北师大版（2019）数学必修第二册：5.2.3《复数乘法几何意义初探》听评课记录x

北师大版（2019）数学必修第二册：5.2.3《复数乘法几何意义初探》听评课记录x一.基本信息

听课日期：2023年10月26日

听课时间：上午第二节课（45分钟）

授课教师姓名：李明

学科/课程名称：数学

班级/年级：高一年级

教学主题或章节：北师大版（2019）数学必修第二册：5.2.3《复数乘法几何意义初探》

听课人姓名：王华

听课人职务：高中数学教研组长

听课目的：教学研究

二.课堂观察记录

1.教学准备：

教师的教学计划清晰，目标明确，围绕复数乘法的几何意义展开，符合课程标准要求。教学资源准备充分，教材为北师大版（2019）数学必修第二册，配套课件包含复数乘法的代数运算和几何图形展示。教具方面准备了复平面坐标系图示，多媒体设备运行正常，演示了复数乘法旋转和伸缩的动态效果。

2.教学过程：

开始阶段：教师通过复习复数代数形式的乘法运算引入新课。以问题“复数乘法是否具有几何意义”激发学生思考，通过计算1+√3i乘以自身得到的结果，引导学生观察模和辐角的变化，初步感知乘法的几何效果。导入方式自然，效果良好，约5分钟进入主题。

展开阶段：教师采用讲授与实验结合的方法展开教学。首先讲解模的乘积对应复数乘法后的模，通过多媒体动态演示向量长度变化。随后组织学生分组讨论“辐角如何变化”，部分小组利用几何画板软件操作，验证乘法对应辐角相加的猜想。教师适时介入，纠正错误理解，强调辐角加法在多值情况下的取值规则。课堂中穿插了3次快速提问（如“模的乘积如何计算”），确保学生跟上进度。该阶段耗时32分钟，包含4次学生小组讨论和2次技术演示。

结束阶段：教师用类比实数乘法类比的方式总结复数乘法的几何意义，强调模对应乘积的模，辐角对应乘积的辐角。布置作业包括代数计算题和几何画板探究题，要求学生绘制3个复数乘法的几何图形并标注模和辐角变化。总结时留出3分钟答疑，处理了关于辐角周期性的疑问。

3.师生互动：

师生交流频率较高，教师平均每8分钟引发一次学生思考或讨论。学生参与度整体良好，实验环节中90%的学生能主动操作软件并记录数据。质量方面，教师提问多采用启发性语言（如“为什么辐角会相加”），学生回答能结合具体计算和图形理解。有3名学生提出反例（如0乘任何数的辐角不确定），教师及时调整讲解，给予“特殊情形需单独讨论”的结论。

4.学生学习状态：

课堂前30分钟专注度较高，因涉及新概念学生注意力集中；后15分钟出现小范围分心，可能因辐角周期性抽象导致。合作学习表现良好，4人小组能分工完成画板操作和记录，有小组通过讨论纠正了辐角正负的判断错误。个别学习能力较弱的学生通过举手示意获得教师指导，教师采用“你计算模，他画旋转”的协作方式帮助其参与。

5.课堂管理：

课堂纪律良好，学生能遵守操作几何画板的规则，不随意更改参数。时间分配合理，导入5分钟、展开32分钟、总结3分钟、答疑3分钟，符合教材建议的分配比例。课堂节奏控制得当，在几何画板演示后留出2分钟学生自主探索时间，避免演示过快导致理解不足。

6.教学技术使用：

现代教育技术使用有效，多媒体课件动态展示了复数乘法中的模伸缩和辐角旋转，帮助学生直观理解抽象概念。几何画板软件的应用使实验环节效率提升，学生能即时调整参数观察效果。技术对教学的支持体现在：①动态演示强化几何直观；②软件操作减轻计算负担；③参数调整支持个性化探究。有2名学生因提前预习已掌握软件操作，教师允许其尝试编写简单程序，体现分层教学。

三.教学效果评价

1.目标达成：

教学目标明确且适切，符合高一年级学生的认知水平。目标包含三个层次：知识目标（理解复数乘法的几何意义，掌握模乘模、辐角加辐角的法则）、能力目标（能运用几何意义判断复数乘法结果的变化，借助技术工具进行探究）、情感目标（体会数学的几何美，培养数形结合的思维习惯）。从课堂表现看，目标达成度较高。知识目标方面，通过教师引导和学生实验，85%的学生能正确表述模和辐角的变化规律，课堂提问中约80%的应答与目标内容直接相关。能力目标达成体现在，实验环节中60%的小组能完整呈现模变化和辐角旋转的动态过程，并记录关键数据。情感目标方面，学生对复数乘法几何意义的惊讶表情和实验后的讨论表明，数形结合的思想得到初步渗透。不足之处在于，对辐角周期性的理解仅停留在表面，未能深入到多值解析的讨论，这与课时有限性有关。

2.知识掌握：

知识点理解方面，学生普遍掌握了模的乘积法则，但对辐角加法的正负判断存在混淆。课堂实验中，有12名学生错误地将-1乘任何数的辐角视为0，教师通过“负数乘法对应逆时针旋转180°”的类比进行纠正，效果显著。记忆情况方面，通过随堂测验（含5道填空题和2道简答题），学生模法则的正确率为92%，辐角法则为78%，显示记忆效果良好。技能掌握方面，代数运算与几何意义的结合能力有待提升。当教师提问“计算√3+i乘以i的几何效果”时，部分学生仅能计算结果而不关注几何意义，反映出技能迁移不足。实验操作技能掌握较好，90%的学生能独立完成画板参数设置和图形绘制，但参数调整的优化意识较弱。教师通过展示不同旋转角度下的图形对比，引导学生思考“如何使图形变化更明显”，培养了技能的灵活性。

3.情感态度价值观：

学生在课堂中的情感体验丰富，对复数乘法的几何意义表现出浓厚兴趣，有5名学生主动展示个人探索的额外案例（如纯虚数乘法）。这种兴趣源于教师将抽象概念转化为动态图形，以及实验环节的自主探究空间。态度方面，小组合作中形成了积极的互助氛围，能力较弱的学生通过同伴讲解理解了辐角周期性，教师对小组贡献的即时表扬强化了合作意识。价值观培养体现在，教师通过类比实数乘法类比的方式引入，强调数学知识的连贯性，有学生课后笔记中写道“原来复数和实数这么像”，体现了知识建构的愉悦感。课堂中渗透的数形结合思想，有学生表示“以后解题会尝试画图找规律”，暗示了思维方式的转变。不足之处在于，技术工具的批判性使用未得到体现，学生多被动接受教师预设的参数变化，未能主动质疑软件演示的局限性，这与课时深度有关。

综合评价，本课时教学效果良好，主要优势在于：①动态演示直观化抽象概念；②实验探究促进深度理解；③合作学习提升参与度。需改进方向包括：①加强辐角多值性的讨论；②强化技能与知识的结合训练；③培养技术使用的批判性思维。建议后续课时增加“复数乘法几何意义在轨迹问题中的应用”案例，以巩固知识并拓展应用意识。

四、总结与建议

1.总体评价：

本节课整体印象优秀，是一节体现新课标理念、聚焦核心素养的数学课。教学设计逻辑清晰，从代数运算到几何猜想，再到实验验证，符合学生的认知规律。最突出的优点在于教师成功地将抽象的复数乘法几何意义转化为直观的视觉体验，特别是利用几何画板动态展示模的伸缩和辐角的旋转，极大地激发了学生的学习兴趣和探究欲望。这种数形结合的教学方式不仅帮助学生在几何直观上理解了复数乘法，也为后续学习复平面、极坐标等知识奠定了感性基础。课堂互动充分，教师通过精心设计的问题链引导学生思考，学生小组合作探究的氛围浓厚，实验环节中多数学生能主动参与、积极表达，体现了以学生为主体的教学思想。此外，教师对课堂时间的把控精准，各环节过渡自然，教学节奏张弛有度，确保了教学目标的达成。不足之处在于对辐角周期性的数学本质挖掘稍显不足，更多停留在几何旋转的层面，未能深入到多值解析的讨论，这与课时的定位和深度有关，但已体现了教师对教学内容的把握和取舍。

2.改进建议：

针对存在的问题，提出以下具体改进措施：

（1）深化辐角周期性内涵的挖掘。建议在实验后增加“为什么辐角会重复出现”的数学追问，引导学生从三角函数周期性角度解释，例如通过计算√3+i乘以2πi的结果，使学生直观感受辐角加整数倍的π对应相同向量，从而引入辐角主值的概念，为后续学习复数指数形式做铺垫。可以设计“寻找模不变辐角变化规律”的探究任务，让学生发现辐角加法中“模的平方与辐角平方和”的恒等关系，从代数角度验证几何意义。

（2）强化技能与知识的结合训练。建议增加“几何意义辅助计算”的练习，例如设计“已知复数z1、z2的模和辐角，不直接计算z1z2，如何通过几何旋转得到结果”的题目，培养学生用数形结合思想简化计算的能力。可以引入“复数乘法在几何变换中的应用”案例，如平移、伸缩变换的复数表示，使学生在实际应用中巩固几何意义，提升数学建模意识。

（3）培养技术使用的批判性思维。建议在实验前明确“几何画板模拟的局限性”，例如询问学生“为什么软件不能直接显示辐角重复的现象”，引导学生思考参数范围和动态演示的静态本质。可以设计“对比不同技术工具的优劣”任务，如用Geogebra与Excel绘制复数乘法动画，让学生评价不同软件在表现多值性上的差异，培养技术工具的审辩式使用能力。

如何进一步提升教学质量？建议教师：①加强教材拓展阅读，引入《复变函数论》中“辐角分支割线”的初步概念，为学有余力的学生提供思维拓展空间；②开发分层作业，基础题要求掌握模辐角法则，拓展题要求设计复数乘法动态演示程序，满足个性化发展需求；③建立“复数几何意义”专题资源库，收集数学史中欧拉公式、四元数等概念的几何诠释，构建知识网络，提升学科素养。

3.后续跟踪：

鉴于本节课在辐角周期性内涵挖掘和技能应用方面有提升空间，建议安排一次后续听课跟进改进情况。计划采取以下支持措施帮助教师成长：

（1）提供专业发展资源。推荐《美国数学教学杂志》中关于复数几何教学的研究论文，特别是关于“多值性直观化”的教学设计案例；提供MITOpenCourseWare中复变函数的公开课视频，供教师参考数形结合的深度实现方式。

（2）组织专题教研活动。以“复数乘法几何意义的拓展教学”为主题，开展同课异构研讨，邀请市教研员进行点评，重点分析如何将几何意义延伸至极坐标变换、分式