北师大版（2019）数学必修第二册：1.4.1《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》听评课记录x

北师大版（2019）数学必修第二册：1.4.1《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》听评课记录x一.基本信息

听课日期为2023年10月26日，听课时间为上午第二节课，授课教师为李明，学科/课程名称为数学，班级/年级为高一（3）班，教学主题或章节为北师大版（2019）数学必修第二册：1.4.1《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》。

听课人姓名为张华，听课人职务为高中数学教研员，听课目的为教学研究。

二.课堂观察记录

1.教学准备：教师的教学计划清晰，围绕单位圆和任意角正弦余弦函数定义展开，包含理论讲解、实例分析和学生活动环节。教学资源准备充分，教材使用为北师大版（2019）数学必修第二册，教具包括单位圆模型和三角函数线图示，多媒体PPT展示动画演示任意角生成过程，辅助理解。

2.教学过程：

-开始阶段：教师通过复习锐角三角函数引入任意角概念，利用钟表指针旋转的实例引发学生思考，导入自然，效果良好。

-展开阶段：采用讲授与讨论结合的方法，首先讲解单位圆定义及坐标表示，随后通过分组讨论“如何用单位圆定义正弦余弦”展开探究，教师逐步引导，结合多媒体动态演示三角函数线与坐标关系，突破难点。部分学生提出“α=0时sin和cos值”的疑问，教师通过正方形边长计算给予解答，注重知识生成过程。

-结束阶段：教师引导学生归纳“任意角正弦余弦统一定义”的公式，并布置练习题巩固，强调与锐角三角函数的区别。

3.师生互动：师生交流频率较高，教师通过提问“单位圆上点的坐标与三角函数值的关系”激发学生思考，约60%学生参与回答。课堂中有3次小组讨论，教师巡视时参与其中，纠正错误理解，如纠正学生将“三角函数线”误认为“半径”的混淆。学生反应积极，对动态演示效果表示兴趣。

4.学生学习状态：课堂整体专注度较高，约85%学生跟随教师讲解，少数学生因之前三角函数基础薄弱出现走神。合作学习环节中，小组能通过单位圆模型拼贴验证正弦定义，但存在分工不均现象，教师及时调整指导。

5.课堂管理：课堂纪律良好，学生举手发言有序，时间分配合理，理论讲解占35分钟，互动讨论占25分钟，练习巩固占20分钟。课堂节奏控制得当，从基础概念到难点突破逐步推进，未出现拖沓或跳跃。

6.教学技术使用：PPT动态演示三角函数线旋转生成过程，技术支持效果显著，学生能直观理解α∈[0,2π]的函数变化。但个别学生因视角问题未能看清投影，教师及时调整投影角度，后期可考虑增加平板互动功能提升参与度。

三.教学效果评价

1.目标达成：本节课的教学目标明确且适切，围绕“理解单位圆与任意角正弦余弦函数定义”和“掌握任意角三角函数坐标表示”展开。目标设定符合高一学生认知水平，既有对基础概念的要求，也包含对任意角推广的理解。从课堂表现看，学生基本达成预期目标：85%以上的学生能准确复述“终边与单位圆交点P(x,y)的纵坐标y即为角α的正弦值，横坐标x即为余弦值”的定义；约70%的学生能独立完成α=π/3和α=2π/3的正弦余弦值计算，表明目标达成度较高。不足之处在于部分学生对于α为负角时函数值的理解仍需巩固，后续练习需加强。

2.知识掌握：

-理解层面：学生对单位圆作为三角函数统一定义载体的认知较为清晰，能通过动态演示解释三角函数线的形成，但约15%的学生混淆了“三角函数线”与“坐标轴”的对应关系，如将sinα的长度误认为纵坐标本身。教师通过“正弦值是长度比而非长度”的类比进行纠正，效果较好。

-记忆层面：核心公式“sin²α+cos²α=1”的掌握较好，课堂练习中95%学生能正确应用，但符号法则（α+π/2时sinα=cosα）记忆不牢固，错误率达20%，需在下次课结合诱导公式强化。

-技能层面：坐标计算能力普遍较强，但涉及坐标轴翻转时（如α=-π/4）的符号判断存在困难，部分学生仍依赖锐角计算进行估算，说明技能应用深度不足。教师通过“象限符号法”的口诀（“一全正，二正弦，三正余，四余弦”）进行指导，学生反馈效果较好。

3.情感态度价值观：

-学习兴趣：动态演示和模型拼贴活动提升了课堂趣味性，约80%学生表示对“单位圆定义”的几何直观更易理解，部分学生提出“能否用向量解释三角函数”的延伸问题，体现探究意识。但静默练习环节出现10%学生烦躁现象，反映出不同学习节奏需求。

-科学态度：教师强调“任意角推广”的必要性（如π/2的正弦值为1而非0），培养了学生严谨性，部分学生主动对比了“直角三角形定义”与“单位圆定义”的局限性，形成辩证思维。

-合作精神：小组讨论中，优等生能主动讲解拼贴方法，但存在“一人包揽”现象，教师通过“轮流发言”规则引导平衡，但合作深度仍需提升，如对“为什么横纵坐标能代表函数值”的讨论不够深入。

-应用意识：教师举例“心电图波形与sin函数关系”引发学生联想，部分学生课后查阅了正弦波在物理中的应用，体现知识迁移的初步成效。但课堂未能展示具体应用案例，可增加生活情境（如雷达扫描角度计算）增强价值感知。

综上，本节课在知识传授和技能训练上达成良好效果，但对负角和符号法则的处理需后续跟进，且需通过分层任务满足不同学习需求，强化知识应用与科学态度的培养。

四、总结与建议

1.总体评价：本节课整体教学设计思路清晰，符合高一学生的认知规律，成功将抽象的任意角三角函数定义建立在直观的单位圆模型之上，体现了数学概念的几何化引入策略。最突出的优点在于教师对动态演示技术的有效运用，通过单位圆上三角函数线的动态生成过程，直观揭示了正弦、余弦值的几何意义和变化规律，有效突破了传统教学中的难点。此外，教师注重知识生成的探究过程，通过提问引导和小组讨论，促进了学生对定义来源的理解，而非简单的记忆。课堂节奏把握合理，从概念引入到技能初步训练过渡自然，学生参与度较高，体现了较好的教学掌控能力。

2.改进建议：

（1）深化负角与符号法则的理解：当前教学中，学生对α为负角或终边在坐标轴上时正弦、余弦值的理解仍显薄弱，主要表现为计算时依赖锐角公式进行符号判断。建议后续教学增加“符号法则的几何推导”环节，例如，利用单位圆的对称性（对称点坐标关系）推导α=-θ时sin(-θ)=-sinθ,cos(-θ)=cosθ，并设计“象限穿梭”的动态演示强化记忆。同时，在练习设计上，增加“特殊角（如π/2,3π/2）与负角互化”的对比题组，强化符号判断的敏感性。

（2）平衡合作学习的深度与广度：当前小组讨论存在“优生主导，部分学生参与不足”的现象，合作学习尚未达到思维碰撞的效果。建议采用“异质分组+任务驱动”模式，将讨论任务细化为“几何解释”“符号推导”“生活联系”等子任务，明确分工要求（如记录员、汇报员），并通过“学习伙伴”制度确保每个成员发言机会。教师巡视时需重点关注弱势学生的理解状态，提供个性化支架，如对基础薄弱学生提供“单位圆定义思维导图”辅助。

（3）强化知识应用的情境连接：本节课对三角函数的应用价值体现不足，学生虽理解定义，但难以将其与后续学习（如周期函数、解三角形）建立联系。建议在导入环节增加“工程测量角度误差计算”的简短案例，在练习中设计“根据雷达扫描角度求反射信号强度”的实际问题，引导学生思考“任意角正弦余弦如何描述旋转运动”。可考虑引入GeoGebra软件，让学生动态调整角度观察函数值变化，建立“运动-函数”的直观联系。

（4）提升技术使用的交互性：虽然PPT动画有效，但属于单向输出，可探索更具交互性的技术手段。例如，在定义推导环节，使用“几何画板”或GeoGebra让部分学生上台操作，实时调整角α的旋转，观察三角函数线与坐标的变化，增强参与感。针对投影视角问题，可考虑使用平板电脑配合班级互动系统，实现多角度展示学生板演过程，并即时收集学生疑问进行投票统计。

3.后续跟踪：建议安排一次后续听课，重点观察改进建议中“符号法则的几何推导”环节的实施效果，以及合作学习任务的优化实施情况。计划采取以下支持措施帮助教师成长：

（1）提供教学资源包：整理“单位圆定义”的多种教学版本（含传统板书、动态演示、GeoGebra交互课件），供教师参考选用。

（2）组织专题研讨：邀请擅长技术应用的优秀教师分享“动态几何软件在三角函数教学