专题24.10平面向量的线性运算（高效培优讲义）数学沪教版九年级上册

专题24.10平面向量的线性运算教学目标理解向量的数乘；掌握向量的线性运算；会用向量的线性组合表示向量。教学重难点1.重点（1）向量的数乘及其表示、运算；（2）单位向量、平行向量及其在向量表示中的应用；（3）平面向量的线性运算及其几何应用。2.难点（1）概念辨析；（2）平面向量的分解式；（3）平面向量的几何应用。知识点1实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义：要点：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量的相乘的运算律：【即学即练】【分析】根据向量运算的法则先去括号，然后合并即可得出答案.【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握去括号法则是解题关键.2．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（）A．n表示n个相乘 B．n表示n个相加C．n与是平行向量 D．n与n互为相反向量【答案】A【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．【详解】根据向量的性质和意义，可知：A、n表示n个相加，错误；B、n表示n个相加，正确；C、n与是平行向量，正确；D、﹣n与n互为相反向量，正确；故选A.知识点2平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点：要点：【即学即练】1．已知与单位向量的方向相反，且长度为4，那么表示为．【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键．根据向量的表示方法，可直接进行解答．【详解】解：∵的长度为，向量是单位长度，∵与单位向量的方向相反，【分析】本题主要考查了线性向量，掌握向量的线性运算成为解题的关键．根据向量的线性运算法则求解即可．故答案为：．3．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）【答案】C【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．【详解】A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选C．【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．知识点3向量的线性运算1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．向量的分解：要点：一组基底中，必不含有零向量．(3)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解决平面几何问题：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【即学即练】1．作图题：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案；（2）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案.【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算及三角形法则解题的关键．【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握三角形法则．利用三角形法则求解即可．题型01作图理解向量的数乘【答案】见解析【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可；与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可；【详解】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键.【变式1】．已知非零向量，求作，．【答案】见解析【详解】解：如图，向量和向量即为所作．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型．题型02向量数乘的运算律【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可；（2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可；（3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可．【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键．【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解．【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解．题型03解向量数乘有关的方程【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可．【分析】利用解一元一次方程的解法步骤求解即可．【点睛】本题考查平面向量的简单计算，借助一元一次方程的解法步骤求解是解答的关键．【分析】根据向量运算法则计算即可．+4＝4【点睛】考查了平面向量，实数的运算定律同样应用于平面向量的计算．题型04含单位向量的向量表示问题【答案】【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案.故答案为：【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义.【变式1】．已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么．（用含向量式子表示）【答案】【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5，故答案为：．【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答．【答案】【分析】根据向量的表示方法可直接得出答案．向量与单位向量的方向相反，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量有关知识，难度较小，解题的关键是掌握单位向量的定义．题型05概念综合辨析Ⅰ（向量平行）【答案】D【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可．故选：D【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键．【答案】B【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键．根据平行向量的性质即可解决问题．故选：．【答案】A【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．故选A．【答案】B【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，根据定义逐项分析即可．故选：B．题型06概念综合辨析Ⅱ【典例1】．下列命题中正确的是（

）D．与是平行向量【答案】D【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断．【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意．D.与是平行向量，故该选项正确，符合题意；故选：D．【变式1】．已知、为非零向量，下列判断错误的是（

）【答案】C【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可．故选：C．【变式2】．下列命题正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质．由平面向量的基本概念和性质，即可判断．【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意；B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意；故选：D．【答案】①【分析】本题考查了平行向量，单位向量，零向量等知识．熟练掌握平行向量，单位向量，零向量是解题的关键．根据平行向量，单位向量，零向量的定义判断作答即可．单位向量方向不同，单位向量不都相等，故③不符合要求；一个向量与零相乘，乘积为零向量，故④不符合要求；故答案为：①．【变式4】．下列命题中，错误的是（

）【答案】C【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，根据平面向量的性质一一判断即可．故选：C．题型07向量的概念或表示难点辨析【答案】B【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．故选：B．【变式1】．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（）【答案】B【分析】本题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念．根据向量相等的基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同．故选：B．题型08向量数乘在几何平行问题中应用【答案】则DE：BC=1：2故答案为：．【答案】【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解．故答案为：．题型09作图—平面向量的线性运算（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）

【答案】见解析【分析】根据平面向量的加减运算法则解答；由平面向量的几何意义作图．作图：

∴如图，为所求向量．【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用．题型10平面向量的线性运算，，，，，．【分析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解．【点睛】本题主要考查向量的加减运算法则，熟练掌握向量的加减运算法则是解题关键．【答案】D故选：D【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出的值，再根据求，即可得出答案．【答案】【详解】解：如下图：连接和，故答案为：题型11平面向量有关的分向量或分解式(2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）(2)见解析【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题．（1）利用三角形法则求出，，再利用相似三角形的性质求出，；（2）利用平行四边形法则画出图形．【分析】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键.首先由向量的知识，得到和的值，即可得到的值.(1)用表示和；(2)求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）(2)见解析在、方向上的分向量如图所示，、即为所求；【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性计算解题的关键．题型12重心的性质在平面向量线性运算的应用【详解】解：延长交于点，【详解】解：∵中线、交于点G，【详解】解：连接并延长交于点M，【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键．题型13相似三角形在平面向量线性运算的应用(1)求的长；【答案】(1)2本题考查相似三角形的判定与性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．是的中点，(1)求的长；【答案】(1)【分析】（1）根据平行线的性质，三角形的相似判定和性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定，解答即可．（2）利用相似，和向量和计算即可．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的相似判定和性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定，向量的基本计算，熟练掌握三角形相似的判定和性质，向量的计算是解题的关键．一、单选题1．下列判断错误的是（

）．【答案】D【分析】根据零向量，平行向量，单位向量等知识进行判定即可求解．【详解】解：、与任何向量的乘积都是零向量，故原选项正确，不符合题意；、两个向量的模相等，则两个向量的长度相等，当方向不确定，故原选项错误，符合题意；故选：．【点睛】本题主要向量的概念及计算，理解并掌握零向量，平行向量，单位向量等知识是解题的关键．2．下列关于向量的说法中，不正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查了向量与实数的运算，向量既有方向性又有大小，解决本题的关键是根据向量的性质进行运算法则逐一进行判断即可．故选：D．【答案】B【详解】解：如图所示：故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点，故选A．【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．5．已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（

）【答案】C【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．故选C【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．A． B． C． D．【答案】D故选D．二、填空题【分析】本题考查了向量的线性运算；根据向量的运算法则进行计算即可．【分析】根据向量的线性法则解答．【点睛】此题考查了向量的计算法则，熟练掌握向量的线性计算法则是解题的关键．9．长度为的倍，且与是平行向量的向量是．【答案】或/或【分析】根据向量的方向相同或相反，即可求解．【详解】解：长度为的倍，且与是平行向量的向量是或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况．10．已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为．【答案】3【分析】由向量与单位向量的方向相反，且长度为3，根据向量的定义，即可求得答案．【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，||=3，∴=3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．【点睛】本