2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.已知向量a=(−1,12)，b=(1,m)，若aA.3 B.2 C.5 3.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点OA=a，OB=b，OC=cA.a−b+c

B.a+b+4.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是(

)A.22

B.1

C.25.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则△ABC的形状是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定的6.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//αB.若m//α，n//m，则n//α

C.若m//α，n//α，则m//nD.若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n7.如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定C处，测得AB=30米，∠ABC=75°，∠BAC=45°，则该河流的宽度是(

)A.15+53米

B.103+10米

C.158.已知正方形ABCD的边长为4，点P满足AP=λAB(λ>0)，则PC⋅A.−16 B.0 C.12 D.−12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2，z1−为zA.z1+z1−为实数 B.|z1−|=|10.已知向量a=(2,1),b=(−3,1)，则以下说法正确的是A.(a+b)//a

B.a与a−b的夹角余弦值为255

C.a与11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BBA.FG//平面AED1

B.BC1//平面AED1

C.点C1在平面AE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个棱锥至少有______个面．13.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为______cm3．14.已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，△ABC的面积S=a2−(b−c)2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=(m2+5m−6)+(m−1)i，m∈R．

(Ⅰ)若z是纯虚数，求m的值；

(Ⅱ)若z16.(本小题15分)

已知|a|=2，|b|=3，向量a与b的夹角为150°．

(1)计算|a+217.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC=a2cosA．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积为418.(本小题17分)

如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD=l．

(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；

(2)求证：MN//平面PAD；

(3)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH//平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB=π2，若E是AB上一点，BC=CE，记∠ABC=α，∠ACE=β．

(1)证明：cos2α+sinβ=0；

(2)若AC=3AE，CD=3，AD=1．

(i)求β的值；

参考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.C

6.D

7.A

8.D

9.ABD

10.BD

11.BD

12.4

13.193

14.(1115.解：(Ⅰ)∵z=(m2+5m−6)+(m−1)i是纯虚数，

∴m2+5m−6=0m−1≠0，解得m=−6；

(Ⅱ)∵z在复平面内对应的点在第三象限，

∴m−1<0m216.解：(1)|a|=2，|b|=3，向量a与b的夹角为150°，

∴a⋅b=|a|×|b|×cos150°=2×3×(−32)=−3，17.解：(1)因为ccosB+bcosC=a2cosA，

由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=sinA2cosA，

即sin(B+C)=sinA2cosA，

在△ABC中，sin(B+C)=sinA，且sinA>0，

则cosA=12，而A∈(0,π)，

可得A=π3；

(2)△ABC的面积为43,a=33，

而S=12bcsinA=12bc⋅32=43，所以bc=16，

18.解：(1)l//BC，证明如下：

依题意，BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

则BC//平面PAD，

又平面PAD∩平面PBC=l，BC⊂平面PBC，

所以l//BC；

(2)证明：取PD中点F，连接AF，FN，

在△PCD中，FN//DC,FN=12DC，

在▱ABCD中，AM//CD,AM=12CD，

则AM//FN，AM=FN，

即四边形AFNM为平行四边形，

因此AF//NM，

又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

所以MN//平面PAD；

(3)当H为PB中点时，平面KNH//平面ABCD，证明如下：

取PB的中点为H，连接KH，NH，

在△PBC中，HN//BC，HN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

则HN//平面ABCD，同理可证，KH//平面ABCD，

又KH，HN⊂平面KNH，KH∩HN=H，

所以平面KNH//平面19.(1)证明：因为BC=CE，所以∠BEC=∠ABC=α，

在△BEC中，α+α+π2−β=π，可得2α=π2+β，

所以cos2α=cos(π2+β)=−sinβ，即cos2α+sinβ=0．

(2)(i)在△ACE中，由正弦定理得ACsin∠AEC=AEsin∠ACE，

可得3AEsin(π−α)=AEsinβ，即sinα=3sinβ(∗)，

由(1)已证：cos2α+sinβ=0，即1−2sin2