难点详解浙江省龙泉市中考数学真题分类（勾股定理）汇编定向训练试卷（含答案详解）

浙江省龙泉市中考数学真题分类（勾股定理）汇编定向训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（

）.A． B． C． D．2、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（

）A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形C．如果，那么△ABC是直角三角形D．如果，那么△ABC是直角三角形3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（

）．A．5 B．3 C． D．4、如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A． B． C． D．5、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（

）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米6、在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（

）A． B． C． D．7、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（

）A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图1，邻边长为2和6的矩形分割成①，②，③，④四块后，拼接成如图2不重叠、无缝隙的正方形，则图2中的值为___________，图1中的长为_______．2、如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．3、如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则__________．4、如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．5、已知，在中，，，，则的面积为__．6、在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是_____．7、如图，将一个长方形纸片沿折叠，使C点与A点重合，若，则线段的长是_________．8、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．2、数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为，第二次列式为，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式；②在①中，如果，，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系．3、一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B外移多少米？4、我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？5、小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工，过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量，，米，米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？6、如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．7、我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：如图，连接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC=AB•AC，∴AP•BC=AB•AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故选：D．【考点】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值．2、A【解析】【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：A、如果

a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC

是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC

是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果

a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC

是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC

是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【考点】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．3、C【解析】【分析】如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．【详解】解：如图，∵是直角∴由题意知，，∴∴三点共线∴与重合在中，由勾股定理得设，在中，由勾股定理得即解得∴的长为故选C．【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．4、C【解析】【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=π，∴AC=，故选C．【考点】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．5、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．【考点】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.6、A【解析】【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，，∵，，∴，，故A正确．故选：A．【考点】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．7、C【解析】【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+0.72＝6.25，∴BD2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．故选：C．【考点】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题1、

【解析】【分析】由等积法解得正方形的边长，再利用勾股定理解得图④的直角边FH的长，在图2中，利用正弦的定义解得，接着利用勾股定理解得，据此解得的值，最后利用解答即可．【详解】解：矩形的面积为：2×6=12正方形的边长如图1，如图2，设或（舍去）故答案为：，．【考点】本题考查正方形与矩形、图形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2、3【解析】【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．【详解】解：在中，在矩形中，故答案为：3．【考点】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、【解析】【详解】解：设CD=x，则AD=A′D=4-x．在直角三角形ABC中，BC==5．则A′C=BC-AB=BC-A′B=5-3=2．在直角三角形A′DC中：AD2+AC2=CD2．即：（4-x）2+22=x2．解得：x=．故答案为：2.54、【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF==，即点F到AC的距离为，故答案为：．【考点】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．5、2或14#14或2【解析】【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．【详解】解：过点作边的高，中，，，，在中，，，①是钝角三角形时，，；②是锐角三角形时，，，故答案为：2或14．【考点】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．6、【解析】【分析】根据两点的距离公式计算求解即可．【详解】解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为故答案为：．【考点】本题考查了用勾股定理求解两点的距离公式．解题的关键在于熟练掌握距离公式：、两点间的距离公式为．7、【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得．【详解】解：∵长方形纸片，∴，，根据折叠的性质可得，，，设，，根据勾股定理，即，解得，故答案为：．【考点】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．8、34【解析】【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【考点】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；三、解答题1、小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【解析】【分析】延长FC交AB于点G，设BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，进而可得AB的正确长度【详解】解：如图，延长FC交AB于点G则CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米设BG=x米，则BC=(26－1－x)米在Rt△BGC中，∵∴解得

∴BA=BG＋GA=8+1=9（米）∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【考点】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形2、（1）①，，；或，，；②9；（2）【解析】【分析】（1）①第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；②直接利用公式，再整体代入求值即可；（2）第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，再整理即可得到答案.【详解】解：（1）因为小正方形的边长为：所以第一次计算的面积为：，第二次计算的面积为：，所以：；或，，②∵，∴（3）第一次利用梯形的面积公式图形面积为：第二次利用图形的面积和计算为：整理得：【考点】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式，掌握等面积法推导两个完全平方公式之间的关系，推导勾股定理是解题的关键.3、8米．【解析】【分析】梯子下滑4米，梯子的长度不变始终为25米，利用勾股定理分别求出OB、OB＇的长度，进而求出BB＇的长度即可．【详解】解：如图，依题意可知AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，∴BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，∴BO＝7(米)，移动后，＝20(米)，∴(米)，∴(米)．答：梯子底端B外移8