2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第4课时 一次函数的应用

第4课时一次函数的应用教学设计课题一次函数的应用授课人素养目标1.学会用一次函数解决几何最值问题和几何图形面积问题，体会分类讨论思想在解决实际问题中的应用．2．学会用一次函数解决行程问题，感悟数形结合思想在解决实际问题中的应用．3．学会用一次函数解决工程问题，会建构函数“模型”，形成良好的函数观点．4．了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象，感知数形结合思想在一次函数中的应用.教学重点领会数学建模过程中数形结合思想、分类讨论思想在解题中的应用．教学难点灵活利用一次函数知识综合解决实际问题.教学活动教学步骤师生活动活动一：设置情境，导入新课设计意图为用函数解决实际问题做铺垫.【回顾导入】在前面的课时我们已经学习了一次函数的概念、图象和性质及如何确定其解析式，那么如何利用一次函数知识解决相关问题呢？如图所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？这个函数我们该如何表示呢？通过本节课的学习，我们将会得到相应的答案.【教学建议】学生代表回顾旧知，教师引导学生分析函数图象，提示该函数可分段表示.活动二：问题引入，自主探究设计意图让学生体会一次函数在日常生活中的简单应用，培养建模思想.探究点1一次函数的简单应用例1在“测定水的沸点”实验中，水的温度会随着加热时间的变化而变化．在加热过程中，元元每隔2min会对水温进行一次测量并将相关数据记录在如下表格中．根据数据可知，在加热至沸腾前，水温T与加热时间t之间是一次函数关系．(已知标准大气压下水的沸点是100℃)求T关于t的函数解析式，并画出它的图象；加热前，水的温度是多少？加热5min时，水的温度是多少？将水加热至沸腾需要多久？解：(1)设T关于t的函数解析式为T＝kt＋b.将(4，37)与(8，58)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝37，,8k＋b＝58.))解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5.25，,b＝16.))则T关于t的函数解析式为T＝5.25t＋16.函数图象如图所示.(2)当t＝0时，T＝16；当t＝5时，T＝42.25.【教学建议】指导学生通过对表格中数据的分析，确定一次函数解析式．提醒学生：首先可通过表格的数据找到两组自变量与函数的对应值，再用待定系数法求出函数解析式，然后根据题意代入相应的t值或T值，解决剩下的问题教学步骤师生活动设计意图让学生体会分段函数在日常生活中的简单应用.故开始加热前，水的温度是16℃；加热5min时，水的温度是42.25℃.(3)当T＝100时，5.25t＋16＝100，解得t＝16.(4)故将水加热至沸腾需要16min.思考：①本例应采用哪种方法求函数解析式？②怎么找到两组自变量与函数的对应值？③你求得的一次函数解析式适用于没有选用的其他对应值吗，即其他对应值满足求得的一次函数解析式吗？答：①待定系数法；②从表中任取两组数据作为对应值即可；③适用.【对应训练】某商店销售一种水果，其售价y(单位：元)与质量x(单位：kg)之间的关系如表(售价栏中的0.2是包装的费用)：y关于x的函数解析式为y＝3.6x＋0.2；如果购买1.5kg该种水果，那么共需要付款5.6元.探究点2分段函数的应用例2(教材P94例5)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折.(1)填写下表：(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.分析：①说一说，付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系？答：付款金额＝种子价格×购买量.②通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与购买量有关，设购买xkg种子，付款金额为y元．则有：因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段讨论.解：设购买量为xkg，付款金额为y元.当0≤x≤2时，y＝5x；当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2.所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x，,4x＋2，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＞2.))【教学建议】(1)教师先让学生自行填表，初步认识分段函数的实际意义，然后引导学生发现自变量在不同取值范围内对应不同的一次函数，最后由学生独立思考作答.(2)告诉学生：确定分段函数解析式的关键是先找到临界点，进而通过临界点确定各分段函数自变量的取值范围，再结合题意求对应范围内的函数解析式.教学步骤师生活动函数图象如图所示.概念引入：我们将此类自变量在不同区间对应不同函数的函数，称为分段函数.【对应训练】教材P95练习第2题．活动三：重点突破，提升探究设计意图加强对一次函数、分段函数的认识，强化从函数图象中提取信息的能力.例3某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度．按照新标准，用户每月缴纳的水费y(单位：元)与每月用水量x(单位：m3)存在如图所示的函数关系.求y关于x的函数解析式；若某用户某月缴纳水费63元，则该用户当月的用水量是多少立方米？解：(1)当0≤x≤15时，设y关于x的函数解析式为y＝mx(m≠0).由题意得15m＝27，解得m＝1.8，所以y＝1.8x.当x＞15时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0).由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝27，,20k＋b＝39，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2.4，,b＝－9，))所以y＝2.4x－9.综上，y关于x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.8x，0≤x≤15，,2.4x－9，x＞15.))因为63＞27，所以将y＝63代入y＝2.4x－9，得2.4x－9＝63，解得x＝30，则该用户当月的用水量是30m3.【对应训练】在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间是一次函数关系，其图象如图所示，则y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋10，弹簧不挂物体时的长度为10cm.【教学建议】(1)对于分段函数，如果是根据图象求解析式，则找出每段图象上两个点的坐标(包括端点)，用待定系数法求出函数解析式，并分别写出自变量的相应取值范围即可.(2)如果是求函数值，则根据给出的自变量取值代入相应区间所对应的函数解析式求值即可.(3)如果是已知函数值求自变量，则比较给出的函数值和对应分界点函数值的大小判断自变量所属区间，然后代入对应的函数解析式求值即可，求出的自变教学步骤师生活动2.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷手机电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：(1)王爷爷的电子钱包中原有零钱80元；(2)苹果降价前每千克12元，降价后每千克10元；(3)请求出y关于x的函数解析式.解：当0≤x≤50时，y＝12x＋80；当50＜x≤80时，y＝10(x－50)＋680＝10x＋180.综上，y关于x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12x＋80，,10x＋180，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤50，,50＜x≤80.))量应检查是否在对应区间内.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是分段函数？对于分段函数，如何求各段的函数解析式并确定自变量的取值范围？【知识结构】【作业布置】1.教材P99习题19.2第11，14题.2．《》主体本部分相应课时训练．板书设计19.2.2一次函数第4课时一次函数的应用1.一次函数的应用2.分段函数的应用教学反思本节课主要将之前学习的一次函数的概念、图象、性质及求函数解析式进行整合，通过在具体实例中的运用，强化学生从材料中获取信息及借助这些信息分析、解决问题的能力，进一步培养学生的建模思维.一次函数的应用：一次函数常与实际问题结合起来，考查学生的数学建模能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．一次函数应用题常与几何知识、分段函数等内容联系起来，实现数与形的有机结合，体现分类讨论等数学思想．(1)确定一次函数解析式的常见方法：①根据实际意义直接写出一次函数解析式，然后解决相应问题；②已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数解析式；③利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式．(2)分段函数问题的一般解题策略：①分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线，解决分段函数问题，关键是要考虑与它所对应的区间；②分段函数中“拐点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求解析式时，要用好“拐点”坐标，同时，在分析图象时还要注意“拐点”表示的实际意义；③分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题、几何问题中都有应用．注意：分析问题和解题时要注意：①函数图象变化的意义；②图象上拐点的意义；③函数图象的交点．例已知A，B两地之间有一条长为270km的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60km/h的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y(单位：km)与甲车的行驶时间x(单位：h)之间的函数关系如图所示．(1)乙车的速度为75km/h，a＝3.6，b＝4.5；(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；(3)当甲车到达距B地70km处时，求甲、乙两车相距的路程．分析：(1)根据图象可得出甲、乙两车在甲车行驶2h时相遇，可设乙车的速度为vkm/h，通过方程2×60＋2v＝270即可得出乙车的速度，再根据甲、乙两车的速度即可求出a和b的值；(2)根据(1)可得出点M，n，P的坐标，根据待定系数法即可求出当2＜x≤3.6时和当3.6＜x≤4.5时的函数关系式；(3)根据甲车的速度可得甲车到达距B地70km处时行驶的时间，进而得出甲、乙两车相距的路程．解：(1)解析：设乙车的速度为vkm/h，根据图象可得甲、乙两车在甲车行驶2h时相遇，可得2×60＋2v＝270，解得v＝75，所以乙车的速度为75km/h，所以a＝eq\f(270,75)＝3.6(h)，b＝eq\f(270,60)＝4.5(h)．故答案为75，3.6，4.5.(2)如图，根据(1)可得M(2，0)，n(3.6，216)，P(4.5，270)．设当2＜x≤3.6时的函数关系式为y＝k1x＋b1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k1＋b1＝0，,3.6k1＋b1＝216，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝135，,b1＝－270，))所以当2＜x≤3.6时，y＝135x－270；设当3.6＜x≤4.5时的函数关系式为y＝k2x＋b2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.6k2＋b2＝216，,4.5k2＋b2＝270，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝60，,b2＝0，))所以当3.6＜x≤4.5时，y＝60x.综上，甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝135x－270，2＜x≤3.6，,y＝60x，3.6＜x≤4.5.))(3)因为甲车的速度为60km/h，所以当甲车到达距B地70km处时行驶的时间为eq\f(270－70,60)＝eq\f(10,3)(h)，所以此时甲、乙两车相距的路程为(60＋75)×(eq\f(10,3)－2)＝180(km)．1．应用一次函数解决几何最值问题例1如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段AB，OB的中点，P为OA上一动点，当PC＋PD的值最小时，点P的坐标为(A)A．(－1，0)B.(－2，0)C.(－3，0)D.(－4，0)解析：如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD的值最小，最小值为CD′.对于y＝x＋4，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝－4，所以点B的坐标为(0，4)，点A的坐标为(－4，0)．因为C，D分别为线段AB，OB的中点，所以易得C(－2，2)，D(0，2)．因为点D′和点D关于x轴对称，所以点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y＝kx＋b.因为直线CD′经过点C(－2，2)，D′(0，－2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝2，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－2，))所以直线CD′的解析式为y＝－2x－2.令y＝0，则－2x－2＝0，解得x＝－1，所以此时点P的坐标为(－1，0)．故选A.2．应用一次函数解决几何图形面积问题例2如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－eq\f(1,2)x＋5的图象l1分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m，4)．(1)求m的值及l2的解析式；(2)求S△AOC－S△BOC的值；(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．分析：(1)先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；(2)由y＝－eq\f(1,2)x＋5求出点A，B的坐标，再结合(1)中所求点C的坐标，即可得到S△AOC－S△BOC的值；(3)分三种情况讨论：①l3经过点C；②l3与l2平行；③l3与l1平行．解：(1)把C(m，4)代入一次函数y＝－eq\f(1,2)x＋5，得－eq\f(1,2)m＋5＝4，解得m＝2，所以C(2，4)．设l2的解析式为y＝ax.将C(2，4)代入，得2a＝4，解得a＝2，所以l2的解析式为y＝2x.(2)对于y＝－eq\f(1,2)x＋5，令x＝0，得y＝5；令y＝0，得x＝10，所以A(10，0)，B(0，5)，所以AO＝10，BO＝5.所以S△AOC－S△BOC＝eq\f(1,2)AO·yC－eq\f(1,2)BO·xC＝eq\f(1,2)×10×4－eq\f(1,2)×5×2＝20－5＝15.(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，所以分以下三种情况讨论：①当l3经过点C(2，4)时，2k＋1＝4，解得k＝eq\f(3,2)；②当l3与l2平行时，k＝2；③当l3与l1平行时，k＝－eq\f(1,2).综上，k的值为eq\f(3,2)或2或－eq\f(1,2).3.应用一次函数解决行程问题例3一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，eq\f(2,5)h后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80km/h的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15min，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y(单位：km)与货车出发时间x(单位：h)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)A，B两地之间的距离是60km，a＝1；(2)求线段FG所在直线的解析式；(3)货车出发多长时间两车相距15km?分析：(1)由图象可知货车从A地到B地花了eq\f(3,4)h，结合路程＝速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离；根据货车填装货物花了15min即可求出a的值；(2)由(1)可得点F的坐标，再利用待定系数法求解即可；(3)分货车从A地前往B地途中两车相遇前后和货车从B地返回A地途中两车相遇前后，共四种情况建立方程求解即可．解：(1)解析：80×eq\f(3,4)＝60(km)，所以A，B两地之间的距离是60km.因为货车到达B地填装货物耗时15min，所以a＝eq\f(3,4)＋eq\f(15,60)＝1.故答案为60，1.(2)设线段FG所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将F(1，60)，G(2，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝60，,2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－60，,b＝120，))所以线段FG所在直线的解析式为y＝－60x＋120.(3)设货车出发xh两车相距15km.由题意，得巡逻车的速度为60÷(2＋eq\f(2,5))＝25(km/h)，货车从B地返回A地时的速度为eq\f(60,2－1)＝60(km/h)．分以下四种情况讨论：①当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15km，则25(x＋eq\f(2,5))－15＝80x，解得x＝－eq\f(1,11)(舍去)；②当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15km，则25(x＋eq\f(2,5))＋15＝80x，解得x＝eq\f(5,11)；因为25×(1＋eq\f(2,5))＝35(km)，60－35＝25＞15，所以货车填装货物过程中两车不可能相距15km.③当货车从B地返回A地途中且两车未相遇时相距15km，则25(x＋eq\f(2,5))＋60(x－1)＝60－15，解得x＝eq\f(19,17)；④当货车从B地返回A地途中且两车相遇后相距15km，则25(x＋eq\f(2,5))＋60(x－1)＝60＋15，解得x＝eq\f(25,17).综上所述，货车出发eq\f(5,11)h或eq\f(19,17)h或eq\f(25,17)h时，两车相距15km.4.应用一次函数解决几何综合题例4如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x＋m(m＞0)的图象，直线PB是一次函数y＝－3x＋n(n＞m)的图象，P是两直线的交点，A，B，C，Q分别是两条直线与坐标轴的交点．(1)用m，n分别表示点A，B，P的坐标及∠PAB的度数；(2)若四边形PQOB的面积是eq\f(11,2)，且CQ＝eq\f(1,2)AO，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的解析式；(3)在(2)的条件下，是否存在一点D，使以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)在y＝x＋m中，令y＝0，得x＝－m.所以点A的坐标为(－m，0)．在y＝－3x＋n中，令y＝0，得x＝eq\f(n,3).所以点B的坐标为(eq\f(n,3)，0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y＝－3x＋n，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n－m,4)，,y＝\f(n＋3m,4)，))所以点P的坐标为(eq\f(n－m,4)，eq\f(n＋3m,4)).在y＝x＋m中，令x＝0，得y＝m，所以Q(0，m)．因为|－m|＝|m|，所以AO＝QO.又∠AOQ＝90°，所以△AOQ是等腰直角三角形，∠PAB＝45°.(2)在y＝－3x＋n中，令x＝0，得y＝n，所以C(0，n)．因为CQ＝eq\f(1,2)AO，所以n－m＝eq\f(1,2)m，整理得n＝eq\f(3,2