【25秋】人教八年级数学上册同步训练（基础+提升）1224直角三角形全等的判定(HL)（学生版+名师详解版）

12.2.4直角三角形全等的判定(HL)夯实基础篇一、单选题：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，∠B=∠B′B．∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，AC=A′C′D．AB=A′B′，∠A=∠A′2．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等3．如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是()A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF4．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．HL D．ASA5．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=()A．2cm B．4cm C．3cm D．5cm6．已知：如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，AD＝BD，点E在AC上，BE交AD于点F，BF＝AC，则∠AFB的度数为（）A．27° B．37° C．63° D．117°7．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是()A．65° B．55° C．45° D．35°二、填空题：8．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌，全等的根据是．9．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝．10．如图，，，于点，于点，，，则的长是．11．如图，在中，为边的中点，于点，于点，且．若，则的大小为度．12．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=8cm，则△DEB的周长是13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=14．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=.三、解答题：15．已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.16．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．17．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD=EC+ED．能力提升篇一、单选题：1．如图，在和中，，则下列说法错误的是（）A． B． C． D．2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG．若△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为()A．11 B．5.5 C．7 D．3.53．如图，于，于，若，平分，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（）个A． B． C． D．二、填空题：4．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为cm．​5．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．6．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．三、解答题：7．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求证：AB=CE+BF；（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．8．已知Rt△ABC≌Rt△DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D．（1）将两三角形按图①方式摆放，其中点E落在AB上，DE所在直线交边AC于点F．求证：AF+EF=DE；（2）若将两三角形按照图②方式摆放，边AC的延长线与DE相交于点F．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．12.2.4直角三角形全等的判定(HL)夯实基础篇一、单选题：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，∠B=∠B′B．∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，AC=A′C′D．AB=A′B′，∠A=∠A′【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符合题意；B、根据AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项符合题意；C、根据全等三角形的判定定理SAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；故选B．【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．2．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．故答案为：C【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。3．如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是()A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF【答案】A【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，

∵DE=BF，

∴当添加斜边相等时，即DC=BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.

故选A.

【分析】利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.4．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．HL D．ASA【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】在RtOMP和RtONP中，

OM=ONOP=OP，

∴RtOMPRtONP（HL），

∴MOP=NOP，

∴OP是AOB的角平分线.故答案为：C.

【分析】本题考查了全等三角形的判定及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.利用判定方法“HL”证明RtOMPRtONP，进而得出答案.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=()A．2cm B．4cm C．3cm D．5cm【答案】C【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，在和中，，∴ED=CE.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm故答案为：C【分析】首先根据BC=BD，EB=EB利用HL判断出Rt△BDE≅Rt△BCE，根据猤三角形对应边相等得出ED=CE，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。6．已知：如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，AD＝BD，点E在AC上，BE交AD于点F，BF＝AC，则∠AFB的度数为（）A．27° B．37° C．63° D．117°【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵BF=AC，

∵AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF（HL），

∴∠BFD=∠C=63°.

∴∠AFB=180°-∠BFD=180°-63°=117°.

故答案为：D.

【分析】已知AD和BD相等，BF和AC相等，利用斜边直角边定理定理可证△ADC≌△BDF，从而得出∠AFD=∠C=63°，则由邻补角的性质可得∠AFB的度数.7．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是()A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】D【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AD，垂足为点F。

∵DE为∠ADC的平分线，EC⊥CD，EF⊥AD

∴EC=EF

∵E为BC的中点

∴EC=EB，

∴EB=EF

在直角三角形ABE和直角三角形AFE中，∵AE=AE，BE=EF，

∴直角三角形ABE≌直角三角形AFE∴∠DAE=∠BAE。

∵∠CED=35°

∴∠ADC=2×（90°-35°）=110°

∴∠EAB=×（180°-110°）=35°。

故答案为：D。【分析】根据直角三角形斜边和一条直角边相等，可证明两个直角三角形全等；根据梯形的内角和为360°，来求得∠DAB的度数，根据∠DAB对应包含的两个角相等，即可求出∠EAB的度数。二、填空题：8．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌，全等的根据是．【答案】△DFE；HL【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。9．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝．【答案】50°【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵∠AFD=140°，∴∠DFC=180°-140°=40°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠FDC=90º，在Rt△BED和Rt△CDF中，∵BD＝CF，BE＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CDF，∴∠EDB=∠DFC=40°，∴∠EDF=∠BDC-∠FDC－∠EDB=180°-90°-40°=50°.

故答案为：50°【分析】根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°10．如图，，，于点，于点，，，则的长是．【答案】6【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，∴∠AEC＝∠D＝90°，在Rt△AEC与Rt△CDB中，∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，∴DE＝CD−CE＝10−4＝6，故答案为：6．

【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。11．如图，在中，为边的中点，于点，于点，且．若，则的大小为度．【答案】60【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵为边的中点，于点，于点，∴BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，又，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴，∴∠B=∠C=60°，∠A=180°-60°-60°=60°，故答案为：60°．【分析】根据题意，点D是BC的中点，，可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得∠B=∠C=60°，利用三角形内角和180°，计算即可得．12．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=8cm，则△DEB的周长是【答案】8cm【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,在△ACD和△AED中AD=ADCD=DE∴△ACD≌△AED(HL),∴AC=AE,∴△BED的周长=DE+BD+BE,=BD+CD+BE,=BC+BE,=AC+BE,=AE+BE,=AB,∵AB=8cm,∴△BED的周长是8cm.故答案为:8cm.【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=ED，再利用HL证明△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质，易证AC=AE，因此可证△BED的周长就是线段AB的长。13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=【答案】7【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，∴AB⊥MN，∴∠DAE=∠EBC=90°，在Rt△ADE和Rt△BCE中，∴△ADE≌△BEC（HL），∴AE=BC，∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为7．【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．14．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=.【答案】55°【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵PA＝PB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝25°，∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝55°，故答案为：55°.【分析】由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝25°，由外角可求解.三、解答题：15．已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AB=BA，AD=BC，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠ABC=∠BAD.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】根据HL可证Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的对应角相等可得∠ABC=∠BAD.16．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．【答案】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD，AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中∠BFG=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝CF，得出AF＝CE．然后利用HL判断出Rt△ABF≌Rt△CDE，根据全等三角形对应边相等得出BF＝DE．然后再利用AAS判断出△BFG≌△DEG，根据全等三角形对应边相等得出FG＝EG，即BD平分EF。17．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD=EC+ED．【答案】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED．【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明△ABD≌△CAE．能力提升篇一、单选题：1．如图，在和中，，则下列说法错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：解：∵，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）∴，∠BAC=∠DAE，故A选项不符合题意；∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，即，故B选项不符合题意；连接AO，∵AE=AC，AO=AO，∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL），∴，故C选项不符合题意；无法得出，故D选项符合题意；故答案为：D．【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，再结合图形，对每个选项一一判断即可。2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG．若△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为()A．11 B．5.5 C．7 D．3.5【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质【解析】【解答】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，∵DN=DF，DM=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．故答案为：B．【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，由角平分线的性质可得DF=DN，结合题意用HL定理可证Rt△DEF≌Rt△DMN，于是可得∠EDF=∠MDN，则∠ADE=∠ADM，于是用边角边易证△ADE≌△ADM，所以结合图形的构成和已知可得S△MDG=S△ADG﹣S△ADM可求解。3．如图，于，于，若，平分，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（）个A． B． C． D．【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵平分，于，于，∴，DE=DF，故①符合题意；在Rt△DBE和Rt△DCF中，∵DE=DF，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴∠DBE=∠C，BE=CF，故②符合题意；∵，∴，故③符合题意；在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵DE=DF，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∴，故④符合题意；综上，正确的结论是：①②③④，有4个．故答案为：D．【分析】根据角平分线的性质即可判断①；根据HL可得Rt△DBE≌Rt△DCF，进而可得∠DBE=∠C，BE=CF，于是可判断②；根据平角的定义和等量代换即可判断③；根据HL可得Rt△ADE≌Rt△ADF，于是可得AE=AF，进一步根据线段的和差关系即可判断④，从而可得答案．二、填空题：4．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为cm．​【答案】12【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：连接BE．∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，∴∠A=∠BDE=90°，∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，BD=AB（已知），BE=EB（公共边），∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），∴AE=ED，又∵AE=12cm，∴ED=12cm．故填12．【分析】根据已知条件，先证明△DBE≌△ABE，再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）来求DE的长度．5．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．【答案】①、②、④【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ADC=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，故答案为①、②、④．故填①、②、④．【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．6．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．【答案】3或6【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵，AQ⊥AC，∴①当AP=3=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)；②当AP=6=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，故答案为：3或6【分析】根据直角三角形的判定方法HL，当AP=BC时，得到Rt△ACB≌Rt△QAP，当AP=AC时，得到Rt△ACB≌Rt△PAQ.三、解答题：7．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求证：AB=CE+BF；（3）若∠CAE=30°