2025年高二【数学(人教A版)】圆的标准方程-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高二学期上课题2.4.1圆的标准方程教科书书名：《数学》选择性必修第一册出版社：人民教育出版日期：教学目标教学目标：（1）理解圆的标准方程的推导过程，体会类比的方法和数形结合思想；（2）掌握圆的标准方程；（3）会利用给定条件或适当补充条件，求圆的标准方程，提高提出问题的能力，体会数形结合以及方程思想．教学重点：圆的标准方程的导及求法。教学难点：圆的标准方程的求法。教学过程时间教学环节主要师生活动回顾旧知引入课题类比分析确立研究方案设立条件推导方程形成方程加深理解例题讲解巩固方程应用方程梳理方法小结归纳布置作业在前一阶段的学习中，我们学习了直线与方程，请同学们回忆一下：问题1：在直线与方程的学习中，我们都研究了哪些问题？问题2：类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？追问(1)：直线方程是如何建立的呢？怎样在坐标系中确定一条直线呢？追问(2)：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？需要两个几何要素，圆心与半径。圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小，二者缺一不可。问题3：设圆心A(a,b)，半径为r,如何建立关于圆的关系式呢？追问1：圆上任一点M(x,y)满足什么性质呢?在平面解析几何中，用距离定义曲线是比较常见的。由于|MA|=r,用两点距离公式代入可得：，平方化简得：，记为方程(1)。追问2：方程（1）一定表示圆的方程吗？我们应该从哪个角度分析呢？从曲线和方程的概念出发，说明方程与圆的等价性。问题4：与直线方程比，圆的标准方程有什么特点？直线方程是二元一次方程，而圆的方程则是二元二次；直线方程点斜式方程中含有三个参数：定点坐标和斜率；圆的方程也含有三个参数，圆心坐标和半径。另外，我们为什么称为圆的标准方程?是因为该方程结构优美，可直接得到圆心和半径。问题5：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？追问：x2＋y2=m2一定表示圆心在圆点的圆吗等式右方含有参数，要对m进行讨论，当m≠0时，表示半径为|m|的圆，而当m=0时，就只能是一个点了。实际上，当m大小变化时，该方程表示一组圆，可以称为“同心圆”。例1：求圆心为C（2，－3），且经过A（5，1）的圆的标准方程。分析：关注两个几何要素，几何角度：圆心给定，半径可以通过两点距离求出。从代数的角度思考，由于标准方程中含有三个参数，现在只有r未知，所以我们可以先待定r,然后利用A点坐标代入方程即可。两种方法而言，一个关注距离，一个求解方程，二者在本质上是一致的。变式:1.已知A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的标准方程.2.求以C(1,-3)为圆心,且与y轴相切的圆的方程.问题6：点B（－2，－1）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝25上吗？追问：点B在圆的什么位置呢？一般化：如何判断点与圆的位置关系呢？从到圆心距离公式考虑，将点坐标代入圆的方程，若取“=”,则在圆上；若“<”,则在圆内；若“>”则在圆外。例2：△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，－3），C（2，－8），求△ABC的外接圆的标准方程．从代数方程和几何两个角度分析。解1：设所求的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2.①因为A（5，1），B（7，－3），C（2，－8）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，得到关于a，b的二元一次方程组解此方程组，得代入得.所以，△ABC的外接圆的标准方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝25．解2：可考虑两条边的中垂线，联立即得圆心，然后再求半径。例3：已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，－2）两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．分析：待定系数法．先设圆心的坐标，通过圆心在直线上，满足直线的方程，得到圆心的横坐标与纵坐标之间的关系式；再根据圆心与圆上任意一点的距离都等于半径，得出圆心横坐标与纵坐标之间的关系式，通过两个关系式，得出圆心的坐标的具体值．这种方法的出发点和落脚点都是圆心，求出圆心的坐标，圆心坐标确定后，半径自然就确定了．还可以充分运用图形的几何性质，圆心在弦的垂直平分线上，结合