【初高中数学衔接】第十一讲 函数的概念及表示

第十一讲函数的概念及表示1.初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)， (k≠0)分别叫

，

，

.2.函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过第象限.3.函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为

问题导入第一部分函数的概念1.函数的定义(1)给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作

f：A→B或

y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域对于函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量集合A，

叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.概念形成定义名称符号几何表示{x|a≤x≤b}闭区间

{x|a＜x＜b}开区间

{x|a≤x＜b}左闭右开区间

{x|a＜x≤b}左开右闭区间

2.区间的概念设a，b是两个实数，且a＜b，［a，b］(a，b)［a，b)(a，b］定义{x|x∈R}{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号

3.无穷大概念(1)实数集R用区间表示为

，“∞”读作

，“－∞”读作负无穷大，“＋∞”读作正无穷大.(2)无穷区间的表示(－∞，＋∞)无穷大(－∞，＋∞)［a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a］(－∞，a)1.什么样的对应可以构成函数？【提示】

函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x、y是“一对一”或“多对一”时可以构成函数.2.f(x)与f(a)的含义有何不同？【提示】

f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量.思考

如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格.下面给出四个图象：例题分析在这些图象中(

)A.①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)B.①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)C.②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)D.④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)【思路点拨】解答本题应从y与x的关系出发，分析出票价与斜率的关系，然后就(Ⅰ)，(Ⅱ)两种建议分别描出图象，与题中①、②、③、④对应便可求解.【解析】

由题可知直线与y轴交点的纵坐标的相反数表示支出，斜率表示票价，建议(Ⅰ)中票价不变，即直线的斜率不变；减少支出即直线与y轴交点纵坐标变大，对应①.建议(Ⅱ)中，直线与y轴交点的纵坐标不变，斜率变大，对应③.【答案】B(1)解答此类题目的关键在于借助变量间的图象分析实际问题中所隐含的东西，然后结合已学知识加以综合分析，从而把问题解决.(2)判断两变量之间是否为函数关系，关键是看变量之间的关系是否为确定的关系，如③中收入与消费支出的关系是一种趋势而非确定关系，而其余均为确定关系.

下列各组中的两个函数是否表示同一函数.【思路点拨】逐一考查两个函数的定义域，对应关系和值域.【解析】

(1)两个函数定义域显然不同，故两个函数不表示同一函数.(2)两个函数的对应关系显然不同，故两个函数不表示同一函数.(3)两个函数的定义域显然不同，故两个函数不表示同一函数.(4)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数.(5)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数.(6)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数.

只有定义域、值域和对应关系都相同的两个函数才是同一函数，三者中只要有一个不同就不是同一函数.容易知道，定义域和对应关系相同的两个函数的值域也一定相同.

求下列函数的定义域【思路点拨】定义域的求法：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合.(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视.【思路点拨】

直接将自变量x的取值代入函数解析式进行计算.

(1)当x的取值用字母表示时，对应的函数值也用字母表示，但要注意化简.(2)当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算.1.下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？①球的体积和它的半径；②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；④正三角形的面积和它的边长.【解析】

①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系.随堂练习2.试判断以下各组函数是否是相等函数：【解析】

(1)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等.(2)f(x)＝＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数.(3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等.(4)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不相等.3.求下列函数的定义域：【解析】

(1)由题意知4＋x≥0，∴x≥－4，故f(x)的定义域是{x|x≥－4}.(2)由1－x≥0且1＋x≠0，得x≤1且x≠－1，故f(x)的定义域是{x|x≤1且x≠－1}.1.两个函数相同是指它们的

相同，且

完全一致.2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的f(x)与之对应.这可概述为：

和

.3.的定义域为定义域对应关系存在性唯一性问题导入必修一第二章第二节列表法

用

的形式表示两个变量之间

关系的方法图象法

用

把两个变量间的

关系表示出来的方法解析法一个函数的

可以用自变量的

(简称

)表示出来的方法1.函数的表示法2.分段函数在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.图象函数对应关系解析表达式解析式表格概念形成必修一第二章第二节每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？【提示】

不一定，如函数y＝x，x∈R，就无法用列表法表示.问题思考必修一第二章第二节求函数解析式求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).【思路点拨】

(1)(2)小题可以用换元法或配凑法，求a，b，c，利用条件例题分析必修一第二章第二节必修一第二章第二节

(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，将右端“x2－3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.(2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“＋1“换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.(3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.题后感悟必修一第二章第二节1.求下列函数的解析式：例题分析必修一第二章第二节必修一第二章第二节必修一第二章第二节作函数的图象作出下列函数的图象.【思路点拨】

初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找到一些关键点，便可画出函数的大致图象.必修一第二章第二节【解析】

(1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1；(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，且x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，所画函数图象如图2.

图1图2必修一第二章第二节1.两个函数相同是指它们的

相同，且

完全一致.2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的f(x)与之对应.这可概述为：

和

.3.的定义域为定义域对应关系存在性唯一性问题导入必修一第二章第二节第二部分函数的表示方法图3(1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图.当已知式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图.(2)作图象时，应标出一些关键点.例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点，还是空心点.必修一第二章第二节2.作出下列函数的图象.【解析】

(1)此函数图象是直线y＝x的一部分.必修一第二章第二节(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上.(这样的点叫做整点)必修一第二章第二节求分段函数的函数值【思路点拨】必修一第二章第二节【解析】

∵－1＜0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.(2)象本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.必修一第二章第二节【解析】

(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3＜0，∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1，又∵0＜1＜4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1(2)当a＋4＝－1时，a＝－5＜0，∴a＝－5符合题意，当a2－2a＝－1时，a＝1，∵0＜1＜4，∴a＝1符合题意；当－a＋2＝－1时，a＝3＜4，∴a＝3不符合题意.∴a＝－5或a＝1.必修一第二章第二节优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大1.函数的三种表示方法的优缺点比较小结反思必修一第二章第二节2.关于分段函数(1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集.(2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可.必修一第二章第二节已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式.【错解】

∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.【错因】

本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数.事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成.所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥.误区警示必修一第二章第二节1.数集A中

元素在数集B中都有

确定的元素f(x)和它对应，这种对应关系叫集合A到集合B的映射，体现多对一或一对一.2.函数的表示方法为

、

、

.任何一个唯一解析法图象法列表温故知新必修一第二章第二节1.映射(1)映射的含义两个

集合A与B间存在着对应关系f，而且对A中的

元素x，B中总有

的一个元素y与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作

.(2)象与原象的概念在映射f：A→B中，

称为原象，

称为x的象，记作

.(3)一一映射f：A→B的概念一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A中每一个元素在B中都有

与之对应；②A中的不同元素的象也不同；非空每一个唯一f：A→BA中的元素xB中的对应元素yf：x→y唯一的象新知讲解必修一第二章第二节第三部分映射③B中的每一个元素都有

.2.函数与映射设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个

，那么映射

就叫作A到B的函数.即函数是一种特殊的映射，是从

到

的映射.原象映射f：A→B非空数集非空数集必修一第二章第二节1.函数是映射吗？【提示】

对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射.2.在映射f：A→B中，B中的元素都有原象与之对应吗？【提示】不一定，如在映射f：A→B如图所示：B集合中的元素5，在A集合中无原象与之对应.问题思考必修一第二章第二节映射的判定

判断下列对应f是否是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝x；(3)A＝{x||x|≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【思路点拨】先从映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应.例题分析必修一第二章第二节【解析】

(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0N＋，即A中元素1在对应关系下B中没有元素与之对应，故不是映射.(2)A中元素6在对应关系f：x→y＝x下为3.而3B，故不是映射.(3)对A＝{x||x|≥3.x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应.故是A到B的映射.

要判断对应f：A→B是否是A到B的映射，必须做到两点：①明确集合A、B中的元素；②根据映射定义判断A中每个元素是否能在B中找到唯一确定的对应元素.必修一第二章第二节1.下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？

【解析】

(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数.(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集.必修一第二章第二节象与原象

已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y).(1)求A中元素(5,5)的象；(2)求B中元素(5,5)的原象.例题分析必修一第二章第二节(1)解答此类问题的关键是：①分清原象和象；②搞清楚由原象到象的对应关系；(2)对A中元素，求象只需将原象代入对应关系即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应关系列出方程组求解.必修一第二章第二节2.若本例的条件不变，问集合A中是否存在这样的元素(a，b)使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由.必修一第二章第二节函数的实际应用

某市空调公共汽车的票价如下：①5公里以内(包括5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.【思路点拨】

解答本题可根据题意写出相应区间上的解析式，并注意变量的分界点问题.例题分析必修一第二章第二节必修一第二章第二节

该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合.解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件.即题后感悟必修一第二章第二节3.某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零用钱以相等的数额存入储蓄盒里，准备凑够200元时一并寄出，储蓄盒里原有60元，2个月后盒内有100元.(1)写出盒内的钱数(元)与存钱月份数的函数解析式，并画出图象；(2)几个月后这位同学可以第一次汇款？变式训练其图象如图所示：(2)因为当x＝7时，y＝60