2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第2课时 正方形的判定

第2课时正方形的判定教学设计课题正方形的判定授课人素养目标1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力．2．探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系．3．灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.教学重点正方形判定方法的理解与应用．教学难点正方形判定方法的探究及证明.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图通过拟人化的自我介绍调动学生积极性，思考该怎样判定正方形.【回顾导入】正方形的自我介绍：在四边形的大家庭中，我有四个兄弟．老大是平行四边形，它性格温和；老二是矩形，它稳重大方，江湖上人称长方形；老三是菱形，它活泼可爱．我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身，人见人爱．到目前为止，我们已经认识了四边形大家庭的成员，前一课时，我们大致介绍了矩形、菱形、平行四边形与正方形的关系，并给出了下面的结构图．可以看到矩形、菱形各添加一个条件都能得到正方形，那么这个是否可以证明呢？我们这节课来看下.【教学建议】让学生根据上一课时介绍的平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系，引发如何进行证明的思考.活动二：动手验证，探究新知设计意图让学生发现并总结正方形的判定定理.探究点正方形的判定1．有一组邻边相等的矩形是正方形我们来看下面这个问题：把一张矩形的纸片按图中那样折一下，是否可以截出正方形纸片？答案是肯定的，它的依据就是有一组邻边相等的矩形是正方形．下面我们进行证明：已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝BC.求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是正方形．归纳总结：有一组邻边相等的矩形是正方形.【教学建议】(1)让学生猜测并验证正方形的判定定理，教师进行总结．(2)告诉学生必须在平行四边形或矩形或菱形的基础上判定正方形．一般先证明其是矩形或菱形，再从边、角、教学步骤师生活动2.有一个角是直角的菱形是正方形我们再来看一个问题：把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图)，能否得到正方形？可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一个角，就能得到正方形．下面我们进行证明：已知：如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°.求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＝90°，∴易得∠B＝∠C＝∠D＝∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形．归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形．在上面的证明过程中，是分别从矩形、菱形出发，添加边或角的条件后得到正方形，那么还有没有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他判定正方形的方法呢？大家想一想．归纳总结：思考：上面给出了正方形的一些判定方法，这也蕴含了他们之间的转换关系，那么正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢？与同学们讨论交流，并列表或用框图表示这些关系．进一步地，四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形有什么关系？有兴趣的同学可以整理下．(结构图可参见后面的“【知识结构】”栏目)【对应训练】1.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.(1)四边形AEDF是平行四边形；(2)如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；(3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；(4)如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．2．教材P60练习第3题．,对角线的方向证明其是正方形，或者直接由一组邻边相等且一内角是直角的平行四边形是正方形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等来判定.教学步骤师生活动活动三：综合运用，巩固提升设计意图巩固学生对正方形的判定的认识.例如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形EFBG的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG是正方形.证法1：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝∠BGE＝90°，∴四边形EFBG是矩形.∵BE为∠ABC的平分线，∴EF＝EG，∴矩形EFBG是正方形.证法2：如图．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵BE为∠ABC的平分线，EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠1＝∠2＝45°，EF＝EG.∴∠3＝∠4＝45°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴BF＝EF，BG＝EG.∴BF＝EF＝EG＝BG，∴四边形EFBG是菱形.又∠FBG＝90°，∴菱形EFBG是正方形.【对应训练】如图，Rt△ABC的两条外角平分线相交于点D，∠B＝90°，过点D分别作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F.(1)求证：四边形BFDE是正方形；(2)若BF＝6，C为BF的中点，求AE的长.(1)证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，∴四边形BFDE是矩形.∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，DH⊥AC，∴DE＝DH.同理，DH＝DF，∴DE＝DF，∴矩形BFDE是正方形.(2)解：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠DHC＝90°.由(1)知∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°.在Rt△AED和Rt△AHD中，AD＝AD，DE＝DH，∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL)，∴AE＝AH.同理，CH＝CF.∵BF＝6，C为BF的中点，∴BC＝CF＝CH＝3.∵四边形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6.设AE＝AH＝x，则AB＝BE－AE＝6－x，AC＝AH＋CH＝x＋3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即(6－x)2＋32＝(x＋3)2，解得x＝2，∴AE的长为2.【教学建议】提醒学生：(1)正方形的判定要从边、角或对角线三个方面把握，判定时可根据先判定平行四边形或矩形或菱形，再根据相应条件判定得到正方形.(2)判定正方形后往往又需要利用其性质，并且经常综合三角形全等与勾股定理的知识来解题.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的判定有哪几种方法？【知识结构】【作业布置】1.教材P62习题18.2第13题.2．《》主体本部分相应课时训练．教学步骤师生活动板书设计18.2.3正方形第2课时正方形的判定1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.有一组邻边相等的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.教学反思本节课对正方形判定的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中运用逆向推理引导学生思索，并通过展示例题的方式使学生掌握正方形判定的结论，同时还是要强调平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系.课堂以诙谐拟人化的介绍为开端，吸引学生的注意，充分调动了学生的积极性.注意：由于正方形的判定方法一般都是在平行四边形、矩形、菱形的基础上判定的，所以在判定正方形时，一定要仔细考虑题目中的条件，灵活选择适当的判定方法来分析问题和解决问题．例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F.(1)求证：四边形GECF是正方形；(2)若AC＝4，BC＝3，求四边形GECF的面积．(1)证明：如图，过点G作GD⊥AB于点D.∵∠BAC，∠ABC的平分线交于点G，GE⊥BC，GF⊥AC，∴DG＝EG，DG＝FG，∴EG＝FG.∵∠ACB＝90°，GE⊥BC，GF⊥AC，∴∠ACB＝∠CEG＝∠CFG＝90°，∴四边形GECF是矩形．又EG＝FG，∴四边形GECF为正方形．(2)解：如图，连接CG.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(32＋42)＝5.设EG＝x，则DG＝FG＝x.∵S△ABC＝S△AGB＋S△AGC＋S△BCG，∴eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)·5x＋eq\f(1,2)·4x＋eq\f(1,2)·3x，∴x＝1.∴EG＝1，∴四边形GECF的面积＝EG2＝1.例2如图，将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB)，使点B落在边AD上的点B′处，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点E不动，将BE折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE.若DE＝EF，CE＝2，求AD的长．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AB′，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，且四边形ABEB′是正方形，∴AB＝BE，∴BE＝CD.又DE＝EF，∴Rt△BEF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝CE＝2.由折叠得GF＝BF＝2，BE＝GE，∠FGE＝∠B＝90°.设AB＝x，则易得AE＝eq\r(2)x，∴AG＝AE－GE＝AE－BE＝AE－AB＝(eq\r(2)－1)x.∵AE是正方形ABEB′的对角线，∴∠GAF＝45°，∴∠AFG＝45°，∴AG＝FG.∴(eq\r(2)－1)x＝2，解得x＝2eq\r(2)＋2.∴AB＝BE＝2eq\r(2)＋2.∴AD＝BC＝BE＋EC＝2eq\r(2)＋2＋2＝2eq\r(2)＋4.例1如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(C)A．7B．8C．7eq\r(2)D．7eq\r(3)解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAE＋∠DAG＝90°.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,AE＝CF，,BE＝DF，))∴△ABE≌△CDF(SSS)，∴∠ABE＝∠CDF.∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF.∴∠DAG＋∠ADG＝∠CDF＋∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°.在△ABE和△DAG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠DAG，,∠AEB＝∠DGA＝90°，,AB＝DA，))∴△ABE≌△DAG(AAS)．∴AE＝DG，BE＝AG.同理，AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12.∴EG＝GF＝FH＝HE＝12－5＝7.∴四边形EGFH是菱形．∵∠GEH＝180°－90°＝90°，∴四边形EGFH是正方形，∴易得EF＝eq\r(2)EG＝7eq\r(2).故选C.例2如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线，以AD，CD为边作ADCF，连接BF分别与AD，AC相交于点E，G.(1)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？并说明理由；(2)在(1)的条件下，若AB＝6eq\r(2)，求EF的长．解：(1)当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形．理由如下：∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是边BC上的中线，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC.∵四边形ADCF是平行四边形，且AD＝CD，∴ADCF是菱形．∵AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴菱形ADC