2025年上海七宝中学高三三模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024学年第二学期高三数学练习2025.5.28一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．设集合，则.2．已知为虚数单位，则.3．在的二项展开式中，项的系数是（结果用数值表示）．4．已知两个单位向量满足则的夹角为5．若正数，满足，则的最大值为.6．若双曲线的渐近线为.7．对于实数，若，则的最大值为.8．如图是函数的图象，则的值为.9．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是.10．互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有组（结果用数值表示）.11．甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时12．已知长方体中，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是.二､选择题（满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要14．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化15．已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（

）A． B．C． D．16．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①､②都正确 D．①､②都错误三､解答题（本大题共有5题，满分78分）17．如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.（1）求该圆锥的体积：（2）求异面直线与所成角的大小.18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，边上的高为，求边．19．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表：喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生10男生5总计50已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6.(1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；(2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值.附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为.(1)求椭圆的离心率；(2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由.(3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值.21．若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”．(1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；(2)求曲线所有切线的方程；(3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线?若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义可求.【详解】由，可得，所以，所以.故答案为：.2．##【分析】利用复数的除法运算法则求得，可求.【详解】，故.故答案为：.3．80【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为：，，当时，展开式中含有，故的系数为，故答案为：80.4．【分析】两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角.【详解】两边平方得，设的夹角为，即，因为为单位向量，所以，解得，因为，所以.故答案为：5．2【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可.【详解】，，，所以，即，，根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2.故答案为：2.6．【分析】化方程为双曲线的标准方程，即可得出渐近线方程.【详解】由可得，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：7．3【分析】解绝对值不等式得出，，再利用不等式的性质求出即可求出最值.【详解】由题意可得，，，则，，则，得，故，则的最大值为.故答案为：.8．2【分析】由函数的图象可求得最小正周期为，进而可求得.【详解】因为的图象过点，所以，所以，所以，解得.故答案为：.9．【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．【详解】因为点在直线上，所以，所以，所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以，当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足，所以满足条件的和，因为，所以实数的取值范围是．故答案为：．10．48【分析】设，由已知得，可得或，从而可求解.【详解】设，由，可得，因为是互不相同的正整数，故是互不相同的整数，因为乘积为6，可得负因数的个数为偶数个，可得或，则对应的也有两组，故符合条件数有2组，故符合条件的的所有有序实数对是这两个组的数的全排列，即.故答案为：.11．【分析】利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点.【详解】甲赢得比赛的概率：，令，则，令，解得：，因为，当和时，；当时，即在和上单调递减；在上单调递增当时，取最大值，即取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域.12．##【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积.【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，连接因为平面，故，而平面，故平面，而平面，故，故为的平面角，则，，由，则，又、平面，故，，则，由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小，取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，，则直线的方程为：，即，抛物线的方程为，则，由题意，令，得，代入，得，所以点的坐标为，所以动点到直线的最短距离为，因为，所以，所以三棱锥体积的最小值为.故答案为：.13．A【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系.【详解】若，则直线，直线，此时平行，若平行，则即，当时，平行，当时，直线，直线，此时也平行，故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，故选：A.14．BC【分析】根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可【详解】对于A，从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A错误；对于B，从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为万元，其次是万元及万元，减免后占比最多的为万元，其次是万元及万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，所以B正确.对C，从图中看出，推行减免政策后，年收入更加集中，所以减免后年收入更加均衡，所以C正确；对于D，从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误.故选:BC15．B【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.【详解】设，，，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：

A

B

C

D观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的.故选：B16．B【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解；【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；故选：B17．（1）（2）【分析】(1)运用圆锥的体积公式求解；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，由题意，∴，底面圆周长，∴，∴，因此，该圆锥的体积；（2）如图所示，取弧的中点，则，因为垂直于底面，所以、、两两垂直以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，计算得，，，，所以，，设与所成角的大小为，则，所以，即异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.18．(1)(2)【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理求得，由此求得.（2）结合三角形的面积公式、余弦定理求得.【详解】（1）因为，所以，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因为，所以.（2）由三角形面积公式得，，所以，即，由余弦定理得，将代入上式得，解得或（舍），所以边.19．(1)列联表见解析，有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关，理由见解析(2)分布列见解析，期望值为2.【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解；（2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望.【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6，所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人.不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人.列联表补充如下，喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生101525男生20525总计302050根据列联表中的数据，计算可得，故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关.（2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为.则，，.所以的分布列为123数学期望.20．(1)；(2)3个，理由见解析；(3).【分析】（1）由已知可得，可求离心率；（2）不妨设直线方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，求得，从而有，求解可得结论.（3）设直线与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值.【详解】（1）依题意有，解得.所以离心率.（2）不妨设直线方程为，代入，整理得，可得，所以，将带入得，由得，所以，解得所以满足条件的的个数是3个.（3）设直线，设，联立，得，所以，所以.所以，所以的中点为，所以又的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以.令，记，又，所以时，.21．(1)3(2)答案详见解析(3)答案详见解析【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可；（2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可；（3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可.【详解】（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，所以切线斜率为，所以.（2），所以.设切点为，则切线