专题16圆锥曲线中焦点三角形（教师版）

专题16：圆锥曲线中焦点三角形<<<专题综述>>><<<专题综述>>>焦点三角形是圆锥曲线中的特殊图形,指的是圆锥曲线的两个焦点与曲线上任意一点所构成的三角形.焦点三角形是高考历年关于解析几何命题的热点问题，涉及了椭圆、双曲线的定义、几何性质以及解三角形等相关知识，综合性强、方法灵活，是考查学生数学思想和综合能力的重要素材.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型一：角度题型一：角度和离心率问题1.若P是椭圆x2a2+y2设∠PF1F2=1\*GB3①由正弦定理可得PF1sinβ=即PF1+故e=c=2\*GB3②若PM平分∠F1PF则MF即M=3\*GB3③若I为∆F1PF2内心，则I在线段PM上，连接I则IF1,I则IMIP=F2.若P是双曲线x2a2−y设∠PF1F2由正弦定理可得PF即PF1−故e=例1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，第一象限的点M在椭圆CA.63 B.33 C.3−1【思路点拨】已知焦点三角形中两角，直接利用上述结论即可求出离心率.【规范解析】在△MOF1中，由∠MF故∠F1M∴e=ca=练1已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点A．12,1 B．0,12 C．【规范解析】因为O是F1F2的中点，点N是OF2因为MN平分∠F1MF2∵MF1∈a−c,a+c，题型二：焦点题型二：焦点三角形面积公式及应用焦点三角形问题常出现在选择题与填空题中，能够直接利用其面积公式与性质，可减少推理与运算，节省运算时间.1.面积公式：公式一：

=1\*GB3①若P是椭圆x2a2+y2b设∠F1PF2证明：由余弦定理可得，在∆FF所以PF∴S同理可证，在椭圆y2=2\*GB3②若P是双曲线x2a2−y2b2设∠F1PF2=θ公式二：若P是椭圆或双曲线上一点，F1、F2是椭圆或双曲线的两个焦点，则2.性质：若P是椭圆x2a2+设∠F=1\*GB3①当P在短轴顶点时，θ取得最大值，此时cosθ=2b2a=2\*GB3②PF1PF3.应用利用焦点三角形的面积公式，直接求解面积、求题干条件下的P点坐标、求曲线方程、求焦点三角形的边所在直线方程、求参数的取值范围、求离心率的值或取值范围、求与焦点三角形有关的最值问题等.例2已知椭圆：x225+y29=1和双曲线x【思路点拨】利用焦点三角形面积公式，椭圆中S∆F1PF2=9tan【规范解析】方法一：由题知S∆PF1∴a2=16−3=13方法二：椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a，根据椭圆及双曲线的定义：PF所以PF1=5+a,由余弦定理可得，64=5+a整理得∴a2=13练2设F1,F2是椭圆C：x24+y2m2=1(0<m<2)的两个焦点，P(x【规范解析】∵a2=4，b=m，∴c=4−m2，

∵S△PF1F2=12×2c×y0=3，∴y0=34−m2，

又∵P(x0,y0)在椭圆上，∴x0题型三：焦点题型三：焦点三角形内切圆问题1.椭圆的内切圆问题：椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P设P的坐标为x0,y0，点I=1\*GB3①PD=PE=a−c；=2\*GB3②xI=ex0,yI证明：由切线长定理得：PD=P=∴PD设∆F1PF2的内切圆半径为r,由内切圆性质得IH⊥x轴，当点P在第一象限时，则xI=OH,yPF∴2xI=2ex0∴S∆∴yI2.双曲线的内切圆问题：双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0,F1、F2是双曲线的左、右焦点，P设P的坐标为x0,y0，点I1.F12.x证明：由切线长定理得：PD=P=∴由内切圆性质得IH⊥x轴，则F1∴a同理可得：当P为双曲线C的左支上异于实轴端点的任意一点时，xI例3已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为△PF1F2的内心，记直线OPA.13 B.12 C.33【思路点拨】利用椭圆中焦点三角形的内心I坐标与P点坐标之间的关系的结论：xI=ex【规范解析】解法一：设P(x0,y0)，I(xI,yI)，设圆与PF1，PF2，x轴相切于点M，N，T

PM=PN，F1M=F1T，F2N=F2T

∴F1T+PN+NF2=a+c

即F1T+PF2=a+c

∴F1T=xI+c=a+c−(a−ex0),∴xI=ex0

∵122a+2cyI=122cy练3双曲线C:x29−y216=1的右支上一点P在第一象限，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，I为△PF1A.24 B.12 C.323 D.【规范解析】解：由题意，作图如下：

设圆I与x轴、PF2、PF1分别切于点E、H、F，

因为双曲线C的右顶点为A3,0，F1−5,0，F25,0，

所以AF1−AF2=3+5−5−3=6，

因为PF1−又F1−5,0，F25,0，IF1=65,IF2=5,cos∠F1IF2=65+5−100265×5=−3故选C．<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.已知F1、F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1【解析】双曲线C：x23−y2=1的a=3，b=1，c=2，

设P在双曲线的右支上，|PF1|=m，|PF2|=n，

可得m−n=2a=23，

在△PF1F2中，可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅2.已知1<m<4，F1，F2为曲线C：x24+y24−m=1的左、右焦点，点P为曲线C与曲线E：x2−y2m−1=1在第一象限的交点，直线l为C在点P处的切线，若三角形F1A.−1 B.−2 C.−3 D.随m的变化而变化【解析】由题意可得曲线C，E有相同的焦点(−m,0)，(m,0)，

且|PF1|+|PF2|=4，c=m，

在△F1PF2中，内切圆圆心M，设各边的切点分别为A，D，E(A为双曲线的右顶点)，

∴AM⊥F1F2，可得xM=xA=1，

联立x24+y24−m=1x2−y2m−1=1，消去y可得x=±2m，

设P(x0,y0)，且x0=2m，y0=(m−1)(4m−1)，

直线l的方程为x0x4+y0y4−m=1=1\*GB3①，

设三角形F1PF2的内切圆的半径为r，

则由等面积可得12⋅2c⋅y0=12r(|PF1|+|P3.设F1，F2同时为椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2：x2a12−y①若|F1F②若|F1F③若|F1F2|=4|MF2④若|F1F2|=4|M其中所有正确结论的编号是A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】解：如图，设|MF1|=m，|MF2|=n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n=2a，由双曲线定义可

得m−n=2a1，解得m=a+a1，n=a−a1．

对于①②，当|F1F2|=2|MO|时，则∠F1MF2=90°，所以m2+n2=4c2，

即a2+a12=2c2，由离心率的公式可得1e12+1e22=2，故②正确．4.(多选)已知F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记▵AF1A.I1、I2在直线x=a上 B.双曲线的离心率e=2

C.▵ABF1内切圆半径最小值是32【解析】解：对A：过I1分别作AF1、AF2、F1F2的垂线，垂足分别为D、E、∵AF1又∵F1F∴OF=a，即I1同理可得：I2在直线x=a上，A对B：∵∠I1F2A=∠∴∠I易得I1FF2F∴c=2a，故离心率为e=ca=2对C：∵e=2，则c=2a,b=∴F22a,0，双曲线的渐近线方程为y=±3设直线AB的方程为x=my+2a，m∈−联立方程x=my+2ax2a2−∴y则|y设▵ABF1内切圆半径为r=4a+12a根据▵ABF1的面积可得：得r=4ay1−y对D：由题意不妨设∠I1F2∵2α+θ=π，则α=令t=∴r1=FF由对勾函数的图象与性质，可知y=t+1t在∴r1+故选：ABC．5.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C与双曲线C'：2x2a2【解析】解：双曲线C'：2x2a2−y2=1化为标准方程是x2a22−y2=1，

因为椭圆C与双曲线C'：2x2a2−y2=1共焦点，

所以可设椭圆C与双曲线C'的半焦距都为c．

设双曲线C'：x2a22−y2=1的实半轴为a'，则a'=22a．

不妨设交点M在双曲线C'的右支上，

根据双曲线的定义，得|MF1|−|MF2|=2a'=2a，

根据椭圆的定义，得|MF1|+|M所以△MF1F2的面积是S=16.椭圆x225+y29=1的弦被点(1, 2)平分，则此弦所在直线的斜率为

，若F1、F【解析】设弦的端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

代入椭圆的方程得：x1225+y129=1=1\*GB3①，x2225+y229=1=2\*GB3②，

由=1\*GB3①=2\*GB3②得9(x1+x2)(x1−x2)+25(y1+y2)(y1−y2)=0，

因为弦的中点坐标为(1, 2)，

所以7.已知F1，F2分别为双曲线x22−y26=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点(点A位于第一象限)，圆C与【解析】由双曲线x22−y26=1的方程可知，实半轴长a=设圆C与△AF1