专题11 三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）（解析版）

专题11三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）目录：01两角和与差的三角函数02二倍角公式03半角公式04辅助角公式及应用05降幂公式06万能公式07积化和差与和差化积公式08三角恒等变换的应用01两角和与差的三角函数1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解.【解析】.

故选：C.2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值.【解析】，，又，则，则故选：A3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的正切值，即可得出的正切值，进而求出的度数.【解析】由题意及图得，，，∴．∵，，∴．故选：B.4．（2023·四川宜宾·二模）已知，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解.【解析】，故选：C5．（2024·广西·模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦两角和公式和正弦函数的性质求出，代入即可求解.【解析】因为，所以，所以，所以，或，，又，所以，所以，故选：A02二倍角公式6．（21-22高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，则（

）A．0 B．2 C．0.5 D．0或2【答案】C【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.【解析】因为，所以，所以由得，故选：C7．（20-21高三上·吉林松原·期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解.【解析】解：由题得，两边平方得.故选：C8．（23-24高三上·福建宁德·期中）已知是第一象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.【解析】因为是第一象限角，，所以，所以，故选：B.9．（2024·江西·模拟预测）若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据两角和的正切公式求出，再由二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【解析】因为，即，则．故选：A10．（2024·辽宁·一模）若，则（

）A．或2 B．或 C．2 D．【答案】C【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案.【解析】或，代入tanα求得值均为：2.故选：C.11．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.【解析】因为，所以，又，所以，所以，即，解得或，因为，所以，所以．故选：D03半角公式12．（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据已知条件求出和的值，再利用求解即可.【解析】∵角是第二象限角，且终边经过点，∴，，∴.故选：C．13．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.【解析】由三角函数定义得所以.故选：A.14．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【解析】因为，而为锐角，解得：．故选：D．15．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知，则.【答案】【分析】利用半角公式即可求解.【解析】因为，且，所以，故答案为：.04辅助角公式及应用16．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知，则．【答案】【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得.【解析】，故，由，则，故，.故答案为：.17．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，其中，满足，则．【答案】【分析】根据代入计算，化简可得关于的方程，解方程即可.【解析】因为，，所以，所以，即，所以，又因为，所以，即.故答案为：.18．（2024·全国·模拟预测）设，则函数的最大值为．【答案】【分析】平方后，设，得到，，根据函数单调性得到最值，得到答案.【解析】设，，两边平方得．设，两边平方得，则，由于，，则，，又由于在区间上单调递增，所以当时,的最大值为，则在区间上的最大值为．故答案为：19．（2024·河南新乡·三模）已知函数，若存在，使得，则的最小值为.【答案】/【分析】利用辅助角公式化简函数，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【解析】函数，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值为.故答案为：05降幂公式20．（2022·云南·模拟预测）（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.【解析】解：由题得.故选：C21．（22-23高三下·安徽·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.【解析】由已知，化简得．平方得，所以．故选：A．22．（2021·四川巴中·模拟预测）已知，则（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.【解析】因为，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.23．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）已知的数（），若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对运用倍角公式作恒等变换求出周期，则其周期，据此可以求解.【解析】，其周期为，由题意有：.故选：D.06万能公式24．（20-21高一下·陕西西安·期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【解析】.故选：A.25．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解.【解析】∵，∴，解得或（舍去），所以.故选：D26．（2021·河北邯郸·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【解析】由，得，所以，从而故选：B07积化和差与和差化积公式27．（2021高三·全国·专题练习）求cos+cos-2sincos的值；【答案】0【分析】利用和差化积进行化简求值即可得解.【解析】cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.28．（22-23高三上·广东汕头·期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求证：B＝2A；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明过程见解析.(2)【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到，结合角的范围，得到；（2）利用正弦定理得到，根据三角形为锐角三角形，得到，，从而求出取值范围.【解析】（1），由正弦定理得：，由积化和差公式可得：，因为，所以，因为三角形ABC为锐角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因为，所以，由得：，由，解得：，结合可得：，，故在上单调递增，所以，即.08三角恒等变换的应用29．（2024·山东·二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）．A．函数的最大值是B．函数在上单调递增C．该函数的最小正周期是D．该函数向左平移个单位后图象关于原点对称【答案】B【分析】根据题意，化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【解析】由函数，可得最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错误；当，可得，根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，所以B正确；将函数图象向左平移得到函数，此时函数的图象不关于原点对称，所以D错误.故选：B．30．（2024·四川·模拟预测）已知函数在上有且仅有4个零点．则图象的一条对称轴可能的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简，由零点个数整体思想求出，并求出对称轴判断其范围，结合赋值法判断各选项.【解析】，令，得，因为，所以，若在上有且仅有4个零点，则，解得，令，得，因为，所以．当，当，当，只有D符合.故选：D．31．（22-23高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)若，且，求的值.【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为(2)【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据正弦型函数最小正周期和单调区间的求法可直接求得结果；（2）由可求得，进而得到，利用两角和差余弦公式可求得结果.【解析】（1），的最小正周期；令，解得：，的单调递减区间为.（2）由（1）得：，，，，.32．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先将函数化简得，再结合以及的任意性求出的值，从而求出的解析式，再数形结合探究即可得出结果.【解析】由题，由知，所以，解得，所以.对于，令，得；令，得，故直线经过点与点.易知的图象也过点与点，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与直线，如图所示：结合图象可知的图象与直线恰有5个交点，故选：C.33．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）的内角的对边分别为，且.(1)判断的形状；(2)若为锐角三角形，，求的最大值.【答案】(1)为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形(2)【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0时的情况即可；（2）先根据（1）中的结论判断此时为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角B的三角函数求值域，注意角B在锐角三角形中的范围即可.【解析】（1）由题意：，整理得，故或，当时，，为直角三角形，当时，，为等腰三角形，当且时，，，为等腰直角三角形.所以为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.（2）由（1）知，若为锐角三角形，则一定为等腰三角形，，由正弦定理得，，，因为为锐角三角形，所以，解得，当时，即时取最大值，最大值为.综上，最大值为一、单选题1．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.【解析】由，则，则，，则，由，故.故选：C.2．（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出，再结合二倍角公式即可求解.【解析】因为，所以，解得或（舍去），所以．故选：B.3．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可．【解析】由题设有，即，解得或，因为，所以，则，则，故选：A．4．（2024·河南·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.【解析】.故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义，可得，，即可利用和差角公式求解.【解析】单位圆的方程为，将点的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得，根据三角函数的定义知，，因此．故选:D．6．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解.【解析】因为，则，则，所以，而，则，所以.故选：C7．（2024·全国·三模）当时，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.【解析】原式，其中锐角由确定，由，得，所以.故选：D8．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案.【解析】令，由题意可得，则，又因为，所以，函数的对称轴为，则，即，即，结合，解得.故选：A.二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解析】选项A：由，，可知为锐角，且，解得，且，所以，故A错误；选项B：因为，，因此，故B正确；选项C：因为且．所以，所以C正确；选项D：因为，，所以，，所以，所以D正确．故选：BCD10．（2023·浙江·二模）已知函数为奇函数，则参数的可能值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据奇函数，运用排除法，再验算即可.【解析】是奇函数，并在时有意义，，对于A，，又；，是奇函数，正确；对于B，，错误；对于C，，又；，是奇函数，正确；对于D，，错误；故选：AC.11．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，下列判断正确的是（

）A．若，且，则B．时，直线为图象的一条对称轴C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为【答案】BD【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【解析】，对于，根据条件，可得，故A错误；对于，当时，，所以直线为的一条对称轴，故B正确；对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，为非奇非偶函数，故C错误；对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，所以，解得，故D正确.故选：BD.三、填空题12．（2024·全国·二模）已知，则.【答案】/0.28【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可.【解析】，得，解得或（舍）所以.故答案为：.13．（2024·湖北·三模）设函数对任意的均满足，则【答案】1【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可.【解析】因为，又因为，所以函数为偶函数，即，，，所以.故答案为：14．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围是.【答案】【分析】由二倍角公式可得，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得，可得，根据三角形为锐角三角形求出角B的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得，可得范围.【解析】因为，所以，所以，由正弦定理得，即，所以，所以，即，所以或（舍去），因为三角形为锐角三角形，所以，又，解得，所以.因为，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题15．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，且函数在上的最大值为．(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最大值可构造方程求得的值；（2）采用整体代换的方式，构造不等式，解不等式即可求得单调递减区间.【解析】（1），，，解得：.（2）由（1）知：，令，解得：，的单调递减区间为.16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在中，三边所对的角分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的直径为4，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得；（2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得.【解析】（1）因为，由正弦定理得，，因为，所以，因为．所以，又，则，因为，所以．（2）由正弦定理，，则，由余弦定理，，解得或（舍去），故的面积．17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且．(1)证明：；(2)若的面积为，判断是否为等腰三角形，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）已知等式利用正弦定理与两角和的正弦公式化简，再由同角三角函数的商数关系得到结论.（2）由已知条件结合三角形面积公式，求出的三个内角，判断三角形形状.【解析】（1）已知，由正弦定理得，由，有，可得，所以，即，由，有，即，所以．（2）为等腰三角形，理由如下：由题知，，的面积为，则有，所以，又，所以，由（1）知，又，所以，则，所以是等腰三角形．18．（2024·江苏苏州·模拟预测）