（模块化思维提升）专题12-孙子定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练

专题12孙子定理小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、孙子定理的含义：也叫中国剩余定理．《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数．这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵．其正确解法叫做孙子剩余定理．

2、中国剩余定理的结论：

令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时．【典例一】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是（）。

【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．

【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…

其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数

同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7

最终符合题意的是127．

答：该年级的人数是127．

故答案为：127．

【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．【典例二】甲、乙、丙三数分别是603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求是多少？【分析】丙数扩大4倍，乙数扩大2倍，那么甲、乙、丙三数余数就相同了，即，，然后两两相减求出三个差，再求出三个差的不小于4的公因数即可．【解答】解：根据分析可得，所以，的值为17或经验证，只有17符合题意．答：是17．【点评】本题考查了剩余定理的灵活应用，关键是统一余数，然后根据因数与倍数的关系解答即可．【典例三】求满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数？满足条件的从小到大第二个数是多少？【分析】除以7余5的数最小是，，，正好符合要求，然后加上7、8、9的最小公倍数，找到符合要求的第二个数即可．【解答】解：除以7余5的数最小是所以，满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数12．7、8、9的最小公倍数是：答：满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数12；满足条件的从小到大第二个数是516．【点评】本题考查了孙子定理，本题是求出符合要求的最小自然数．一．填空题1．篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个；每次取5个，最后剩下3个；每次取7个，最后剩下5个，则篮子里最少有个鸡蛋．2．一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合这个条件的500以内的最大数是．3．有一些气球，不到20个，平均分给3个小朋友或5个小朋友，都剩下2个，想一想，有个气球。4．在小于1000的数中，被5除余4、被3除余2的最大奇数是。5．将618，516，448被某一数整除所得的余数相同（不能为，这个数最大是，余数是．6．有个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除．这样的三位数最大是，最小是．7．一个自然数了除以7余5，除以11余1，除以9余3，这个数最小是．8．一个数被3除余2，被4除余2，被5除余4，符合条件的500以内的最大数是．9．一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数最小是．10．有一筐苹果，每次从中取出3个，最后筐内还剩2个，每次从中取出5个，最后还剩3个，每次从中取出7个，最后还剩2个．这筐苹果至少有个．11．自然数390，369，425被某自然数（且大于除时余数相同，那么2014被这个自然数除的余数是．二．解答题12．你知道吗？《孙子算经》记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”。你知道怎样解答这个问题吗？13．我国古代有一道韩信点兵的算术题：卫兵列队，列成五队余一人，列成六队余五人，列成七队余四人，列成十一队余十人，求韩信最少有多少卫兵？14．有一堆棋子，三个三个地数，最后剩下2个；十三个十三个地数，最后剩下3个；十九个十九个地数，最后剩下5个．这堆棋子最少多少个？15．银行有200个保险柜，分别编号号．为了保险起见，每个保险柜的钥匙不能编上与柜相同的号码．现在设计一种将钥匙编号的方法：每个保险柜的钥匙用四个数字来编号（首位数字可以是，从左起的四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，如8号保险柜的钥匙编号为0231．问编号为1233的钥匙是几号保险柜的？16．一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是多少？17．《孙子算经》中记载：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个：如果5个5个地数，最后剩3个：如果7个7个地数，最后剩2个：这些物品至少有多少个？这个问题人们通常把它叫做“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”你知道怎么解答这个问题吗？18．一个三位数加5能被3整除，加2能被5整除，加1能被7整除，这个三位数最大是多少19．一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．20．一个数用3除余1，用4除余2，用5除余3，这个数最小是多少？

参考答案一．填空题1．【分析】根据题意得出此题要求的数是能够被3、5、7整除还少2的数，由此求出3、5、7的最小公倍数再减去2即可．【解答】解：因为3、5和7的最小公倍数是，所以篮子里的鸡蛋最少有：（个，答：篮子里最少有103个鸡蛋；故答案为：103．【点评】本题主要考查了利用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题．2．【分析】根据“一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4”，可知这个自然数是比3、4和5的公倍数少1的数，进而先求出3、4和5的最小公倍数，再求出符合这个条件的500以内，最大公倍数，然后再减去1即可．【解答】解：3、4和5的最小公倍数是：答：符合这个条件的500以内的最大数是479．故答案为：479．【点评】解决此题关键是理解把这个数增加1，所得数就正好被3、4和5整除；从而得出该数是比3、4和5的公倍数少1的数．3．【答案】17。【分析】根据题意，求出3和5的最小公倍数，3和5互质，其最小公倍数是它们的乘积，即15，然后加上2就是气球的个数。【解答】解：3和5的最小公倍数是：，（个答：有17个气球。故答案为：17。【点评】解答本题的关键是求出3和5的最小公倍数。4．【答案】989【分析】被5除余4、被3除余2，那么这个数加上1就是的倍数，先用1000除以求出商，然后结合商与这个数是奇数解答即可。【解答】解：答：被5除余4、被3除余2的最大奇数是989。故答案为：989。【点评】本题考查了余数问题和倍数问题，关键是明确这个数加上1就是15的倍数。5．【分析】根据同余定理，618，516，448这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数，进一步求出余数．【解答】解：所以这个整数为三个差的最大公因数：所以余数是6；答：这个数最大是34；余数是6．故答案为：34；6．【点评】本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．6．【分析】首先根据题意，可得这个数除以5余4，除以2余1，除以3余1；然后根据这个数除以5余4，可得这个数个位上的数字为4或9，再根据这个数除以2余1，可得这个数个位上的数字只能是9，所以满足的三位数为：109、119、129、139、、969、979、989、999；最后根据这个数除以3余1，求出这样的三位数最大、最小各是多少即可．【解答】解：据题意，可得这个数除以5余4，除以2余1，除以3余1；因为这个数除以5余4，所以这个数个位上的数字为4或9，又因为这个数除以2余1，所以这个数个位上的数字只能是9，所以满足的三位数为：109、119、129、139、、969、979、989、999；因为这个数除以3余1，所以满足的数为：109、139、169、、979，所以这样的三位数最大是979，最小是109．答：这样的三位数最大是979，最小是109．故答案为：979、109．【点评】此题主要考查了中国剩余定理，考查了分析推理能力，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确是2、3、5的倍数的特征．7．【分析】一个自然数了除以7余5，那么符合这一条件的最小的自然数是，然后再验证是否符合后两个条件，据此解答即可．【解答】解：符合“除以7余5”的最小的自然数是，，符合要求，，符合要求，所以，这个数最小是12．故答案为：12．【点评】本题考查了简单的孙子定理问题，也可分别列举出符合每个条件的数，然后找到最小的共同的数即可．8．【分析】被5除余4，个位上的数是4或9，被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，符合条件的500以内的最大数百位一定是4，3的倍数中符合题意，所以这个数是494．【解答】解：被5除余4，个位上的数是4或9，被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，符合条件的500以内的最大数百位一定是4，被3除余2，个位减去2就是2，这个数就能被3整除，，十位上能填0、3、6、9，9最大，所以这个数是494．故答案为：494．【点评】解答此题的关键是根据题意确定个位数，也可以根据3和4的最小公倍数来求解．9．【分析】一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数就是比3、5、7的最小公倍数少1的数．据此解答．【解答】解：3、5和7的最小公倍数答：这个自然数最小是104．故答案为：104．【点评】本题的重点是观察余下的数再添上1都能被3、5、7整除，所以这个数是比3、5、7的最小公倍数少1．10．【分析】先找到除以7余2的数；再在这些数中得到除以3余2的数；再在这些数中得到除以5余3的最小正整数．【解答】解：除以7余2的数是：9，16，23，30，37，44，51，58，；其中除以3余2的数有：23，44，；其中除以5余3的数有：23．所以23是符合题意的最小正整数．答：这筐苹果至少有23个．故答案为：23．【点评】考查了求一个数的公倍数的方法，本题依次筛选即可得到所求的结果．11．【分析】可设是余数），，，，，能被这个自然数整除，两两相减之后，比如能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时能整除它们的差，然后求出公约数即可解答．【解答】解：21，56，35能同时被这个数整除，21，56，35大于1的公约数为7，答：2014被这个自然数除的余数是5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了公约数的概念，通过同余得出它们的差能够被这个自然数整除是解答本题的关键．二．解答题12．【答案】23。【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2，然后除以5，看看余数是否是3解答即可。【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：（个，符合题意。答：这些物品至少有23个。【点评】此题解答关键是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。13．【分析】根据题意，先求6、11的公倍数，求出其公倍数再减去1，再找到这些数中列成五队余一人，列成七队余四人即可．【解答】解：，65列成五队没有余数，不合题意；，131列成七队余五人，不合题意；，197列成五队余二人，不合题意；，263列成五队余三人，不合题意；，329列成五队余四人，不合题意；，395列成五队余三人，不合题意；，461列成七队余六人，不合题意；，527列成五队余二人，不合题意；，593列成五队余三人，不合题意；，659列成五队余四人，不合题意；，725列成五队没有余数，不合题意；，791列成七队没有余数，不合题意；，1121列成七队余一人，不合题意；，1451列成七队余二人，不合题意；，1781列成七队余三人，不合题意；，2111列成五队余一人，列成七队余四人，符合题意．答：韩信最少有2111卫兵．【点评】此题考查的是带余数的除法，根据题意得出“士兵人数”是6、11的公倍数是解答此题的关键．14．【分析】根据中国剩余定理的方法分别求出3和13，3和19，13和19的最小公倍数，然后再用两两的最小公倍数去除以另一个数，把余数调整为与原数同余，则再把得到的三个数相加，去掉3、13、19的公倍数即是这堆棋子的最少数，据此解答．【解答】解：3和13的最小公倍数是：，，余数扩大5倍，则3和13的最小公倍数也扩大5倍是；，符合要求；同理，3和19的最小公倍数是：，，余数扩大11倍，则3和19的最小公倍数也扩大11倍是；，符合要求；同理，13和19的最小公倍数是：，，余数扩大2倍，则13和19的最小公倍数也扩大2倍是；，符合要求；，3、13和19的最小公倍数是：，，，所以：被3除余2，被13除余3，被19除余5的数最小为575，所以，这堆棋子最少575个；答：这堆棋子最少575个．【点评】本题考查了剩余定理，关键先求两两的最小公倍数，难点是调整最小公倍数使之成为符合余数为2、3、5的数；中国剩余定理的方法是“死的”，关键是把“死的”方法灵活巧妙地运用．15．【分析】四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，编号是1233，就找出除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数即可．【解答】解：设这个数是，是除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数．如果减少3，则同时被2、5、7整除，并且被3除余2；；，余数是1，那么余数就是2；所以符合条件的最小的一个数是：；在范围内，只有143一个符合要求．答：这个钥匙是143号保险箱的钥匙．【点评】根据这个数除以2，3，5，7的余数是1233进行求解，先找出能同时被其中的2、5、7三个数整除的数，由此时余数是2进行推算．16．【分析】用逐步增加条件的方法，找到同时满足被3除余2，被5除余2的最小数，然后不断加上3、5的最小公倍数15，找到同时满足前三个条件的最小数；接下来不断加上3、5、7的最小公倍数105，找到同时满足前四个条件的最小数，恰好同时满足最后一个条件，即是所求的数．【解答】解：同时满足被3除余2，被5除余2的数，最小是；然后不断加上3、5的最小公倍数15，始终满足前两个条件，可以找到，同时满足前三个条件；接下来不断加上3、5、7的最小公倍数105，可始终满足前三个条件，从而找到，同时满足前四个条件，恰好同时满足最后一个条件；所以，满足条件的最小自然数是257．【点评】此题考查了带余除法，本题用逐步增加条件的方法依次找到满足条件的自然数，从而最后求解．17．【答案】23。