整式的加减（九大题型）（原卷版）

（苏科版）七年级上册数学《第3章代数式》3.6整式的加减知识点知识点整式的加减◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.◆2、整式的加减步骤及注意问题（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．题型一题型一利用整式的加减计算【例题1】（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（）A．2x2﹣x﹣1 B．5x2+2x﹣9 C．x2﹣1 D．4x2﹣x﹣1解题技巧提炼用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简.【变式11】（2023•盐都区一模）墨迹覆盖了等式﹣（x2+1）＝3x中的多项式，则覆盖的多项式为（）A．x+2 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣x2+3x+1 D．x2+3x+1【变式12】（2022秋•沙坪坝区期末）一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．﹣x2+5x﹣3 B．﹣x2+x﹣1 C．x2﹣5x+3 D．x2﹣5x﹣3【变式13】（2022秋•庐江县期末）一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，则这个多项式是（）A．3x2y﹣4xy2 B．x2y﹣4xy2 C．﹣3x2y+2xy2 D．﹣x2y+2xy2【变式14】（2022秋•清水县校级期末）计算：（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．【变式15】已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B；并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值．题型二题型二整式的化简求值直接代入求值【例题2】（2022秋•渠县校级期末）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y），其中x＝2，y＝﹣1．解题技巧提炼进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可.值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a=12，（2022秋•宣城期末）先化简，再求值：12其中x＝﹣2，y＝3．【变式23】（2022秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值：已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．【变式24】（2022秋•长沙期末）已知A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8．（1）化简3A+2B．（2）当|x﹣3|+（y+2）2＝0，求3A+2B的值．题型三题型三整式的化简求值整体代入求值【例题3】求值：（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)−6(5解题技巧提炼先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可．【变式31】（2022秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．8【变式32】（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x【变式33】我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）若把（a﹣b）2看成一个整体，则合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的结果是．（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．【变式34】（2023春•南宁期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在方程、多项式的求值中应用极为广泛．（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2的结果是．（2）已知x﹣2y＝1，求3x﹣6y﹣5的值．（3）拓展探索：已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．题型四整式加减中的错看问题题型四整式加减中的错看问题【例题4】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（）A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7解题技巧提炼看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可.【变式41】（2022秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（）A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9【变式42】（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2+a﹣4 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6【变式43】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（）A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7【变式44】小明同学写一道数学作业题时，误将求“A﹣B”看成求“A+B”，结果求出的答案是x2﹣2x+5．已知A＝4x2﹣3x﹣6．请你帮助小明同学求出A﹣B．【变式45】马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．（1）请根据现有条件求多项式A；（2）计算2A+B的正确答案．题型五整式加减中与某个字母无关问题题型五整式加减中与某个字母无关问题【例题5】（2022秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m的值（）A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣2解题技巧提炼整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0.【变式51】（2022秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【变式52】（2022秋•平城区校级期末）若多项式2（x2﹣xy﹣3y）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．0 D．1【变式53】（2022秋•包头期末）要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m﹣2的是（）A．﹣6 B．4 C．﹣8 D．6【变式54】（2022秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值．【变式55】（2022秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母（1）求a，b的值．（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．题型六题型六整式加减与数轴、绝对值的结合【例题6】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（）A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a解题技巧提炼先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【变式61】已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结果是（）A．3a﹣c B．﹣2a+c C．a+c D．﹣2b﹣c【变式62】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（）A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b【变式63】（2022秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则（1）b﹣a0，a﹣c0，b+c0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|【变式64】（2022秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．【变式65】数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；（1）求：a+c与ca（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．题型七利用整式加减解决数学问题题型七利用整式加减解决数学问题【例题7】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（1）用含a、b、c的式子表示这个数M为．（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为．（3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？解题技巧提炼根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．【变式71】（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．（1）最小的三位“和谐数”是，最大的三位“和谐数”是；（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．【变式72】（2022秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历．（1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字．①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为（用含x的式子表示）；②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由；（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由．题型八利用整式加减进行新定义运算题型八利用整式加减进行新定义运算【例题8】阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义是ab例如：12（1）按照这个规定，请你计算1−2（2）按照这个规定，请你化简−3x解题技巧提炼将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去括号．【变式81】（1）先化简再求值：当x=−12，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+（2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．①求2*（﹣3）的值；②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．【变式82】（2022秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号ab是abcd例如：12（1）按照这个规定，请你计算65（2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，12xy+3y【变式83】（2022秋•锦江区校级期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．（1）按照这个规定，试计算的值．（2）按照这个规定，请你计算当|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0时，求的值．【变式84】（2022秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值；（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn−12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m题型九运用整式的加减解决实际问题题型九运用整式的加减解决实际问题【例题9】长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a﹣b，那么这个长方形的周长是（）A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+