2025北京邮电大学信号与系统考研真题及答案

2025北京邮电大学信号与系统考研真题及答案一、（20分）已知连续时间系统的微分方程为\(y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f'(t)+3f(t)\)，其中初始条件\(y(0^-)=2\)，\(y'(0^-)=-1\)，输入信号\(f(t)=e^{-t}u(t)\)（\(u(t)\)为单位阶跃信号）。（1）求系统的冲激响应\(h(t)\)；（2）求系统的零输入响应\(y_{zi}(t)\)和零状态响应\(y_{zs}(t)\)；（3）验证全响应\(y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)\)是否满足初始条件。解答：（1）冲激响应\(h(t)\)对应微分方程齐次解，激励为\(\delta(t)\)时的响应。对方程取拉普拉斯变换（设零初始条件），令\(F(s)=\mathcal{L}[\delta(t)]=1\)，则：\(s^2H(s)+5sH(s)+6H(s)=s\cdot1+3\cdot1\)整理得\(H(s)=\frac{s+3}{s^2+5s+6}=\frac{s+3}{(s+2)(s+3)}=\frac{1}{s+2}\)（注意分子分母可约简，极点为\(s=-2\)）因此\(h(t)=\mathcal{L}^{-1}[H(s)]=e^{-2t}u(t)\)。（2）零输入响应\(y_{zi}(t)\)由初始条件引起，对应齐次方程\(y''(t)+5y'(t)+6y(t)=0\)。特征方程\(s^2+5s+6=0\)，根\(s_1=-2\)，\(s_2=-3\)，故通解为\(y_{zi}(t)=Ae^{-2t}+Be^{-3t}\)。代入初始条件\(y(0^-)=2\)，\(y'(0^-)=-1\)：\(y_{zi}(0^-)=A+B=2\)\(y'_{zi}(t)=-2Ae^{-2t}-3Be^{-3t}\)，故\(y'_{zi}(0^-)=-2A-3B=-1\)联立解得\(A=5\)，\(B=-3\)，因此\(y_{zi}(t)=5e^{-2t}-3e^{-3t}\)（\(t\geq0\)）。零状态响应\(y_{zs}(t)\)由输入\(f(t)\)引起，需计算\(f(t)\)与\(h(t)\)的卷积：\(f(t)=e^{-t}u(t)\)，\(h(t)=e^{-2t}u(t)\)，故\(y_{zs}(t)=f(t)h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\tau}u(\tau)\cdote^{-2(t-\tau)}u(t-\tau)d\tau\)当\(t\geq0\)时，积分限为\(0\)到\(t\)，化简得：\(y_{zs}(t)=e^{-2t}\int_{0}^{t}e^{\tau}d\tau=e^{-2t}(e^t-1)=e^{-t}-e^{-2t}\)（\(t\geq0\)）。（3）全响应\(y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=(5e^{-2t}-3e^{-3t})+(e^{-t}-e^{-2t})=e^{-t}+4e^{-2t}-3e^{-3t}\)（\(t\geq0\)）。验证初始条件：\(y(0^+)=1+4-3=2\)，与\(y(0^-)=2\)一致；\(y'(t)=-e^{-t}-8e^{-2t}+9e^{-3t}\)，\(y'(0^+)=-1-8+9=0\)。注意原微分方程在\(t=0\)处可能存在跳变，需检查\(y'(0^+)\)是否满足方程。将\(t=0^+\)代入原方程：左边\(y''(0^+)+5y'(0^+)+6y(0^+)\)，计算\(y''(t)=e^{-t}+16e^{-2t}-27e^{-3t}\)，故\(y''(0^+)=1+16-27=-10\)，左边为\(-10+5\times0+6\times2=2\)；右边\(f'(0^+)+3f(0^+)\)，\(f(t)=e^{-t}u(t)\)，\(f'(t)=-e^{-t}u(t)+e^{-t}\delta(t)\)，故\(f'(0^+)=-1\)，\(f(0^+)=1\)，右边为\(-1+3\times1=2\)，左右相等，验证成立。二、（25分）已知离散时间信号\(x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^nu[n]+2^nu[-n-1]\)（\(u[n]\)为单位阶跃序列）。（1）求\(x[n]\)的Z变换\(X(z)\)及其收敛域（ROC）；（2）画出\(X(z)\)的零极点图，并判断\(x[n]\)是否为因果信号、稳定信号；（3）若\(y[n]=x[n]x[n]\)（卷积和），求\(Y(z)\)及其收敛域。解答：（1）将\(x[n]\)拆分为因果部分\(x_1[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^nu[n]\)和反因果部分\(x_2[n]=2^nu[-n-1]\)。因果部分的Z变换：\(X_1(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^nz^{-n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}\)，ROC为\(|z|>\frac{1}{2}\)。反因果部分\(x_2[n]=2^nu[-n-1]=-\sum_{n=-\infty}^{-1}2^nz^{-n}=-\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}z^{k}\)（令\(k=-n\)），即\(X_2(z)=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k=-\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{z}{2-z}\)（等比级数求和，当\(|\frac{z}{2}|<1\)即\(|z|<2\)时收敛）。因此\(X(z)=X_1(z)+X_2(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}+\frac{z}{2-z}=\frac{z(2-z)+z(z-\frac{1}{2})}{(z-\frac{1}{2})(2-z)}=\frac{2z-z^2+z^2-\frac{1}{2}z}{(z-\frac{1}{2})(2-z)}=\frac{\frac{3}{2}z}{(z-\frac{1}{2})(2-z)}\)，ROC为\(\frac{1}{2}<|z|<2\)（两部分ROC的交集）。（2）\(X(z)\)的分子为\(\frac{3}{2}z\)，零点在\(z=0\)；分母为\((z-\frac{1}{2})(2-z)=-(z-\frac{1}{2})(z-2)\)，极点在\(z=\frac{1}{2}\)和\(z=2\)。零极点图中，零点用“○”标于原点，极点用“×”标于\(z=\frac{1}{2}\)（单位圆内）和\(z=2\)（单位圆外）。因果信号要求\(n<0\)时\(x[n]=0\)，但\(x[n]\)包含\(u[-n-1]\)项（\(n<0\)时非零），故非因果。稳定信号要求ROC包含单位圆\(|z|=1\)，本题ROC为\(\frac{1}{2}<|z|<2\)，包含\(|z|=1\)，因此\(x[n]\)稳定。（3）卷积和的Z变换\(Y(z)=X(z)\cdotX(z)=\left(\frac{\frac{3}{2}z}{(z-\frac{1}{2})(2-z)}\right)^2\)。收敛域为\(X(z)\)收敛域的重叠部分，即\(\frac{1}{2}<|z|<2\)与自身的交集，仍为\(\frac{1}{2}<|z|<2\)。三、（20分）周期信号\(f(t)\)的波形如图1所示（注：此处假设波形为幅度\(A=2\)，周期\(T=4\)，在\([-2,0)\)区间为\(1\)，\([0,2)\)区间为\(-1\)，对称重复）。（1）求\(f(t)\)的傅里叶级数（FS）系数\(F_n\)；（2）画出\(f(t)\)的幅度谱和相位谱（取前5次谐波）；（3）若用前3次谐波近似\(f(t)\)，计算近似误差的均方值。解答：（1）周期\(T=4\)，基频\(\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}\)。\(f(t)\)为奇函数（\(f(-t)=-f(t)\)），故直流分量\(F_0=0\)，余弦分量（偶次谐波）系数为0，只需计算正弦分量。FS系数\(F_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt\)。利用奇函数性质，\(F_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)(-j\sin(n\omega_0t))dt\)（虚部）。在\([0,2)\)区间\(f(t)=-1\)，故：\(F_n=\frac{2}{4}\int_{0}^{2}(-1)(-j\sin(\frac{n\pi}{2}t))dt=\frac{j}{2}\int_{0}^{2}\sin(\frac{n\pi}{2}t)dt\)积分得\(\int\sin(\frac{n\pi}{2}t)dt=-\frac{2}{n\pi}\cos(\frac{n\pi}{2}t)\bigg|_{0}^{2}=-\frac{2}{n\pi}[\cos(n\pi)-1]=-\frac{2}{n\pi}[(-1)^n-1]\)因此\(F_n=\frac{j}{2}\cdot\left(-\frac{2}{n\pi}\right)[(-1)^n-1]=-\frac{j}{n\pi}[(-1)^n-1]\)。当\(n\)为偶数时，\((-1)^n-1=0\)，故\(F_n=0\)；当\(n\)为奇数时，\((-1)^n-1=-2\)，故\(F_n=-\frac{j}{n\pi}(-2)=\frac{2j}{n\pi}\)（\(n=\pm1,\pm3,\pm5,\dots\)）。（2）幅度谱\(|F_n|=\frac{2}{n\pi}\)（仅奇数\(n\)非零），相位谱\(\angleF_n=\frac{\pi}{2}\)（因\(F_n=j\cdot\frac{2}{n\pi}\)，虚部为正）。前5次谐波对应\(n=\pm1,\pm3,\pm5\)，幅度分别为\(\frac{2}{\pi},\frac{2}{3\pi},\frac{2}{5\pi}\)，相位均为\(\frac{\pi}{2}\)（\(n>0\)）或\(-\frac{\pi}{2}\)（\(n<0\)，因\(F_{-n}=F_n^\)）。（3）前3次谐波为\(n=\pm1,\pm3\)，对应的时域表达式为：\(f_3(t)=\sum_{n=-3}^{-1}F_ne^{jn\omega_0t}+\sum_{n=1}^{3}F_ne^{jn\omega_0t}=2\text{Re}\left(F_1e^{j\omega_0t}+F_3e^{j3\omega_0t}\right)\)代入\(F_1=\frac{2j}{\pi}\)，\(F_3=\frac{2j}{3\pi}\)，得：\(f_3(t)=2\text{Re}\left(\frac{2j}{\pi}e^{j\frac{\pi}{2}t}+\frac{2j}{3\pi}e^{j\frac{3\pi}{2}t}\right)=\frac{4}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+\frac{4}{3\pi}\sin\left(\frac{3\pi}{2}t\right)\)均方误差\(E=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}[f(t)-f_3(t)]^2dt\)。原信号\(f(t)\)的平均功率\(P=\frac{1}{T}\int_{-2}^{2}f(t)^2dt=\frac{1}{4}\times(2\times1^2\times2)=1\)（因\(f(t)^2\)在每个半周期为1，总面积为4）。前3次谐波的功率\(P_3=|F_1|^2+|F_3|^2=\left(\frac{2}{\pi}\right)^2+\left(\frac{2}{3\pi}\right)^2=\frac{4}{\pi^2}\left(1+\frac{1}{9}\right)=\frac{40}{9\pi^2}\approx0.451\)。因此均方误差\(E=P-P_3\approx1-0.451=0.549\)。四、（25分）某离散时间系统的系统函数\(H(z)=\frac{z^2+3z}{z^2-z-2}\)。（1）求系统的单位样值响应\(h[n]\)；（2）判断系统的因果性和稳定性；（3）若输入\(x[n]=(-1)^nu[n]\)，求零状态响应\(y[n]\)。解答：（1）将\(H(z)\)化简为\(\frac{z(z+3)}{(z-2)(z+1)}\)，部分分式展开：\(H(z)=A+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z+1}\)。通分后分子\(z(z+3)=A(z-2)(z+1)+B(z+1)+C(z-2)\)。令\(z=2\)，得\(2\times5=B\times3\)，故\(B=\frac{10}{3}\)；令\(z=-1\)，得\((-1)\times2=C\times(-3)\)，故\(C=\frac{2}{3}\)；令\(z=0\)，得\(0=A(-2)(1)+B(1)+C(-2)\)，代入\(B,C\)得\(0=-2A+\frac{10}{3}-\frac{4}{3}\)，解得\(A=1\)。因此\(H(z)=1+\frac{10/3}{z-2}+\frac{2/3}{z+1}=1+\frac{10/3}{z-2}+\frac{2/3}{z+1}\)。考虑因果系统的ROC为\(|z|>2\)（极点\(z=2\)和\(z=-1\)中最外侧极点模为2），则：\(\mathcal{Z}^{-1}[1]=\delta[n]\)，\(\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{10/3}{z-2}\right]=\frac{10}{3}\cdot2^{n-1}u[n-1]=\frac{5}{3}2^nu[n-1]\)（因\(\frac{1}{z-a}\)对应\(a^{n-1}u[n-1]\)），\(\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{2/3}{z+1}\right]=\frac{2}{3}(-1)^{n-1}u[n-1]=-\frac{2}{3}(-1)^nu[n-1]\)。因此\(h[n]=\delta[n]+\frac{5}{3}2^nu[n-1]-\frac{2}{3}(-1)^nu[n-1]\)（\(n\geq0\)），可合并为：当\(n=0\)时，\(h[0]=1\)；当\(n\geq1\)时，\(h[n]=\frac{5}{3}2^n-\frac{2}{3}(-1)^n\)。（2）因果性：若ROC为\(|z|>2\)，则系统因果（ROC包含\(|z|\to\infty\)）。稳定性：稳定要求ROC包含单位圆\(|z|=1\)，但\(|z|>2\)不包含\(|z|=1\)，故系统不稳定（极点\(z=2\)在单位圆外）。（3）输入\(x[n]=(-1)^nu[n]\)，其Z变换\(X(z)=\frac{z}{z+1}\)（\(|z|>1\)）。零状态响应\(Y(z)=H(z)X(z)=\frac{z^2+3z}{(z-2)(z+1)}\cdot\frac{z}{z+1}=\frac{z^2(z+3)}{(z-2)(z+1)^2}\)。部分分式展开\(\frac{Y(z)}{z}=\frac{z(z+3)}{(z-2)(z+1)^2}=\frac{A}{z-2}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{(z+1)^2}\)。通分后分子\(z(z+3)=A(z+1)^2+B(z-2)(z+1)+C(z-2)\)。令\(z=2\)，得\(2\times5=A\times9\)，故\(A=\frac{10}{9}\)；令\(z=-1\)，得\((-1)\times2=C\times(-3)\)，故\(C=\frac{2}{3}\)；比较\(z^2\)系数：左边1，右边\(A+B\)，故\(B=1-A=1-\frac{10}{9}=-\frac{1}{9}\)。因此\(Y(z)=\frac{10}{9}\cdot\frac{z}{z-2}-\frac{1}{9}\cdot\frac{z}{z+1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{z}{(z+1)^2}\)。逆Z变换得：\(y[n]=\frac{10}{9}2^nu[n]-\frac{1}{9}(-1)^nu[n]+\frac{2}{3}n(-1)^{n-1}u[n]\)（利用\(\frac{z}{(z+1)^2}\)对应\(-n(-1)^nu[n]\)）。整理后\(y[n]=\left(\frac{10}{9}2^n-\frac{1}{9}(-1)^n-\frac{2}{3}n(-1)^n\right)u[n]\)。五、（20分）已知连续时间系统的状态方程和输出方程为：\(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}-1&1\\0&-2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}f(t)\)\(y(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)\)（1）求系统的转移函数\(H(s)\)；（2）判断系统的能控性和能观性；（3）若初始状态\(\boldsymbol{x}(0^-)=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)，输入\(f(t)=u(t)\)，求全响应\(y(t)\)。解答：（1）转移函数\(H(s)=\boldsymbol{C}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{B}\)。计算\(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}s+1&-1\\0&s+2\end{bmatrix}\)，其逆矩阵为\(\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+2&1\\0&s+1\end{bmatrix}\)。因此\(H(s)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+2&1\\0&s+1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}\)。（2）能控性矩阵\(\boldsymbol{M}_c=[\boldsymbol{B}\\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}]\)。计算\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}-1&1\\0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-2\end{bmatrix}\)，故\(\boldsymbol{M}_c=\begin{bmatrix}1&0\\1&-2\end{bmatrix}\)，行列式\(1\times(-2)-0\times1=-2\neq0\)，满秩，系统能控。能观性矩阵\(\boldsymbol{M}_o=\begin{bmatrix}\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}\end{bmatrix}\)。计算\(\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&1\\0&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}\)，故\(\boldsymbol{M}_o=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}\)，行列式\(1\times1-0\times(-1)=1\neq0\)，满秩，系统能观。（3）全响应\(y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)\)。零输入响应\(y_{zi}(t)=\boldsymbol{C}e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0^-)\)。先求状态转移矩阵\(e^{\boldsymbol{A}t}\)，因\(\boldsymbol{A}\)为对角化矩阵（特征值\(\lambda_1=-1\)，\(\lambda_2=-2\)），故\(e^{\boldsymbol{A}t}=\begin{bmatrix}e^{-t}&e^{-t}-e^{-2t}\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}\)（通过拉普拉斯变换或凯莱-哈密顿定理验证）。因此\(y_{zi}(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{-t}&e^{-t}-e^{-2t}\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=e^{-t}\cdot1+(e^{-t}-e^{-2t})\cdot(-1)=e^{-t}-e^{-t}+e^{-2t}=e^{-2t}\)（\(t\geq0\)）。零状态响应\(y_{zs}(t)=\boldsymbol{C}\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}(t-\tau)}\boldsymbol{B}f(\tau)d\tau\)，\(f(t)=u(t)\)，故：\(\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}(t-\tau)}\boldsymbol{B}d\tau=\int_{0}^{t}\begin{bmatrix}e^{-(t-\tau)}&e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\\0&e^{-2(t-\tau)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}d\tau=\int_{0}^{t}\begin{bmatrix}2e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\\e^{-2(t-\tau)}\end{bmatrix}d\tau\)计算得第一分量\(2(1-e^{-t})-\frac{1}{2}(1-e^{-2t})=\frac{3}{2}-2e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\)，第二分量\(\frac{1}{2}(1-e^{-2t})\)。因此\(y_{zs}(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\times\)第一分量\(=\frac{3}{2}-2e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\)（\(t\geq0\)）。全响应\(y(t)=e^{-2t}+\frac{3}{2}-2e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}=\frac{3}{2}-2e^{-t}+\frac{3}{2}e^{-2t}\)（\(t\geq0\)）。六、（20分）设计一个离散时间因果IIR低通滤波器，要求通带截止频率\(\omega_p=0.2\pi\)，阻带截止频率\(\omega_s=0.4\pi\)，通带最大衰减\(\alpha_p=1\text{dB}\)，阻带最小衰减\(\alpha_s=20\text{dB}\)。（1）确定滤波器的最小阶数\(N\)；（2）写出归一化切比雪夫I型滤波器的系统函数\(H_a(p)\)；（3）通过双线性变换法将\(H_a(p)\)转换为离散时间系统函数\(H(z)\)（保留到二阶因子形式）。解答：（1）切比雪夫I型滤波器设计公式：\(N\geq\frac{\text{arccosh}\left(\sqrt{\frac{10^{0.1\alpha_s}-1}{10^{0.1\alpha_p}-1}}\right)}{\text{arccosh}\left(\frac{\Omega_s}{\Omega_p}\right)}\)。双线性变换中，模拟频率预畸变\(\Omega=2\tan(\omega/2)\)，故\(\Omega_p=2\tan(0.1\pi)\approx2\times0.3249=0.6498\)，\(\Omega_s=2\tan(0.2\pi)\approx2\times0.7265=1.4530\)。计算\(10^{0.1\alpha_p}-1=10^{0.1}-1\approx1.2589-1=0.2589\)，\(10^{0.1\alpha_s}-1=10^2-1=99\)，故\(\sqrt{\frac{99}{0.2589}}\approx\sqrt{382.4}\approx19.55\)。\(\text{arccosh}(19.55)=\ln(19.55+\sqrt{19.55^2-1})\approx\ln(19.55+19.52)\approx\ln(39.07)\approx3.665\)；\(\frac