2024-2025学年辽宁省大连市王府高中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连市王府高中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得次品的件数，则P(X=1)=(

)A.C21C103 B.C22.已知数列{an}满足a1=0，aA.0 B.−3 C.33.下列说法中，正确的个数是(

)

(1)两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1

(2)两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大

(3)从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.若函数f(x)=lnx+x2−ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是A.(−∞,1) B.(−∞,22] C.(−∞,2]5.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(

)A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1)6.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>0，下面的不等式在R上恒成立的是(

)A.f(x)≥0 B.f(x)≤0 C.f(x)≥x D.f(x)≤x7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论错误的是(

)A.an−an−1=n(n>1) B.a20=2108.已知函数f(x)=x22+alnx−(a+1)x.若a≥0，f(x)≥−e22对A.[0,e] B.[1,e] C.[1,e) D.[0,e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导正确的是(

)A.若y=x3lnx，则y′=3x2lnx+x2 B.若y=2x−1x+1，则y′=1(x+110.在各项均为正数的等比数列{an}中，公比为q(q≠1)，前n项和为SnA.an=amqn−m(m,n∈N∗)11.已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是(

)A.若A⊆B，P(B)>0，则P(A)≤P(A|B)

B.若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则AB≠⌀

C.若P(A)=0.6，P(B)=0.8，则P(AB)的最小值可能为0.38

D.若AB=⌀，则P(A|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N(85,σ2)，且P(80<X<90)=0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于8013.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2f′(2)x+x3，则f′(2)=______．14.若数列{an}(1≤n≤k,n∈N∗,k∈N∗)满足an∈{0,1}，则称数列{an}为k项0−1数列.若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=Sn−1+2，(n≥2,n∈N)，且a1=4．

(1)求数列{an16.(本小题15分)

(1)求函数f(x)=ex−x−1的值域；

(2)求函数f(x)=5x+ln(2x)在点(117.(本小题15分)

恩格尔系数法是国际上常用的一种测定贫困线的方法，是指居民家庭中年人均食物支出占年人均消费总支出的比重，它随家庭收入的增加而下降，即恩格尔系数越大，生活越贫困.某调研小组通过调查得到了年人均消费总支出x(万元)与恩格尔系数y的五组数据如下表：x11.522.53y0.90.70.50.30.2(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)若某居民家庭年人均消费总支出为2.6万元，估计该居民家庭恩格尔系数．

参考公式：回归方程y​=b​x+a18.(本小题17分)

已知函数f(x)=13(k−1)x3+12(k−2)x2−2kx+sinα−2(k<1且−π2≤α≤π2).

(1)讨论f(x)的单调性；

19.(本小题17分)

已知甲盒子中装有1个白球和2个黑球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次(n∈N∗)这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为Xn，甲盒中恰有2个白球的概率为an，恰有1个白球的概率为bn．

(1)求a1，b1和a2，b2；

(2)证明：{an+2b参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.A

6.A

7.C

8.A

9.AD

10.ABD

11.ABD

12.0.65

13.−12

14.0

15.(1)因Sn=Sn−1+2，则Sn−Sn−1=2，

则数列{Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列，

则Sn=2n，即Sn=416.(1)函数f(x)=ex−x−1的定义域为R，又f′(x)=ex−1，

因此当x>0时f′(x)>0，当x<0时f′(x)<0，

因此f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，因此f(x)≥f(0)=0，

因此函数f(x)=ex−x−1的值域为[0,+∞)，

(2)因为f(x)=5x+ln(2x)，则f(12)=52，又f′(x)=5+1x，

因此f′(12)=7，即切点为(12,52)，切线的斜率k=7，

因此切线方程为y−52=7(x−17.(1)由题意可得x−=15×(1+1.5+2+2.5+3)=2，

x−=15×(1+1.5+2+2.5+3)=2,y−=15×(0.9+0.7+0.5+0.3+0.2)=0.52，

i=15(xi−x−)(yi−y−)=−1×0.38−0.5×0.18+0.5×(−0.22)+1×(−0.32)=−0.9，

i=15(xi−x−)2=1+0.25+0.25+1=2.5，

则b=−0.92.5=−0.36，b=−0.92.5=−0.36,a=y−−bx−=1.24，故y=−0.36x+1.24；

(2)当x=2.6时，y=−0.36×2.6+1.24=0.304，

故估计该居民家庭恩格尔系数为0.304．

18.解：(1)f′(x)=(k−1)x2+(k−2)x−2k=[(k−1)x−k](x+2)，

由f′(x)=0得x=kk−1或x=−2，由kk−1<−2.得23<k<1．

当k<23时，在(−∞,−2)上为减函数，在(−2,kk−1)上为增函数，在(kk−1,+∞)上为减函数．

当k=23时，在R上为减函数．

当23<k<1时，在(−∞,kk−1)上为减函数，在(kk−1,−2)上为增函数，(−2,+∞)上为减函数．

综上，23<k<1时，f(x)在(−∞,kk−1)上为减函数，在(kk−1,−2)上为增函数，(−2,+∞)上为减函数；

k=23时，f(x)在R上为减函数；

k<19.解：(1)若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为a1=23．

若甲盒中取白球，乙盒中取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中仍为2白，概率b1=13．

研究2次交换球的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑．乙盒中的球为1白1黑时，对应的概率为a1=23，

此时，若甲盒取黑球，乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，

概率为a1×12×13=16a1；

若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1×12×13=16a1；

若甲盒中取白球，乙盒中取黑球，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a1×23×12=13a1；

若甲盒中取白球，乙盒中取白球，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×23×12=13a1．

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b1=13，

此时，若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为b1×23=23b1，

若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b1×13=13b1，

综上，a2=16a1+13a1+23b1=59，b2=13a1+13b1=13．

(2)证明：依题意，经过n次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为an，

恰有1个白球的概率为bn，则甲盒中恰有3个白球的概率为1−an−bn，

研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如