431等比数列的概念（8大题型）精讲（原卷版）

4.3.1等比数列的概念重点：1、理解等比数列的概念与通项公式的意义；2、掌握等比数列性质的应用；难点：1、掌握等比数列的通项公式及其应用；2、在实际问题中发现等比关系；一、等比数列的定义及通项公式1、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2、对等比数列概念的理解（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比；（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。3、等比数列的通项公式（1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.（2）通项公式的变形：或二、等比中项1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列2、对等比中项概念的理解（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．此时，，即等比中项有两个，且互为相反数．（2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列；（3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，3、等差中项与等比中项区别（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。三、等比数列的性质1、“子数列”性质（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为；（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为2、等比数列的运算性质在等比数列中，若，则；（1）特别地，时，；当时，（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即3、两等比数列合成数列的性质若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，则数列、、也是等比数列；四、等比数列的判定方法1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.五、等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。题型一等比数列的定义【例1】（2022·贵州毕节·高三统考期中）下列三个数依次成等比数列的是（）A．1，4，8B．，2，4C．9，6，4D．4，6，8【变式11】（2022·高二课时练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（）A．q，2q，4q，6qB．q，q2，q3，q4C．q，2q，4q，8qD．，，，【变式12】（2023·浙江绍兴·高二校考期中）（多选）下列数列为等比数列的是（）A．B．C．D．【变式13】（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（）．A．公比为q的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为的等比数列D．不一定是等比数列题型二等比数列的通项与基本量【例2】（2023·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）已知数列是等比数列，且，，则（）A．3B．6C．3或D．6或【变式21】（2023·上海·高二七宝中学校考期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（）．A．B．C．D．【变式22】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（）A．B．C．D．【变式23】（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列．（1）若，，求；（2）若，，求和q；（3）若，，求.题型三等比中项及其应用【例3】（2022·海南·高二统考期末）和的等差中项与等比中项分别为（）A．，B．2，C．，D．1，【变式31】（2023·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）“”是“，，成等比数列”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【变式32】（2022·江苏南京·高二校联考阶段练习）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（）A．B．1C．D．【变式33】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）等比数列中，若，则（）A．2B．3C．4D．9题型四等比数列的性质【例4】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等比数列中，若，则（）A．B．3C．±3D．【变式41】（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（）A．B．C．32D．64【变式42】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（）A．24B．27C．36D．40【变式43】（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等比数列中，若，，则.题型五等比数列的证明【例5】（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.【变式51】（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列中，，且.（1）求，并证明是等比数列；（2）求的通项公式.【变式52】（2023·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；（2）求数列的通项公式．【变式53】（2023·高二课时练习）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．（1）当时，求、的值；（2）试判断数列是否为等比数列？请说明理由．题型六由等比数列构造新数列【例6】（2023·全国·高二课时练习）在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．【变式61】（2023·全国·高二课时练习）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【变式62】（2023·高二课时练习）（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列；（2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列．【变式63】（2022·高二课时练习）已知是一个无穷等比数列，公比为q．（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？题型七等比数列的单调性与最值【例7】（2023·江苏南京·高二统考期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【变式71】（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（）A．1011B．1012C．2022D．2023【变式72】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式73】（2023·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与均为的最大值题型八等比数列的实际应用【例8】（2023·重庆·高二南开中学校考期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（）A．“徵､商､羽”的频率成等比数列B．“宫､徵､商”的频率成等比数列C．“商､羽､角”的频率成等比数列D．“宫､商､角”的频率成等比数列【变式81】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）．参考数据：A．17.9万亿B．19.1万亿C．20.3万亿D．21.6万亿【变式82】（2023·辽宁·高二校联考阶段练习）明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（）A．B．C．D．【变式83】（2023·安徽黄山·高二统考期末）随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了