南京市高二数学试卷

南京市高二数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={1},则a的值为（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪个点中心对称（）

A.(0,0)

B.(π/3,0)

C.(π/6,0)

D.(2π/3,0)

4.不等式|2x-1|<3的解集为（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

5.已知点P(x,y)在直线y=x+1上，则点P到原点的距离最小值为（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

6.抛掷两个均匀的骰子，记事件A为“两个骰子的点数之和为5”，事件B为“两个骰子的点数之和为7”，则P(A)与P(B)的关系是（）

A.P(A)>P(B)

B.P(A)<P(B)

C.P(A)=P(B)

D.无法确定

7.已知f(x)=log_a(x),若f(2)=1/2,则a的值为（）

A.2

B.4

C.1/2

D.1/4

8.在等差数列{a_n}中，a_1=3,a_5=9,则该数列的公差d为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5,则该三角形为（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

10.函数f(x)=e^x在区间(0,1)上的平均变化率为（）

A.e-1

B.e+1

C.1/e

D.1

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）

A.y=3x-2

B.y=x^2+1

C.y=1/x

D.y=log_2(x)

2.已知函数f(x)=ax^3-bx^2+cx+d,若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=2,则（）

A.a≠0

B.b=3a

C.c=3a

D.d=2-3a

3.下列命题中，正确的是（）

A.若a>b,则a^2>b^2

B.若a>b,则ac>bc

C.若a^2>b^2,则a>b

D.若ac>bc,则a>b（c>0）

4.在等比数列{b_n}中，b_1=1,b_4=16,则该数列的前4项和S_4为（）

A.15

B.31

C.47

D.63

5.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9,则（）

A.圆心C的坐标为(1,-2)

B.圆C的半径为3

C.直线y=x+1与圆C相切

D.点(2,1)在圆C内部

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=2^x+1在区间[m,m+1]上的值域为[3,27]，则实数m的值为_______。

2.不等式组{x^2≤4,x+1>0}的解集为_______。

3.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程为_______。

4.若复数z=1+i满足z^2=a+bi（a,b∈R），则a+b的值为_______。

5.从6名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少包含1名女生的选法共有_______种。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解方程2^(x+1)-5*2^x+2=0。

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3，b=4，C=60°。求边c的长度及△ABC的面积。

4.计算极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2-2n。求该数列的通项公式a_n。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及详解

1.A.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是a>0。因为二次项系数a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上。

2.C.函数A={x|x^2-3x+2=0}解得A={1,2}，B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则x=1在B中，代入得a=1。

3.C.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于(π/6,0)中心对称，因为sin函数的周期为2π，且图像关于π/2+kπ(k∈Z)中心对称，所以x+π/3=π/2+kπ，得x=π/6+kπ，k∈Z，中心对称点为(π/6+kπ/2,0)，取k=0得(π/6,0)。

4.A.解不等式|2x-1|<3得-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2，所以解集为(-1,2)。

5.A.点P(x,x+1)到原点O(0,0)的距离d=√(x^2+(x+1)^2)=√(2x^2+2x+1)。令g(x)=2x^2+2x+1，g'(x)=4x+2，令g'(x)=0得x=-1/2，代入g(x)得最小值为g(-1/2)=1/2+1/2+1=1，所以d的最小值为√1=1。

6.A.两个骰子的点数和为5的组合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种；点数和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。所以P(A)=4/36=1/9，P(B)=6/36=1/6，P(A)>P(B)。

7.C.f(2)=log_a(2)=1/2，则a^(1/2)=2，a=2^2=4，所以a=1/2。

8.B.a_5=a_1+4d=3+4d=9，解得d=3/2=2。

9.C.因为3^2+4^2=9+16=25=5^2，所以三角形ABC为直角三角形。

10.A.函数f(x)=e^x在区间(0,1)上的平均变化率为(f(1)-f(0))/(1-0)=(e^1-e^0)/1=e-1。

二、多项选择题答案及详解

1.A,B,D.y=3x-2是正比例函数，单调递增；y=x^2+1是开口向上的抛物线，在(0,+∞)上单调递增；y=1/x在(0,+∞)上单调递减；y=log_2(x)是底数大于1的对数函数，在(0,+∞)上单调递增。所以正确选项为A,B,D。

2.A,B,D.f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3a(1)^2-2b(1)+c=3a-2b+c=0。又f(1)=a(1)^3-b(1)^2+c(1)+d=a-b+c+d=2。联立方程组：

{3a-2b+c=0

{a-b+c+d=2

从第一个方程得c=2b-3a，代入第二个方程得a-b+(2b-3a)+d=2，即-a+b+d=2，得d=a-b+2。将d代入第二个方程得a-b+c+(a-b+2)=2，即2a-2b+c+2=2，得2a-2b+c=0，与第一个方程一致。所以a≠0时方程组有解。将d=a-b+2代入第二个方程的右边2，得a-b+c+(a-b+2)=2，即2a-2b+c=0，所以d=a-b+2。因此A,B,D正确。

3.D.A不正确，例如a=1,b=-2，则a>b但a^2=1<b^2=4。B不正确，例如a=1,b=-2,c=-1，则a>b但ac=-1<b*(-1)=-2。C不正确，例如a=-2,b=1，则a^2=4>b^2=1但a<-b。D正确，若ac>bc且c>0，则ac-bc>0，即(c)(a-b)>0，因为c>0，所以a-b>0，即a>b。

4.A,B.由等比数列性质，b_4=b_1*q^3=1*q^3=16，得q^3=16，q=2。所以b_1=1,b_2=2,b_3=4,b_4=8。S_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15。或S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=1+2+4+8=15。所以A,B正确。

5.A,B,C.圆心C(1,-2)，半径r=√9=3。点(2,1)到圆心C的距离d=√((2-1)^2+(1-(-2))^2)=√(1^2+3^2)=√10。因为√10>3，所以点(2,1)在圆C外部，故D错误。因此A,B,C正确。

三、填空题答案及详解

1.2^m+1∈[3,27]，即2^m∈[2,26]。所以m∈[1,log_2(26)]。又f(m+1)=2^(m+1)+1=2*2^m+1∈[3,27]，即2^m∈[1,13]。所以m∈[0,log_2(13)]。取交集得m∈[1,min(log_2(26),log_2(13)])。因为log_2(26)≈4.57,log_2(13)≈3.7，所以m∈[1,3]。检查m=1,f(1)=3,f(2)=5,f(3)=9,f(4)=17,符合条件。所以m=1。

2.解不等式x^2≤4得-2≤x≤2。解不等式x+1>0得x>-1。取交集得解集为[-1,2]。

3.线段AB的中点M((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。垂直平分线的斜率为1/k=1。所以垂直平分线的方程为y-1=1(x-2)，即y=x-1。

4.z^2=(1+i)^2=1^2+2(1)(i)+i^2=1+2i-1=2i。所以a=0,b=2。a+b=0+2=2。

5.总共选出3人的选法有C(10,3)=10!/(3!*7!)=(10*9*8)/(3*2*1)=120种。不包含女生的选法（即3名男生）有C(6,3)=6!/(3!*3!)=(6*5*4)/(3*2*1)=20种。至少包含1名女生的选法=总选法-全是男生的选法=120-20=100种。或者分类：1名女生2名男生，选法C(4,1)*C(6,2)=4*(6*5)/(2*1)=4*15=60种；2名女生1名男生，选法C(4,2)*C(6,1)=(4*3)/(2*1)*6=6*6=36种；3名女生，选法C(4,3)=4种。总计60+36+4=100种。

四、计算题答案及详解

1.求导f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(x)在区间[-1,3]上的驻点为x=0,2。比较端点和驻点处的函数值：

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2

f(0)=0^3-3(0)^2+2=0-0+2=2

f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2

f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2

所以最大值为2，最小值为-2。

2.方程变形为2^x*2-5*2^x+2=0，即(2^x)^2-5*2^x+2=0。令t=2^x，则t^2-5t+2=0。解得t=(5±√(25-8))/2=(5±√17)/2。因为t=2^x>0，舍去t=(5-√17)/2（小于1），保留t=(5+√17)/2。所以2^x=(5+√17)/2。两边取以2为底的对数得x=log_2((5+√17)/2)。

3.由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2*3*4*cos60°=9+16-24*1/2=25-12=13，所以c=√13。三角形的面积S=(1/2)absinC=(1/2)*3*4*sin60°=6*(√3/2)=3√3。

4.lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。这是一个“0/0”型极限，使用洛必达法则：

=lim(x→0)(d/dx(e^x-1-x))/(d/dx(x^2))

=lim(x→0)(e^x-1)/2x

仍然为“0/0”型，再次使用洛必达法则：

=lim(x→0)(d/dx(e^x-1))/(d/dx(2x))

=lim(x→0)(e^x)/2

=e^0/2

=1/2

5.当n=1时，a_1=S_1=1^2-2*1=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-2n-[(n-1)^2-2(n-1)]=n^2-2n-(n^2-2n+1)=-1。所以通项公式为a_n=-1(对n∈N*)。或者考虑数列{a_n}是等差数列，设a_n=a_1+(n-1)d。由S_n=n^2-2n得a_1=-1。又因为S_n=na_1+(n(n-1))/2*d=n(-1)+n(n-1)/2*d=n^2-2n，所以-1+(n-1)/2*d=-2。令n=1，-1+0*d=-2，恒成立。令n=2，-1+1/2*d=-2，得d=-2。所以a_n=-1+(n-1)(-2)=-1-2n+2=-2n+1。需要验证n=1时是否符合，a_1=-2*1+1=-1，符合。所以通项公式a_n=-2n+1。

知识点分类和总结：

本试卷主要涵盖以下理论基础知识点：

1.函数基础：函数概念、图像、性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、值域、定义域、基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）及其图像和性质。

2.集合与逻辑：集合的表示、运算（交、并、补）、关系（包含、相等），逻辑用语（命题、量词、充分条件、必要条件）。

3.不等式：一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，不等式的性质。

4.解析几何初步：直线方程（点斜式、斜截式、两点式、一般式）、直线与点的位置关系（平行、垂直、相交）、圆的标准方程和一般方程、点与圆、直线与圆的位置关系。

5.数列：等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、性质。

6.复数：复数的概念、几何意义、运算（加、减、乘、除）。

7.排列组合：分类计数原理、分步计数原理、排列、组合的概念、计算公式。

8.极限与导数初步：函数在某点的极限概念、求极限的方法（代入法、因式分解法、洛必达法则）、导数的概念、导数的几何意义（切线斜率）、函数的单调性与导数的关系。

9.三角函数：任意角的概念、弧度制、三角函数的定义、图像、性质（单调性、周期性）、诱导公式、同角三角函数基