高一数学期末模拟卷01（全解全析）（人教A版2019）

1/182024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019必修第二册。5．难度系数：0.64。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则它的虚部是，故选：D.2．某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意得，解得，所以从部门抽取员工的数量为.故选：B3.某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：162

162

163

165

165

165

165

167

167

167168

168

170

170

171

173

175

175

178

178则这20名队员身高的第75百分位数为（

）A．171 B．172 C．173 D．174【答案】B【解析】由，得这20名队员身高的第75百分位数为，故选：B.4.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生.故选：D.5.已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，所以在上的投影向量为.故选：B6.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形【答案】B【解析】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形状为直角三角形.故选：B.7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点为，连接，显然，所以，故选：A8.某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切，则圆台内切球的球心O在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，且，，则，同理，所以，过A作，垂足为G，则，所以，，即圆台的高为，该圆台的体积为，解得，则球的直径，半径为，则球的体积为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设为复数（为虚数单位），下列结论正确的是（

）A．对任意复数，，有B．对任意复数，，若，则C．设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限D．设，在复平面内对应的点为，满足条件的点的集合所构成区域的面积为【答案】AC【解析】对于A：设、，则，，故，故A正确；对于B：令，，则，，所以，，满足，但是，故B错误；对于C：因为，所以，则，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确；对于D：设，因为，所以，则，表示以为圆心，大圆的半径，小圆的半径的圆环（不包含小圆上的点），所以满足条件的点的集合所构成区域的面积为，故D错误.故选：AC10.已知中，，，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（

）A．B．最大值为C．在上的投影向量为D．若，且B，M，P三点共线时，【答案】ABD【解析】对于A：因为是的中点，所以，故A正确；对于B：在中，，，可得平分，所以，，所以，设与的夹角为，又，所以，当时，的最大值为，故B正确；对于C：在上的投影向量为，故C错误；对于D：若，且三点共线时，可得平分，从而可得，所以，两边平方可得，所以，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（

）A．时，平面B．时，平面平面C．任意，三棱锥的体积为定值D．过点的平面分别交于，则的范围是【答案】ACD【解析】如图，设的中点为，的中点为，直线与直线和分别交于点.对于A，当时，是的中点，而是的中点，所以，而在平面内，不在平面内，所以平行于平面，A正确；对于B，假设平面平行于平面，由于在平面内，故平行于平面.由于是的中点，是的中点，所以，.这就得到四边形是平行四边形，所以，且该平行四边形确定一个平面.由于在平面内，平行于平面，平面和平面有公共点，所以平面和平面有一条过的交线，且该直线平行于.又因为，所以该交线就是，这意味着在平面内，再由在直线上，知四点共面，这与正方体的性质矛盾.故平面与平面不平行，B错误；对于C，由于，在直线上，所以到直线的距离恒为定值.同样因为，可知一对平行线和确定一个平面，设到平面的距离为，则由在直线上，可知到平面的距离为.从而，恒为定值，C正确；对于D，由于均在平面上，故是和的交点，是和的交点.同时，我们有，.当时，由相似三角形知识可得，.所以，.从而，.注意到的中点为，则当时，分别与重合；当时，分别与重合，容易验证知，亦成立.所以，而，所以的取值范围是，D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，则的最大值为．【答案】【解析】设，则，因为表示以为圆心，为半径的圆，所以可理解为圆上的点到的距离，故的最大值为．13.某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为．【答案】【解析】依题意，，，，∴（分），∴全班学生的平均成绩为分．全班学生成绩的方差为14.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为米.

【答案】90【解析】中，，，则，由图可知，，则，中，由正弦定理，得，中，（米），四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中.(1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.(2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.【解】（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为…2分则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为…3分二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，…………4分则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为……6分（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为.…………7分二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为.…………9分故.……11分因为，所以.又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.…………13分16.(本小题满分15分）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值．(2)求的取值范围．【解】（1）设的外接圆半径为．由正弦定理，得，，．…………2分因为，则，整理得，…………4分由余弦定理得，即，…………5分又因为，则，可得，所以．………7分（2）由正弦定理可得，则…………10分因为是锐角三角形，则，解得，…………12分则，可得，…………14分所以的取值范围是．…………15分17.(本小题满分15分）某中学举办诗词大会选拔赛，需要从甲、乙两位选手中选出一位代表学校参加全国诗词大会，甲、乙两位选手需要分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．(1)求甲恰好抽到2道选择题的概率；(2)求甲答对的题目比乙多的概率．【解】（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，…………1分随机抽取2道题作答，则试验的样本空间，共10个样本点，…………3分记事件“甲恰好抽到2道选择题”，则，，所以甲恰好抽到2道选择题的概率为.…………5分（2）设事件，分别表示甲答对1道题，2道题，事件，分别表示乙答对0道题，1道题，则，，，，…………8分记事件“甲答对的题目比乙多”，则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，……10分因此，，，…………13分于是，所以甲答对的题目比乙多的概率为.…………15分18.(本小题满分17分）如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.(1)求证：平面；(2)若，求证：；(3)求四面体体积的最大值【解】（1）证明：∵四边形，都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，

…………2分∴，∵平面，∴平面；…………4分（2）证明：连接，设，∵平面平面，且，…………6分∴平面，∴，又，∴四边形为正方形，∴，

…………8分∴平面，又平面，∴，…………10分（3）解：设，则，其中，…………11分由（1）得平面，∴四面体的体积为：

，

…………15分

时，四面体的体积最大，其最大值为.…………17分19.(本小题满分17分）“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”．(1)求角；(2)若，求的周长；(3)若，求实数的值．【解】（1）因为，由正弦定理得即：，…………2分所以所以，即，…………4分所以，得；…………5分（2），因为，所以，………………