2024-2025学年陕西省咸阳市泾阳县泾干中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省咸阳市泾阳县泾干中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=f′(1)⋅x2−lnx，则A.1 B.−1 C.2 D.−22.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，其中被5整除的数有(

)A.16 B.20 C.30 D.363.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v=1.4t+0.3t2，t∈[0,12]，则当t=10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为(

)A.4.4m/s2 B.7.4m/s2 C.4.抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是(

)A.56 B.59 C.135.设(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)7A.120 B.84 C.56 D.366.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是(

)A.300 B.360 C.390 D.4207.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域(A,B,C,D,E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有(

)A.2520种

B.3360种

C.3570种

D.4410种8.已知函数f(x)=ex−ax2的定义域为(12,2)A.[e24−1,+∞) B.[e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(x2+1xA.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式的各项系数之和为1024

C.展开式中常数项为45 D.展开式中含x15项的系数为10.某大熊猫繁育基地对该基地大熊猫幼崽进行体检，体检后将体重各不相同的A，B，C，D，E，F六只小熊猫排成一排晒太阳，则下列说法正确的是(

)A.若将A，C，D三只小熊猫从左到右按照体重递增的顺序排列，则共有120种排法

B.若E与F两只小熊猫不相邻，则共有480种排法

C.若A，B，C三只小熊猫排在一起，且A只能在B与C的中间，则共有72种排法

D.若小熊猫D不在排头，F不在排尾，则共有480种排法11.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(

)A.f(x)=x2−4x+3 B.g(x)=log12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若C162x−5=C1513.某测试由8道四选一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会.若小胡答对每道有思路的题的概率为12，答对每道不会的题的概率为14，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为______．14.设函数f(x)=lneaxa(a>0)的零点为x0，则当四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知f(x)=1+x，g(x)=(1+5x)m(m∈N∗).

(1)当m=5时，求f(x)⋅g(x)的展开式中含x2的项；

(2)若(1+5x)n16.(本小题12分)

已知函数f(x)=x3−x2−ax+2．

(1)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，求a的取值范围．

(2)若函数f(x)在x=1时取得极值，

①求函数f(x)的单调区间；

②求函数17.(本小题12分)

2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内n(n∈N∗)个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415．

(1)求n的值；

(2)若一次抽取3个城市，则：

①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；

②18.(本小题12分)

已知函数f(x)=2lnx−x2+m．

(1)当m=0时，求函数f(x)的图象在x=2处的切线方程；

(2)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若f(x)在[119.(本小题12分)

已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=f(x)−4x+5恰有两个极值点x1、x2．

①求a的取值范围；参考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.A

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.AB

11.ABC

12.5或7

13.111614.e

1e15f(x)=1+x，g(x)=(1+5x)m(m∈N∗).

(1)当m=5时，f(x)⋅g(x)=(1+x)(1+5x)5=k=05(C5k5kxk+C5k5kxk+1)，

当k=1时，C5151x1+1=25x2，当k=2时，C5252x2=250x2，

则含x2的项为250x2+25x2=275x2．

(2)由题意得(1+5x)n的展开式的通项公式为：Tr+1=Cnr5rxr，16.(1)由题意可得f′(x)=3x2−2x−a，

若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，

则f′(x)≥0在(2,+∞)恒成立⇔3x2−2x−a≥0在(2,+∞)恒成立，

即a≤3x2−2x在(2,+∞)恒成立，

令g(x)=3x2−2x，其对称轴为x=13，所以g(x)在(2,+∞)上单调递增，

且g(2)=8，所以只需a≤8．

即a的取值范围为：(−∞,8]．

(2)①由题得f′(x)=3x2−2x−a，x∈R．

由函数f(x)在x=1时取得极值，得f′(1)=1−a=0，解得a=1，

此时f′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)，显然x=1是f′(x)的变号零点，

即x=1是极值点，因此a=1,f′(x)=3(x+13)(x−1)，

所以当x<−13或x>1时，f′(x)>0，当−13<x<1时，f′(x)<0，

所以函数f(x)的递增区间是(−∞,−13),(1,+∞)，递减区间是17.(1)由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415，

则C82Cn+82=415，即8×7(n+8)(n+7)=415，解得n=7或n=−22(舍)，

故n=7．

(2)①由题知X的可能取值为0，1，2，3，

X0123P124288②取出3个城市全为超大城市，共有C73=35种情况，

取出4个城市全为小城市，共有C83=56种情况．

取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为P=C73C73+C83=3591．

18.解：(1)当m=0时，f(x)=2lnx−x2，f(2)=2ln2−4，

f′(x)=2x−2x，f′(2)=−3，

所以切线方程为y−(2ln2−4)=−3(x−2)，即3x+y−2ln2−2=0．

(2)f′(x)=2x−2x=−2(x+1)(x−1)x，

当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以f(x)max=f(1)=m−1≤0，则m≤1，

即实数m的取值范围是(−∞,1]．

(3)f′(x)=2x−2x=−2(x+1)(x−1)x，

所以当1e<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当1<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

故f(x)在x=119.解：(1)由题意知f′(x)=x+ax=x2+ax．

当a<0时，令f′(x)>0，解得x>−a，令f′(x)<0，解得0<x<−a，

此时，函数f(x)的减区间为(0,−a)，增区间为(−a,+∞)；

当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；

综上所述，当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a<0时，函数f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增．

(2)①由题意知g(x)=f(x)−4x+5=12x