2025年高二【数学(人教A版)】用空间向量研究距离、夹角问题(3)-课后练习_第1页
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课程基本信息课例编号学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究距离、夹角问题（3）教科书书名：《数学》选择性必修第一册出版社：出版日期：年月学生信息姓名学校班级学号课后练习１.如图，正三棱柱ABC−A1B1C2.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求（1）直线AD与直线BC所成角的大小；（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.答案：1.解：因为正三棱柱ABC−A所以∆ABC是等边三角形，四边形BCC1B1取BC，B1C1的中点分别为O，D，所以OA⊥平面BCC所以OA⊥BC，OA⊥OD.又因为BC⊥OD，所以以O点为原点，OB，OD，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.因为正三棱柱ABC−AA所以B设u=x1,u∙BA1取x1=3，得所以u=3,3,−3是设v=x2,u∙BA1取z1=1，得所以u=3,0,1是平面设平面A1BC1与平面cosθ所以，平面A1BC1与平面2.解：不妨设AB＝BC＝BD=2.（1）AD所以AD⊥BC.所以，直线AD与直线BC所成角是（2）过点A作BC的垂线交BC的延长线于点O，连接OD.因为面ABC⊥面BCD，AO⊥BC，所以AO⊥OC，AO⊥OD.易证，DO⊥OC.所以以O点为原点，OD，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.所以A0,0,3,因为OA⊥面BCD，所以u=0,0,1是平面BCD设直线AD与平面BCD所成角为θ，则有sinθ所以，直线AD与平面BCD所成角为45∘（3）在（2）的空间直角坐标系中，有B0,1,0，所以AB设v=x,yv∙AB=0，取z1=1，得所以v=1,3,1又由于在（2）中已经算出，u=0,0,1是平面BC

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