高一数学期末模拟卷（全解全析）

1/182024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，，则C．若，则D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量【答案】D【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错；B：若为零向量时，不一定共线，错；C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错；D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对.故选：D2．为不同的平面，为不同的直线，则下列判断正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【详解】A选项，若，，则m与n可能相交、异面或平行，A错误；B选项，若，，则或，B错误；C选项，根据线面垂直的性质定理，若，，则，C正确；D选项，若，，则或，D错误.故选：C3．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设底面的面积为，当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为，设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为，则水的体积为，所以，所以，设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得.故选：D.4．已知复数，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为，所以在复平面内对应的点在，位于第二象限.故选：B5．“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线，可得解得且，所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选:C.6．甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（

）A．0.4 B．0.6 C． D．0.76【答案】C【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件，则恰有一人破译密码为，而互斥，由互斥事件概率公式得，由题意得相互独立，相互独立，由独立事件概率公式得，，由题意得，，则，，得到，则恰有一人破译密码的概率为，故C正确.故选：C7．在中，若，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】C【详解】解：，可得，由余弦定理可得，整理可得：，即，所以或，即或∴的形状是等腰或直角三角形.故选：C8．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点.我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，设，则，又，所以在中，，①在中，，②联立①②，解得故选：B.9．某地自2018年起实行湖长制后，境内湖泊水质不断提升．为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法正确的是（

）A．估计该地水质差的湖泊数量逐年递增B．估计该地水质好的湖泊数量逐年递增C．该地平均每年新增8个湖泊D．估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊【答案】B【详解】对于A，根据题图可得，2018年到2022年，估计该地水质差的湖泊总量分别为，，，，，故A错误；对于B，根据题图可得，2018年到2022年，估计该地水质好的湖泊总量分别为，，，，，该地水质好的湖泊总量数逐年递增，故B正确；对于C，根据题图中湖泊总量折线图可得，从2018年到2022年，该地平均每年新增的湖泊个数为，故C错误；对于D，从2018年到2022年，估计该地平均每年新增水质好的湖泊个数为，故D错误．故选：B10．窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（

）

A．的最大值为B．在方向上的投影向量为C．D．若函数，则函数的最小值为【答案】A【详解】

如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设，在中，由余弦定理，，解得.则.对于A，取中点为，则，则，两式相减，可得，从而，由正八边形的对称性，可知当点与点或点重合时，取最大值.此时不妨取，则，故的最大值为，故A正确；对于B，因，则在方向上的投影向量为：，故B错误；对于C，，而，故，即C错误；对于D，因，，则，则当时，，故函数的最小值为，故D错误.故选：A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知向量，，，的夹角为，则.【答案】【详解】，故答案为：.12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则.【答案】【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为，由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，则解得.故答案为：13．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则．【答案】250【详解】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为，所以，解得，从而．故答案为：25014．在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．【答案】/【详解】如图建立平面直角坐标系，易知，则，所以，又，则，所以，设，所以，又为中点，所以，所以，则，图象开口向上，对称轴为，又，由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为，故答案为：##，.15．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的①．在点运动过程中，直线与始终为异面直线②．三棱锥的体积为定值③．异面直线与直线所成的角为定值④．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面【答案】①②③【详解】对于①：由题意，在正方体中，点在线段上运动，，平面，平面，所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内，所以直线与始终为异面直线，故A正确；对于②：由三棱锥的体积，其中的面积为定值，因为，平面，平面，所以直线平面，所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于③：在正方体中，平面，因为平面，所以，又由，，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以异面直线与直线所成的角为，故C正确；对于④：根据正方体的结构特征，可得，又平面，平面，所以平面，又由选项B的解析过程知平面，，平面，所以平面平面，所以当点与点重合时，平面平面，即存在点，使得平面平面，故④错误.故选：①②③三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）如图，在边长为的正方体中，为中点，(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．【详解】（1）在边长为的正方体中，设，交于点，连结，是中点，而为中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）在边长为的正方体中，平面，所以三棱锥的体积为．17．已知平面向量，满足，且与的夹角为．(1)求的值；(2)求的值；(3)求与夹角的余弦值．【详解】（1）由可得；（2）（3）.即可得与夹角的余弦值为.18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.【详解】（1）由，得，在中，由余弦定理，得，又，所以.（2）由，解得，，由余弦定理，得，解得，所以的周长为.19．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数；(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率.【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为，由各组频率知第百分位数，由，解得，所以第85百分位数为.（2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人，不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为：甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙,乙,乙,乙，乙，乙丙，丙,丙,丙,丙，丙，，共28种，其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种，所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：.20．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面(3)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值.【详解】（1）如图：取的中点，连接，则，且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，由题设易知为直角梯形，且，则，所以，因为，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即，因为，平面，所以平面.（3）如图：取的中点，连接，则，由（2）知平面