专题1数与代数-05比以及比的应用-六年级数学上册寒假专项提升（教师版）（人教版）

数与代数05比及比的应用知识导图知识导图【本讲概要】1.比的认识：定义、前后项、比值、与除法的关系2.比的计算：求比值、化简比3.按比例分配实际应用4.比与分数、百分数的综合拓展应用第一关第一关认识比【知识点】比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2．比的符号和读写法：

符号：比用符号“：”表示，“：”叫做比号。

写法：15：10，记做15：10。

读法：几比几。

3.比的各部分名称

4.求比值的计算方法

求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。

比只能写成a:b或的形式，比值可以是分数，也可以是整数或小数。

5.比和分数、除法的关系

6.求比中未知项的方法

已知比的前项、后项和比值中的任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第三项。

任何一个比的比值都不带单位名称。【例1】买6支同样的钢笔要花36元，买5支同样的圆珠笔要花25元，钢笔和圆珠笔的单价之比是()，比值是()。【答案】6∶5；1.2【点拨】根据“单价＝总价÷数量”求出钢笔和圆珠笔的单价，再根据比的意义求出钢笔和圆珠笔单价的最简整数比，最后比的前项除以比的后项所得的商就是比值。钢笔的单价∶圆珠笔的单价＝（36÷6）∶（25÷5）＝6∶5＝1.2【同步练习1】1千克盐溶解在100千克水中，盐与盐水的比是（），比值是（）。【答案】1：101；【例2】（a＞0、b＞0），则a与b的比是（

）。A．1∶3 B．7∶3 C．7∶9 D．9∶7【答案】D【点拨】假设结果为1，分别求出a与b的值再求它们的比。即假设＝1，则a＝，b＝，a∶b＝∶＝9∶7。【同步练习2】甲数的正好是乙数的，则甲、乙两数的比是（）【答案】8∶9【例3】8∶（）=32（）∶9=0.6【答案】；5.4【点拨】根据比与除法的关系，可以推导出：比的后项=比的前项÷比值，比的前项=后项×比值。则有8÷32=；9×0.6=5.4。【同步练习3】4∶（）=0.2（）∶【答案】20；【例4】求下面各比的比值1.5∶2.1∶24∶【答案】；；36【点拨】求比值即比的前项除以比的后项所得的商。【同步练习4】求下面各比的比值4∶2.80.45∶1.53∶【答案】；；12第二关第二关化简比1.比的基本性质

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

2.化简比的意义

比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。

把两个数化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。

3.整数比的化简方法

整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

（1）化简后的比必须为互质数的比，否则比的化简没有完成。

（2）在以后求两个数或几个数的比时，都要求出最简单的整数比。

4.分数比的化简方法

比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。

5.小数比的化简方法

把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。

带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。【例5】把4∶9的前项增加16，要使比值不变，后项应该（）。A．加上16 B．乘16 C．除以16 D．乘5【答案】D【点拨】先计算比的前项增加16后，比的前项扩大了多少倍，根据比的基本性质比的后项扩大相同的倍数，求出比的后项选出正确答案即可。（4＋16）÷4×9＝45则比的后项是45，45÷9＝5，45－9＝36，所以后项应该乘5或加36。【同步练习5】3∶8的前项增加6，要使比值不变，比的后项应增加（）。【答案】16【例6】化简比：∶=1.2千克∶750克=【答案】2∶1；8∶5【点拨】∶=。1.2千克∶750克=1200克∶750克=1200:750=(1200÷150)∶（750÷150）=8∶5【同步练习6】化简比：0.54∶2.70.625∶0.6米∶15厘米【答案】1∶53∶24∶1【例7】()()＝()（小数）＝()。【答案】8；15；0.8；80【点拨】根据分数与除法和比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空；分数化小数，直接用分子÷分母；小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可。10÷5×4＝8；12÷4×5＝15；4÷5＝0.8＝80%【同步练习7】()()＝()%＝()（填小数）。【答案】9；120；45；0.45【例8】大圆的半径与小圆半径的比是2∶1，则大圆的周长与小圆周长的比是（），大圆的面积与小圆面积的比是（）。A．2∶1；8∶1 B．2∶1；4∶1 C．8∶1；2∶1【答案】B【点拨】此题可采用设数法解决。根据大圆半径与小圆半径的比是2∶1，可设大圆半径为2，小圆半径为1。根据圆的周长公式C＝2πr，分别求出两圆的周长，再求两圆周长的比。根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出两圆的面积，再求两圆面积的比。设大圆半径为2，小圆半径为1。大圆周长为：2π×2＝4π；小圆周长为：2π×1＝2π；大圆周长∶小圆周长＝＝2∶1。大圆面积：π×＝4π；小圆面积：π×＝π；大圆面积∶小圆面积＝＝4∶1。【同步练习8】下图是一个轴对称图形，长方形的长和宽的比是7∶4，则小圆面积和大圆面积的比是（）。A．3∶4 B．3∶7 C．4∶7 D．9∶16【答案】D第三关：按比例分配第三关：按比例分配1.按比例分配问题的解题方法

（1）用整数乘、除法解决问题：把一个总数按一定的比来分配，把各部分的比看做份数关系，先求出每一份，再求各部分是多少。

（2）用分数乘法解决问题：把各部分的比转化为总数的几分之几，直接求出总数的几分之几是多少。

2.按比例分配问题常用解题方法的应用

（1）两个量的差÷两个量对应的份数差＝每份数，每份数×总份数＝总数量。

（2）两个量的差÷两个量占总量几分之几的差＝总数量。【例9】把一个直角按照1∶2分成两个角，这两个角的度数分别是（

）。A．40°和50° B．45°和45° C．30°和60°【答案】C【点拨】因为直角三角形两个锐角度数的和为90°，由“两个锐角度数的比是1∶2”按比例分配求出这两个锐角即可，90÷（1+2）=30°，20×2=60°这两个角的度数分别是30°和60°。【变式练习9】一块长方形草地的周长是180米，长和宽的比是5︰4，这块草地的面积是多少平方米？【答案】2000平方米【例10】植树节是同学们非常喜欢的节日，大家都会积极参加植树活动，今年学校把任务按2∶3∶4分配给四、五、六三个年级，已知六年级比四年级多植树96棵，四、五、六三个年级共植树多少棵？【答案】432棵【点拨】用六年级和四年级的数量差÷份数差，求出一份数，一份数乘四、五、六年级的总份数即可。96÷（4－2）＝48（棵），48×（2＋3＋4）＝432（棵）【同步练习10】甲、乙两地相距300千米，客车与货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。客车与货车的速度比是3∶2，客车与货车每小时各行多少千米？【答案】客车60千米；货车40千米。【例11】修一条长4000米的公路，已经修了全长的。剩下的计划按照2∶3分给甲、乙两个工程队，甲、乙工程队各要修多少米？【答案】甲1000米，乙1500米。【点拨】先利用乘法求出已经修了多少米，再利用减法求出剩下多少米没有修。根据甲、乙两个工程队修路的长度比可知，甲需要修剩下的，乙需要修剩下的，据此再利用乘法分别求出甲、乙工程队要修多少米。4000－4000×＝2500（米），甲队2500×＝＝1000（米），乙队25001000＝1500（米）。【同步练习11】有一批货物，第一天运走总数的25%，第二天运走的与第一天运走的比是6∶5，还剩下450吨没运走，这批货物有多少吨？【答案】1000吨【点拨】此题可将比转化为分数，利用分数乘除法应用来解决。题中将总数看成单位“1”第一天运走的分率为25%，第二天与第一天的比是6∶5，则第二天运走的分率为25%×，则剩下的450吨，所对应的分率为（125%25%×），量率对用求单位“1”，450÷（125%25%×）即可求。第四关第四关比的拓展应用【知识点】运用倒数或比的基本性质可以求几个数的比。按比例分配关键是弄清：分什么（要分的物体）；分多少（要分的数量）怎样分（要分的几部分的比）比与分数有着密切的练习，利用比与分数之间的相互转化，能使一些问题化难为易。有些稍复杂的工程问题，我们可以运用一些特殊的思路，如比、综合转化、整体思考等方法来解题。对于一些稍复杂的与比有关的应用题，可将比理解为分数，间接设未知数，再根据题意寻找等量关系列方乘解答。【例12】长方形和三角形的重叠部分的面积相当于长方形的，相当于三角形的，长方形和三角形的面积比是（）。【答案】2∶3【点拨】重叠部分面积占长方形面积的，说明长方形含有4个重叠部分；同理，三角形含有6个重叠部分，这样就可以利用它们各自含有重叠部分的个数求出长方形和三角形的面积比。或根据题意，假设长方形的面积×=三角形的面积×=1，利用倒数来思考：长方形的面积等于4，三角形的面积等于6。那么长方形和三角形的面积比是4∶6=2∶3。【同步练习12】小华和小明都买了一个同样价格的足球，小华用去所带钱数的，小明用去所带钱数的，小华和小明原来所带钱数的比是（）。【答案】3∶5【例13】一个长方体棱长总和是360厘米，长：宽：高=3:2:1，求长方体的体积是多少立方厘米？【答案】20250立方厘米【点拨】把各部分的比看作份数，先求出每份是多少，再分别求出几份是多少。360÷4=90（厘米）90÷（1+2+3）=15（厘米）长：15×3=45厘米宽：15×2=30（厘米）高：15×1=15（厘米）则体积：45×30×15=20250立方厘米。【同步练习13】被减数、减数、差的和是64，减数与差的比是5:3，差是多少？【答案】64÷2÷（5+3）×3=12【例14】贝贝和龙龙共收集邮票171张，贝贝收集的邮票张数的与龙龙收集邮票张数的相等，贝贝和龙龙各收集了多少张邮票？【答案】贝贝76张，龙龙95张。【点拨】根据题意，贝贝邮票张数的=龙龙邮票张数的，求出贝贝和龙龙邮票张数的比是4:5，再按比例分配。171÷（4+5）=19张，则贝贝为：19×4=76张，龙龙为：19×5=95张。【同步练习14】实验小学六年级参加数学竞赛的同学共有110人，其中参赛男生人数的等于参赛女生人数的，参赛的男生多少人，女生多少人？【答案】男生50人，女生60人。【例15】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个，要求在相同时间内完成，每人应该分配多少个零件？【答案】甲：450个，乙540个，丙600个。【点拨】先求出甲、乙、丙三人的工作效率之比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比进行解答。甲、乙、丙工作效率的比：，总份数为（15+18+20）=53，则一份为1590÷53=30个，甲：450个，乙540个，丙600个。【同步练习15】加工一个零件，甲需要3分钟，乙需要3.5分钟，丙需要4分钟，现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？【答案】甲700个，乙600个，525个。【例16】小丽和小芳拥有的图书本数之比是9:5，小丽给小芳18本后，两人的图书本数一样多，原来两人共有图书多少本？【答案】126【点拨】小丽和小芳拥有的图书本数之比是9:5，可知，小丽的图书本数为9份，小芳的图书本数为5份，结合题中等量关系列方程。设小丽有9x本，小芳有5x本：9x18=5x+18，解得x=9，则9×（9+5）=126本。【同步练习16】甲、乙两人的钱数之比是3:1，如果甲给乙0.6元，则两人的钱数之比变为2:1，两人共有多少元钱？【答案】甲5.4元，乙1.8元，共7.2元自我检测自我检测1.判断：

（1）把4∶3的前项和后项同时扩大到原来的2倍，比值不变。()

（2）甲数和乙数的比是2:5，乙数比甲数多60%。（）【答案】√×甲数的和乙数的正好相等（甲乙均大于0），则甲乙两数的比是（）。【答案】10:9把吨：125千克化成最简单的整数比是（），比值是（）。【答案】7:1；74．把下而各比化简成最简单的整数比。 0.45∶0.9【答案】14:9；8:5；1:25.一个三角形三个内角的比是1:1:2，这个三角