4，所以可以围成三角形；B、因为3+3＜7，所以不能围成三角形；C、因为3+5＞5，所以可以围成三角形。故选：B。【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答。9．（2020春•石阡县期末）下面四句话中错误的是（）A．一个三角形中至少有两个锐角 B．一个三角形中最多有一个钝角 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角一定是锐角【分析】一个三角形中至少有两个锐角，A正确；一个三角形中最多有一个钝角，B正确；等腰三角形的顶角不一定是锐角，还可能是直角、钝角。C错误；等腰三角形的底角一定是锐角，D正确。【解答】解：四句话中错误的是等腰三角形的顶角一定是锐角。故选：C。【点评】此题考查了三角形中角的相关知识，要熟练掌握，牢记三角形内角和是180°。10．（2020春•浦城县期末）下面被遮住的图形一定是钝角三角形的是（）A． B． C．【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。【解答】解：下面被遮住的图形一定是钝角三角形的是。故选：C。【点评】此题考查了三角形的分类，灵活掌握钝角三角形的含义，是解答此题的关键。11．（2020春•济南期末）在一个三角形中最大的一个角是89°，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】在三角形中，最大的一个角是89度，是锐角，那么剩下的两个角比它小，一定也是锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形是锐角三角形．【解答】解：由分析知，最大的一个角是89度，是锐角，那么剩下的两个角一定也是锐角，三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的分类，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度以及锐角三角形的判定方法．二．填空题12．（2020春•安陆市期末）用长分别是3cm和8cm的小棒与第三根小棒首尾相连围成三角形，第三根小棒最短是6cm，最长是10cm．（小棒长度是整厘米数）【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此计算并解答即可。【解答】解：8﹣3＜第三边＜8+3所以：5＜第三边＜11即第三边的取值在5～11厘米（不包括5厘米和11厘米）因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最短是：5+1＝6（厘米）最长是：11﹣1＝10（厘米）故答案为：6，10。【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。13．（2020春•灌阳县期末）用三根小棒摆三角形，其中两根小棒的长度分别是5cm、8cm，那么第三根小棒最短是4cm，最长是12cm．（填整厘米数）【分析】三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此计算并解答即可。【解答】解：8﹣5＜第三边＜8+5所以：3＜第三边＜13即第三边的取值在3～13厘米（不包括3厘米和13厘米）因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最短是：3+1＝4（厘米）最长是：13﹣1＝12（厘米）故答案为：4，12。【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。14．（2020春•潘集区期末）一个三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，那么它的第三条边的长要小于14厘米．【分析】三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此解答即可。【解答】解：8+6＝14（cm）答：它的第三条边的长要小于14厘米。故答案为：14。【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。15．（2020春•中原区期末）建筑工人在搭建脚手架时，搭出三角形框架的原因是三角形具有稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性，进行解答即可。【解答】解：建筑工人在搭建脚手架时，搭出三角形框架的原因是三角形具有稳定性。故答案为：三角形具有稳定性。【点评】此题考查的是三角形具有稳定性这一性质，应注意对基础知识的掌握和理解．16．（2020春•南丹县期末）三角形有3条边，长方形有4条边，平行四边形有4条边，教室黑板是长方形，红领巾是三角形．【分析】根据三角形、长方形、平行四边形的特点，进行解答即可。【解答】解：三角形有3条边，长方形有4条边，平行四边形有4条边，教室黑板是长方形，红领巾是三角形。故答案为：3，4，4，长方，三角。【点评】灵活掌握三角形、长方形、平行四边形的特点，是解答此题的关键。17．（2020秋•桓台县期中）自行车的三角架是应用了三角形的稳定性。【分析】三角形具有稳定性，自行车的三角架之所以做成三角形，其中很重要原因就是利用三角形的稳定性这个特性；由此解答即可。【解答】解：在自行车上设计三角架是应用了三角形的稳定性。故答案为：稳定性。【点评】此题考查的是三角形具有稳定性这一性质，应注意对基础知识的掌握和理解。18．（2020春•中原区期末）动手量一量，再填一填．锐角三角形：①③⑤等腰三角形：④直角三角形：④等边三角形：⑤钝角三角形：②⑥【分析】锐角三角形：最大角小于90°；直角三角形：最大角等于90°；钝角三角形：最大角大于90°；等腰三角形：两条边相等；等边三角形：三条边都相等。【解答】解：锐角三角形：①③⑤等腰三角形：④直角三角形：④等边三角形：⑤钝角三角形：②⑥故答案为：①③⑤，④，④，⑤，②⑥。【点评】此题考查了三角形不同的分类方法，要熟练掌握。19．（2020秋•上海期中）锐角三角形有3个锐角。【分析】依据锐角三角形的意义，即三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，据此即可得解。【解答】解：因为三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，所以锐角三角形有三个锐角。故答案为：3。【点评】此题主要考查锐角三角形的意义。20．（2019秋•汉川市期末）150°的角比直角大60°，比平角小30°．【分析】根据钝角、直角、平角的含义进行解答：钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；平角是等于180°的角；据此解答即可．【解答】解：180°﹣150°＝30°150°﹣90°＝60°答：150°的角比直角大60°，比平角小30°．故答案为：60°，30°．【点评】此题考查了钝角、直角、平角的含义，应注意基础知识的理解．21．（2020春•英山县期末）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．【分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分为：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，进而解答即可．【解答】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．故答案为：不等边，等腰，等边．【点评】此题考查了三角形的分类；要看清分类要求．22．（2019春•鼓楼区期末）如图中有2个锐角三角形，4个直角三角形，2个钝角三角形，3个带“*”符号的三角形．【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．带“*”符号的三角形有1个钝角三角形、2个直角三角形，共3个．【解答】解：如图中有2个锐角三角形，4个直角三角形，2个钝角三角形，3个带“*”符号的三角形．故答案为：2，4，2，3．【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法，要根据定义结合图形数出每种三角形的个数．23．（2019春•内江期末）用三根长6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形的每个角都是60°．这个三角形按边分是等边三角形，按角分是锐角三角形．【分析】因为三角形三个边相等都是6厘米，根据等边三角形的定义，可得这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是60°，所以这个三角形按角分是锐角三角形．据此解答即可．【解答】解：因为三角形三个边相等都是36米，所以这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是60°，所以这个三角形按角分是锐角三角形．故答案为：60°、等边、锐角．【点评】本题考查等边三角形的定义，以及等边三角形性质．24．（2019•天津模拟）一个三角形最多有1个钝角或1个直角，至少有2个锐角，应选B．A、1，1，3B、1，1，2C、2，2，2．【分析】根据三角形内角和是180°即可解决问题．【解答】解：如果一个三角形中出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于180°，不符合三角形内角和是180°，因此一个三角形最多有1个钝角；如果一个三角形中出现2个或3个直角，再加上第三个角，那么三角形的内角和就大于180°，也不符合三角形内角和是180°；所以，三角形中最多有一个直角；如果一个三角形中至少有1个锐角，则可能有两个直角或钝角，那么三个内角的和也要大于180°，也不符合三角形内角和是180°；所以一个三角形中最少有2个锐角，最多有3个锐角，如锐角三角形．故答案为：1，1，2，B．【点评】此题考查了三角形内角和定理的灵活运用．25．（2019•衡水模拟）三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是钝角三角形，另一个角是95度．【分析】因为三角形的内角和是180度，已知两个内角的和是85度，用“180°﹣85°”求出第三个内角的度数，进而根据三角形的分类进行解答．【解答】解：第三个内角：180°﹣85°＝95°，因为有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；故答案为：钝角、95．【点评】解答此题用到的知识点：三角形的内角和公式；（2）三角形的分类．26．（2019春•临朐县期末）一个三角形三条边的长度分别是5厘米，4厘米，5厘米，这是一个等腰三角形．【分析】由三角形三条边的长度分别是5厘米，4厘米，5厘米可知，此三角形是等腰三角形，从而进行解答．【解答】解：一个三角形三条边的长度分别是5厘米、4厘米、5厘米，这是一个等腰三角形；故答案为：等腰．【点评】此题考查了等腰三角形的特征，两条边相等的三角形．三．判断题27．（2020春•灯塔市期末）用分别是3厘米、4厘米和6厘米长的3根小棒不能摆成一个三角形．×（判断对错）【分析】三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此解答即可。【解答】解：3+4＞6，所以用分别是3厘米、4厘米和6厘米长的3根小棒能摆成一个三角形。故原题说法错误。故答案为：×。【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。28．（2020春•安新县期末）三根长度分别是3.5cm、2cm、4cm的小棒能围城一个三角形．√（判断对错）【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。【解答】解：因为3.5+2＞4，所以可以围成三角形，即本题说法正确。故答案为：√。【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答。29．（2020春•雄县期末）屋顶设计成三角形，是利用三角形具有稳定性的特点．√（判断对错）【分析】屋顶设计成三角形，不容易变形，是因为三角形具有稳定性。由此解答即可。【解答】解：屋顶设计成三角形，不容易变形，是因为三角形具有稳定性。所以原说法正确。故答案为：√。【点评】题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用。30．（2020春•洪山区期末）用铁棍围成的三角形具有稳定性，用木条围成的三角形不具有稳定性．×（判断对错）【分析】根据三角形的稳定性特点判断即可。【解答】解：根据三角形的特性可知：三角形具有稳定性，所以用木条围成的三角形也具有稳定性，即原题说法错误。故答案为：×。【点评】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用。31．（2020春•嵩县期末）三角形中有一个角是50°，这个三角形一定是锐角三角