广东省广州奥林匹克中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

第1页/共1页广州奥林匹克中学2024—2025学年下学期高一年级期中考试命题：审题：考试时间120分钟满分150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算：（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法法则计算即可.【详解】.故选：D.2.已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测法知，所以求出四边形面积，即可求出结果.详解】根据直观图知，又因为，所以，故选：B.3.已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时，不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，故选：A4.已知为不共线向量，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】A【解析】【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断.【详解】由题设，，，，与有公共端点，所以三点共线，A对；，，不存在，使，所以与不共线，即三点不共线，B错；，，不存在，使，所以与不共线，即三点不共线，C错；，，不存在，使，所以与不共线，即三点不共线，D错；故选：A5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（）A.3 B.C. D.3【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；【详解】因，，且，所以，化为.所以，解得.所以.故选：C.6.在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.7.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论．【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，又，所以是等边三角形，，设，则，作于，则，所以，即为向量在向量上的投影向量，．故选：B．8.已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则复数在复平面内对应的点在第四象限C.若复数是纯虚数，则实数的值为2D.若是关于的方程（）的根，则【答案】AC【解析】【分析】利用复数的模的定义计算判断A；利用复数对应点的坐标判断B；利用纯虚数的定义计算判断C；把根入方程，利用复数相等的条件计算可判断D.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则复数在复平面内对应的点的坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第二象限在第四象限，故B错误；对于C，若复数是纯虚数，则，解得，故C正确；对于D，若是关于的方程（）的根，则，整理可得，所以，解得，故D错误.故选：AC.10.已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则有一解B.若，则无解C.若，则有一解D.若，则有两解【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案.【详解】A选项，因，所以，故，则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；B选项，若，由正弦定理得，即，解得，无解，故B正确；C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角，不可能，则无解，故C错误；D选项，若，由正弦定理得，即，解得，因为，所以或，所以有两解，D正确.故选：ABD.11.如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（）A.圆锥的体积为B.圆锥的表面积为C.的面积的最大值是D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为【答案】AB【解析】【分析】由圆锥的底面半径和高，求出母线长，对于AB，代圆锥的体积公式和表面积公式计算可得；对于C，先求出轴截面的顶角，再代三角形面积公式计算；对于D，根据侧面展开图计算可得.【详解】圆锥的底面半径，高，所以母线长为2；对于A.圆锥的体积为，所以A正确；对于B.圆锥的表面积为，所以B正确；对于C.由轴截面为等腰三角形，且顶角为，当等腰的顶角为时，的面积取得最大值为：，所以C错误；对于D.圆锥的底面圆周长为，所以侧面展开图的圆心角为，所以圆锥侧面展开图中圆弧，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段，且，所以D错误；故选：AB三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________．【答案】【解析】【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到，又圆柱母线长为，所以圆柱的体积为，故答案为：.13.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为__________；正三棱锥的侧面积为__________.【答案】①.3②.【解析】【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，再计算出侧面积即可.【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，，，，故，侧面积.故选：3；.14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则点的坐标_____.【答案】【解析】【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解.【详解】由题意可得，因为点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，所以，设点坐标为，则，解得，，即点的坐标为，故答案为：四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知向量，，与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）当为何值时，．【答案】（1）（2）（3）3【解析】【分析】（1）由向量数量积定义计算可得，利用和数量积的运算求解即可；（2）由数量积的运算计算可得答案；（3）由向量垂直与数量积的关系可得，利用数量积的运算可得答案．【小问1详解】，，.【小问2详解】.【小问3详解】，，即，.16.如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形来证明线线平行，进而证得线面平行；（2）利用等体积法可求体积.【小问1详解】取中点，连接，如图所示，∵为的中点.，∴且，又为的中点，又∵，且，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面；平面，∴平面．【小问2详解】.17.如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．（1）求A，N之间的距离（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之间的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，在中利用正弦定理求解作答.（2）在中由正弦定理求出，结合（1）的结论，再在中利用余弦定理求解作答.【小问1详解】在中，由正弦定理得，即，所以．【小问2详解】在中，由正弦定理得，即，因此，而，，，，，则，由（1）得，在中，，由余弦定理得，所以MN之间的距离为．18.已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆.（1）求其母线长；（2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积；（3）求此圆锥外接球的表面积.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积建立的方程求解即可.（2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积.（3）画出图形，根据即可求得半径.【小问1详解】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为，高为，由题意知，侧面展开图的弧长，则，则圆锥高，由其轴截面的面积为，解得，则，则其母线长为.【小问2详解】设正四棱柱的高为，棱长为，则，则正四棱柱的底面对角线的长为，底面对角线的一半长为，由图可得，所以，故正四棱柱的体积为，因圆锥体积为.所以该几何体的体积为.【小问3详解】设底面圆周上一点为，底面圆心为，球心为，球的半径为，则在中有，，即，得，则圆锥外接球的表面积为19.从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．（1）求角的大小；（2）求取值范围；（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角结合辅助角公式化简，可得答案；选②，利用正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角三角函数关系化简，可得答案；选③，利用同角三角函数关系结合两角和的正弦公式化简，可得答案；（2）确定锐角中角A的范围，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案；（3）确定；令，由正弦定理推出，结合余弦定理推得，利用三角形面积公式结合正弦函数最值，即可求得答案【小问1详解】若选①：由正弦定理得，即因为，所以，所以，整理得，又因为,则，所