南昌市高三二轮数学试卷

南昌市高三二轮数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值集合为（）

A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+\infty)D.(0,1)∪(1,2)

3.已知向量a=(1,m)，b=(3,1)，若a//b，则实数m的值为（）

A.3B.1C.1/3D.-1/3

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=√13，则角B的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=5，则S_5的值为（）

A.10B.15C.20D.25

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像向右平移π/4个单位后得到的图像对应的函数为g(x)=cos(ωx)，则φ的值为（）

A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8

7.已知某校高三学生身高（单位：cm）服从正态分布N(170,σ^2)，若该校身高在165cm及以下的男生人数为20%，则身高在175cm及以上的男生人数约为（）

A.20%B.30%C.40%D.50%

8.已知直线l：x-y+1=0与圆C：(x-2)^2+(y+1)^2=4的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且过圆心

9.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为1的正三角形，D为BC的中点，则三棱锥D-ABC的体积为（）

A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则方程f(x)=0在(1,2)区间内的实数根的个数为（）

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^2+px+q，若f(x)有两个小于1的实数根，则实数p、q满足的条件是（）

A.p>2B.q>1C.p<-2D.q<0

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)=sinA+cosA，g(B)=sinB+cosB，则f(A)、g(B)的大小关系可能是（）

A.f(A)>g(B)B.f(A)=g(B)C.f(A)<g(B)D.f(A)≥g(B)

3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+2n，则下列关于数列{a_n}的说法正确的有（）

A.{a_n}是等差数列B.{a_n}是等比数列C.S_n=na_1+(n(n-1))/2D.a_n=n(n-1)+1

4.已知函数f(x)=e^x+ax+b，若f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+\infty)上单调递增，则（）

A.f(1)是极小值点B.f(1)是极大值点C.a=-1D.b=1

5.已知直线l1：y=kx+1与直线l2：y=-x+m相交于点P，且点P在圆C：(x-1)^2+y^2=5上，则k、m满足的条件是（）

A.k+m=0B.k-m=1C.k^2+m^2=2D.k^2+m^2=5

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=2^x-1，若f(m)=3，则m=________。

2.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则该数列的通项公式a_n=________。

3.已知直线l：ax+by+c=0与圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=9相切，则a^2+b^2=________。

4.执行以下程序段后，变量s的值为________。

s=0

i=1

Whilei<=5

s=s+i

i=i+1

EndWhile

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA=________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a+b、a-b、a·b以及向量a与向量b的夹角余弦值。

3.已知等差数列{a_n}的首项a_1=1，公差d=2，求该数列的前10项和S_10。

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=25，求圆C的圆心和半径，并判断点A(3,4)是否在圆C上。

5.已知函数f(x)=log_2(x+1)，求函数f(x)的反函数f^(-1)(x)，并求f^(-1)(3)的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：A={1,2}，A∪B=A⇒B⊆A，所以x^2-ax+1=0的根必须是1或2或同时为1和2。

若根为1，则a=2；

若根为2，则a=5；

若根同时为1和2，则方程为(x-1)(x-2)=0，解得a=3。

但若a=5，则B={2,5}，不满足B⊆A，故排除。

所以a的可能取值为2或3，即{2,3}。

2.C

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，则其导数f'(x)=1/(lna(x+1))<0在(0,1)上恒成立。

因为x+1>0在(0,1)上恒成立，所以lna<0⇒0<a<1。

故实数a的取值范围是(0,1)。

3.C

解析：向量a=(1,m)，b=(3,1)平行，则存在实数k，使得(1,m)=k(3,1)⇒1=3k，m=k。

解得k=1/3，m=1/3。

4.D

解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC⇒(√13)^2=2^2+3^2-2*2*3*cosB⇒13=4+9-12cosB⇒12cosB=-1⇒cosB=-1/12。

因为角B在(0,π)内，所以sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(-1/12)^2)=√(1-1/144)=√(143/144)=√143/12。

又因为sin60°=√3/2≈0.866，sin45°=√2/2≈0.707，sin30°=1/2=0.5，而√143/12≈3.536/12≈0.295。

比较√143/12与sin30°，0.295<0.5，所以角B小于30°。

但cosB=-1/12比cos60°=1/2更接近0，意味着角B更接近90°。

综合判断，角B最接近90°，即角B为90°。

5.C

解析：由a_1=1，a_3=5，得a_3=a_1+2d⇒5=1+2d⇒2d=4⇒d=2。

S_5=5a_1+(5(5-1))/2*d=5*1+(5*4)/2*2=5+10=20。

6.B

解析：f(x)=sin(ωx+φ)图像向右平移π/4个单位得g(x)=sin[ω(x-π/4)+φ]=sin(ωx-ωπ/4+φ)=cos(ωx)。

因为g(x)=cos(ωx)=sin(ωx+π/2)，所以-ωπ/4+φ=π/2+kπ⇒φ=π/2+ωπ/4+kπ。

因为|φ|<π/2，所以|π/2+ωπ/4+kπ|<π/2⇒-π/2<π/2+ωπ/4+kπ<π/2。

当k=0时，-π<ωπ/4<0⇒-4<ω<0，但ω>0，矛盾。

当k=-1时，-π<ωπ/4-π<0⇒3π/4<ωπ/4<π⇒3<ω<4。

当k=1时，-π<ωπ/4+π<π/2⇒-4<ωπ/4<π/2⇒-8/π<ω<1/2，但ω>0，所以0<ω<1/2。

综上，ω在(3,4)∪(0,1/2)内。

取ω=1，则φ=π/2+π/4=3π/4，满足|φ|<π/2，且3<1<4，符合。

故φ=π/8。

7.C

解析：正态分布N(170,σ^2)的图像关于x=170对称。P(X≤165)=0.2，因为对称性，P(X≥175)=P(X≤165)=0.2。

所以身高在175cm及以上的男生人数约为20%。

8.B

解析：圆心C(2,-1)，半径r=√25=5。直线l到圆心C的距离d=|2-(-1)+1|/√(1^2+(-1)^2)=4/√2=2√2。

因为2√2≈2*1.414≈2.828，小于半径5，所以直线l与圆C相交。

又因为2√2不等于5，所以直线l与圆C相交但不过圆心。

9.A

解析：底面ABC是边长为1的正三角形，高h=√(1^2-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。D为BC中点，AD⊥BC。

三棱锥D-ABC的体积V=(1/3)*底面积*高=(1/3)*√(1/4)*√3/2=(1/3)*(1/2)*√3/2=√3/24=(1/6)*√3。

因为底面积是1/4，高是√3/2，所以体积是(1/3)*(1/4)*(√3/2)=1/6*√3/2=1/6。

10.B

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0⇒3x^2-6x+2=0⇒x=(6±√(36-24))/6=1±√2/3。

f'(x)>0⇒x<1-√2/3或x>1+√2/3；f'(x)<0⇒1-√2/3<x<1+√2/3。

f(1-√2/3)=(-2√2+3)/3，f(1+√2/3)=(2√2+3)/3，f(1)=0。

因为1+√2/3>1，且f(1+√2/3)>f(1)，而f(1)已经是0，所以f(x)=0在(1,1+√2/3)内无解。

又因为f(1-√2/3)<0，且f(0)=2>0，所以f(x)=0在(0,1-√2/3)内有唯一解。

故在(1,2)区间内，方程f(x)=0无实数根。

二、多项选择题答案及解析

1.AD

解析：f(x)=2^x-1，f(m)=3⇒2^m-1=3⇒2^m=4⇒m=2。

若f(x)有两个小于1的实数根，则方程2^x-1=x有两个小于1的实数根。

令g(x)=2^x-x，g'(x)=2^xln2-1。令g'(x)=0⇒2^xln2=1⇒2^x=1/ln2⇒x=log_(2^x)(1/ln2)。

因为ln2>1，所以1/ln2<1⇒x<0。g'(x)<0⇒x<x_0，g'(x)>0⇒x>x_0。

g(x)在(-∞,x_0)上递减，在(x_0,0)上递增，在(0,+∞)上递增。

g(0)=2^0-0=1，g(x_0)=1/ln2-x_0>1，g(1)=2-1=1。

所以g(x)=0有两个小于1的实数根⇒g(x_0)>1且g(1)=1。

即1/ln2-x_0>1⇒x_0<1/ln2-1。

又因为x_0=log_(2^x)(1/ln2)<0，所以x_0<1/ln2-1<0。

所以g(x)=0有两个小于1的实数根⇒p>2且q<0。

2.ABC

解析：f(A)+g(B)=sinA+cosA+sinB+cosB=√2(sin(A+π/4)+sin(B+π/4))。

因为0<A<π，0<B<π，所以π/4<A+π/4<5π/4，π/4<B+π/4<5π/4。

所以sin(A+π/4)+sin(B+π/4)的取值范围是[-√2,√2]。

当sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=√2时，A=B=π/4，此时f(A)=g(B)=√2，f(A)=g(B)。

当sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=-√2时，A=B=3π/4，此时f(A)=g(B)=√2，f(A)=g(B)。

当sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=0时，A=B=π/2或A=B=3π/2，但A、B<π，所以A=B=π/2。

此时f(A)=g(B)=1，f(A)=g(B)。

当sin(A+π/4)+sin(B+π/4)在(-√2,0)或(0,√2)内时，不妨设sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=k，其中-k<√2且k>0。

则f(A)+g(B)=√2k，sin(A+π/4)-sin(B+π/4)=√2(√2-k)=2-√2k。

因为0<k<√2，所以0<2-√2k<2，即sin(A+π/4)-sin(B+π/4)>0⇒f(A)>g(B)。

所以f(A)、g(B)的大小关系可能是f(A)>g(B)或f(A)=g(B)。

3.CD

解析：a_(n+1)=a_n+2n⇒a_(n+1)-a_n=2n。

所以a_2-a_1=2，a_3-a_2=4，a_4-a_3=6，...，a_n-a_(n-1)=2(n-1)。

将上述n-1个式子相加得a_n-a_1=2(1+2+...+(n-1))=2*(n(n-1))/2=n(n-1)。

因为a_1=1，所以a_n=n(n-1)+1。

S_n=n(a_1+a_n)/2=n(1+n(n-1)+1)/2=n(n^2-1)/2。

所以{a_n}不是等差数列（公差不为常数），不是等比数列（相邻项比值不为常数）。

S_n=n^3/2-n^2/2，所以{a_n}不是等差数列的子数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以{a_n}不是等比数列的子数列。

但S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

但S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差数列也不是等比数列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多项式减去n的二次多项式，形式上与等差数列前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_