2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第2课时 勾股定理的逆定理的应用

教学设计课题勾股定理的逆定理的应用授课人素养目标1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系．2．灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.教学重点灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．教学难点割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图通过实际情境，激发学生的学习兴趣.【情境导入】如图，已知小岛B与港口A相距5nmile，一艘船C位于港口A正东方向3nmile处，与小岛B相距4nmile，根据这些条件能知道小岛B在船C的哪个方向吗？【教学建议】指定学生回答，提醒学生E，n分别表示东、北两个方向.活动二：问题引入，自主探究设计意图培养学生利用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.探究点1勾股定理的逆定理的实际应用例1(教材P33例2)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24(nmile)，PR＝12×1.5＝18(nmile)，QR＝30nmile.因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．【对应训练】教材P33练习第3题．探究点2勾股定理及其逆定理的综合应用勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？例2如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.求∠ADB的度数；求CD的长.解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，【教学建议】告诉学生可先根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题.【教学建议】（1）指定学生代表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系.第2课时勾股定理的逆定理的应用教学步骤师生活动∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.(2)∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.∴在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.【对应训练】如图是一个零件的示意图，量得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm.若∠ABC＝90°，求△ACD的面积.解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(42＋32)＝5(cm).∵AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2).（2）提醒学生：已知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度；已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角．注意直角的邻补角也是直角.活动三：重点突破，提升探究设计意图巩固学生运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.例3如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠BAD的度数.解：如图，连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝45°＋90°＝135°.【对应训练】如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，求∠EAF的度数.解：如图，连接EF，则AE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AF＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，∴AE2＋EF2＝(eq\r(5))2＋(eq\r(5))2＝10＝(eq\r(10))2＝AF2.∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.又AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°.【教学建议】提示学生：(1)已知直角时，要构造相应的直角三角形并利用勾股定理求边长；(2)仅知道三角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中求角度，一般先构造出相应的三角形，再利用勾股定理求各边长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：不用量角器，怎么检验一个直角是否标准？勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P34习题17.2第3，4，5，6题.2．《》主体本部分相应课时训练．教学步骤师生活动板书设计17.2勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用1.勾股定理的逆定理的应用.2.勾股定理及其逆定理的区别和联系.教学反思本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数学问题．难点在于让学生灵活地综合运用勾股定理及其逆定理，因此要让学生清楚勾股定理及其逆定理的区别和联系，培养出“知直角，求边长；知三边，找直角”的意识.例1如图，在正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为(C)A．1B．2C．3D．4解析：如图，连接AC，AB，AD，BC，BD，CD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，AD2＝12＋32＝10，BC2＝52＝25，BD2＝12＋22＝5，CD2＝12＋32＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋AB2＝AD2，∴△ABC，△ADC，△ABD是直角三角形，即共3个直角三角形．故选C.例2如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在AB上，且BF＝eq\f(1,4)AB.(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF和DE都过点E，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直．从图中观察EF与DE是垂直的，故设正方形的边长为a，利用勾股定理，用含a的代数式分别表示DE2，EF2，DF2，再利用勾股定理的逆定理判断△DFE是否为直角三角形，再判断EF⊥DE是否成立．解：(1)EF与DE垂直，即EF⊥DE.理由：设正方形的边长为a，则AD＝CD＝a，AF＝eq\f(3,4)a，BF＝eq\f(1,4)a，BE＝CE＝eq\f(1,2)a，∠A＝∠B＝∠C＝90°.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2＋(eq\f(1,2)a)2＝a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,4)a2.在Rt△EFB中，EF2＝BF2＋BE2＝(eq\f(1,4)a)2＋(eq\f(1,2)a)2＝eq\f(1,16)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,16)a2.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2＋(eq\f(3,4)a)2＝a2＋eq\f(9,16)a2＝eq\f(25,16)a2.∵DE2＋EF2＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(5,16)a2＝eq\f(25,16)a2＝DF2，∴△DEF为直角三角形，且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE.(2)∵正方形的面积为16，∴a2＝16.∵DF2＝eq\f(25,16)a2＝eq\f(25,16)×16＝25，∴DF＝5.例3如图，Mn以西为我国领海，以东为公海，某日上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C以每小时13nmile的速度沿CD方向偷偷向我国领海开来，便立即通知正在Mn线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13nmile，缉私艇B测得A与其距离为5nmile，C与其距离为12nmile，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国领海？解：∵AB2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.又BD⊥AC，可设CD＝xnmile，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋BD2＝122，①,（13