拓展应用：航天中的圆锥曲线

4/4航天中的圆锥曲线2005年10月17日凌晨，5天前从酒泉卫星发射中心启航的神舟六号飞船，在平安飞行了115个小时32分后重返神州，缓缓降落在内蒙古四子王旗主着陆场的草地上．我国首次真正意义上有人参与的空间飞行试验取得了圆满成功．随着中国第二次载人航天飞行的圆满成功，中国人的太空探索就站在了一个新的起点上，越来越多的世人把目光投向中国的航天事业．下面就结合航天中的圆锥曲线的应用加以分析．1．航天中的椭圆例1．2005年10月12日9时整，神舟六号载人飞船发射升空，于9时9分50（1）只从数学角度分析，如果仅知道的近地点A的高度，能确定飞船飞行的椭圆轨道的方程吗？如果还知道远地点B的高度呢？（2）求在和都已知的情况下的飞船飞行的椭圆轨道的方程；（3）若近地点A的高度200公里，远地点B的高度350公里．已知地球半径R＝6371公里．求飞船飞行的椭圆轨道的方程．解析：（1）如果仅知道近地点A的高度，是不能确定飞船飞行的椭圆轨道的方程的；如果还知道远地点B的高度，则可以很容易地确定飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）设飞船飞行的椭圆轨道的方程为，∵近地点A的高度，远地点B的高度，地球半径为R，则，所以，，∴，∴飞船飞行的椭圆轨道的方程为；（3）∵200公里，350公里，R＝6371公里，代入以上（2）中的方程可得飞船飞行的椭圆轨道的方程．点评：人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行轨道，从而达到遥控和回收的目的．2．航天中的双曲线例2．“神舟”六号载人飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域内安排三个救援中心（记为A、B、C），A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西，相距4千米，P为航天员着陆点，某一时刻，A接受到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4秒后，B、C两个救援中心才同时接受到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米（1）求在A处发现P的方位角；（2）若信号从P点的正上空Q点处发出，则A、B收到信号时间差变大还是变小？请说明理由．解析：（1）如图1，∵，∴点P在线段BC的垂直平分线上，又∵，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，∴双曲线方程为，又直线BC的垂直平分线方程为：，联立以上两个方程解得：，∴，∴，即，即P点在A点的北偏东处；（图1）（图2）（2）如图2，设，，，∵，又，∴，∴A、B收到信号时间差变小，B、C两救援中心收到信号的时间少于4秒．点评：常常采用双曲线时差定位法来处理国防上的一些问题，在国防、军事、救灾抢险、航天等方面都有重大的意义．可以利用双曲线的定义和特征，确定爆炸点或出事地点的位置等．3．航天中的抛物线例3．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解析：（1）设曲线方程为，由题意可知：，∴，即曲线方程为；（2）设变轨点为，根据题意可知，整理可得，解得或（不合题意，舍去），∴，得或（不合题意，舍去）∴点的坐标为，则可得．答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．点评：抛物线是物体运动中最最常见的轨迹问题之一，也是航天中发射与回收中抛物体的运动轨迹．抛物线由于其特殊的内含和曲线特征，正确加以理解与应用，可以大大有益