应用微积分 课件8.7 二重积分的计算方法

第8.7节、二重积分的计算方法二、极坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算三、二元函数的反常积分如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.－型区域出口曲线入口曲线一、直角坐标系下二重积分的计算1.先对y积分再对x积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.得等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。的值于是上式右端的积分称为先对后对的二次积分。先把看作常数，对计算从到的定积分；的结果再对计算在区间上的定积分。记为即然后把计算只看作的函数，把并“从右往左”理解－型区域的特点：穿过区域内部且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.于是得若则“先积一条线,后扫积分域”如果积分区域为：－型区域2.先对x积分再对y积分－型区域的特点：穿过区域内部且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3.交换二次积分次序•

画出积分域•利用图示法“确定积分限”步骤：我非常重要！关键：例1计算二重积分，其中D是直线y＝0,x＝2,及y＝2x所围成的闭区域.解:积分区域

D如图所示，综合考虑选择先对

y

积分，在任意一点x处，用平行于

y轴的直线穿过区域的内部，穿入交点所在的函数，穿出交点所在的函数，故例2计算二重积分其中D是由x轴及围成的闭区域.解:积分区域

D如图所示，综合考虑选择先对

x

积分，在任意一点y处，用平行于x轴的直线穿过区域

D的内部，穿入交点所在的函数穿出交点所在的函数故例3交换二重积分的次序.解:先找出积分区域:所围成的图形，如图所示：当时，在任意一点x处用平行于y轴的直线穿过区域D的内部，穿入交点所在的函数，穿出交点所在的函数；当时，在任意一点x处用平行于y轴的直线穿过区域D的内部，穿入交点所在的函数穿出交点所在的函数，故由积分区域的可加性知：二、极坐标系下二重积分的计算二重积分也有相应的换元法，下面介绍一种常见的换元——极坐标变换.极坐标系中的点直角坐标系中的点和对应之间的变换为在极坐标系下，有些区域边界的表达式会非常简单，当积分区域是圆域、圆环域或部分圆域，且被积函数形如或形式时，采用极坐标变换计算二重积分比较简单.其中就是极坐标系中的面积元素。极坐标系下的二重积分化为二次积分，一般先对积分再对积分.步骤如下：（1）从极点出发的一组射线穿过区域

D，先确定区域对应的范围；（2）然后任找一条从极点出发的射线穿过区域

D内部，确定穿入交点所在的函数以及穿出交点所在的函数，将二重积分改写成相应的二次积分计算.一般情况，根据极点O与区域

D的位置关系不同，有下列三种情况：1.极点O在区域

D外2.极点O在区域

D边界上3.极点O在区域

D内例4计算二重积分，其中D为抛物线及直线所围成的区域.解：在直角坐标系下，积分区域D如

图所示.在极坐标系下，可化为可化为，极点O在区域

D边界上从极点出发的射线穿过区域，穿入交点，穿出交点所在的函数故例5计算二重积分，其中D是由所确定的圆域.解：如图所示，可化为，极点O在区域

D内部故三、二元函数的反常积分类似一元函数的反常积分，二元函数的反常积分也有类似的方法，在此不过多赘述.下面列举一个在工程中、概率统计中一个常用的反常积分：例6证明：反常积分证：记显然，利用反常积分的牛顿——莱布尼茨公式无法计算此反常积分的值注意到因此，利用极坐标变换化为二次积分，可得又因为故即2.二重积分在极坐标下的计算公式内容小结1.二重积分在直角坐标下的计算公式（正确选择积分次序）基本要求:变换后定限简便，求积容易．3.作什