2025年高二【数学(人教A版)】双曲线的应用(2)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高二学期一课题双曲线的应用（2）教科书书名：高中数学人教A版选择性必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：教学目标教学目标：进一步用代数方法解决几何问题，解决简单的直线与双曲线的综合问题，提升分析问题与解决问题的能力．教学重点：分析并解决直线与双曲线的综合问题．教学难点：分析并解决直线与双曲线的综合问题．教学过程时间教学环节主要师生活动4分钟10分钟8分中3分钟内容回顾问题探究深入探究课堂小结内容回顾问题1如何研究直线与椭圆的位置关系？ 将直线方程与椭圆方程联立，形成一个方程组，研究方程组解的情况，即可判断直线与椭圆的位置关系．追问1由直线方程和椭圆方程联立形成的方程组，我们该如何研究它的解的情况？ 由直线方程与椭圆方程联立形成的方程组，是二元二次方程组． 一般地，我们可以通过消元，得到关于（或关于）的一元二次方程，通过一元二次方程研究二元二次方程组．追问2具体来说，如何利用一元二次方程的判别式判断直线与椭圆的位置关系？ 设直线l：Ax＋By＋C＝0，椭圆C：，由消去y，得Mx2＋Nx＋P＝0．记一元二次方程Mx2＋Nx＋P＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与椭圆C有两个不同的公共点；Δ＝0⇔直线与椭圆C有且只有一个公共点；Δ＜0⇔直线与椭圆C没有公共点．追问2当直线与椭圆相交时，如何求两个交点的坐标？设直线l：Ax＋By＋C＝0与椭圆C：相交于、两点．由消去y，得Mx2＋Nx＋P＝0．则Δ＞0，且是方程Mx2＋Nx＋P＝0的两根． 由方程Mx2＋Nx＋P＝0，解出， 分别代入直线方程，得，即得、．追问3当直线与双曲线相交时，如何求交点的坐标呢？ 与直线和椭圆相交时，求交点的方法类似，这也是本节课要探讨的问题．例1如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求．问题2如何求直线被双曲线所截得的线段的长？ 首先，将直线方程与双曲线方程联立，得到一个一元二次方程组； 其次，解方程组，得到两个交点的坐标； 最后，根据两个交点的坐标，及两点间的距离公式求出直线被双曲线所截得的线段的长．追问1本题中，怎样表示直线？ 直线的倾斜角为，则斜率为， 而双曲线的右焦点为， 直线可用点斜式方程表示为．追问2怎样求直线与双曲线的两交点？ 将直线方程与双曲线方程联立，得 将代入， 消去，整理，得， 解方程，得，． 将，的值代入①，得，． 于是两点的坐标分别为，．追问3由两点的坐标，如何求？ 利用两点间的距离公式，可得追问4不求两点的坐标，能否求出？ 可以 设，， 则 追问4不求两点的坐标，能否求出？ 是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系， 可知，， 则， 可得． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，的表达式，利用，求解很多问题．（例如直线被双曲线截得的线段的中点和长度等） 解题过程中，经常要用到．追问5如何求线段的中点？ 设，，线段的中点， 则是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系，可知， 由中点坐标公式，， 则在直线上，， 则线段的中点．追问6如何求△的面积？ 已求得，再求出边上的高，即可求得面积． 直线的一般式方程为， 则原点到直线的距离为， 则．追问7求△的面积，还有其他方法吗？ 利用，与的关系,其中，有一条长度为3的公共边． 注意，，， 设，， 则， 所以， 由，得， 则．例2已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？为什么？问题3如何判断点能否作为线段的中点？ 将直线方程与双曲线方程联立，消元得到一元二次方程，借助根与系数的关系，表示出线段的中点坐标，再判断点的坐标能否写成这种形式． 追问1本题中，怎样表示过点的直线？ 经过点的直线有两种类： 直线的斜率不存在时，直线方程为； 直线的斜率为时，直线方程为．追问2过点的直线一定与双曲线有两个公共点吗？ 不一定，直线与双曲线只有一个公共点．追问3过点的直线满足什么条件,才能与双曲线有两个公共点？ 由 消去，并整理得：． 当且时，方程组有两解， 此时，直线与双曲线有两个公共点．追问4怎样表示线段的中点呢？, 当且时， 设，，线段的中点， 则，， 而， 故．追问5至此，如何判断点能否作为线段的中点？ 我们已经求得， 令，解得． 而当时，方程即，． 则当时，直线与双曲线无公共点，不符合题意． 所以，点不是线段的中点．课堂小结