北师大版（2019）数学必修第二册：1.7.3《正切函数的图象与性质》听评课记录x

北师大版（2019）数学必修第二册：1.7.3《正切函数的图象与性质》听评课记录x一.基本信息

听课日期为2023年10月26日，听课时间为上午第二节课，授课教师为李明，学科/课程名称为高中数学，班级/年级为高一（3）班，教学主题或章节为北师大版（2019）数学必修第二册：1.7.3《正切函数的图象与性质》。

听课人姓名为张华，听课人职务为高中数学教研员，听课目的为教学研究，重点关注新课标下函数图象与性质的教学设计及学生核心素养的培养。

二.课堂观察记录

1.教学准备：教师的教学计划清晰，教学目标明确，包含正切函数图象的绘制方法、性质分析及实际应用。教学资源准备充分，包括教材、多媒体课件（含动态图象演示）、几何画板软件等，教具方面准备了直尺和坐标纸，为后续学生自主绘制图象做准备。课件设计合理，通过动画演示正切函数的周期性和奇偶性，符合学生认知规律。

2.教学过程：

开始阶段：教师以复习正弦、余弦函数图象的绘制方法导入，通过提问“正切值的符号分布规律”引发学生思考，导入自然且能激活已有知识。

展开阶段：采用讲授与实验结合的方式。教师首先利用多媒体动态展示正切函数在一个周期内的图象绘制过程，并引导学生观察图象的无限延伸性、不连续点（π/2+kπ，k∈Z）及对称轴。随后小组合作，要求学生利用几何画板软件绘制正切函数图象，并记录关键点（如(π/4,1)、(3π/4,-1)等）。教师巡视指导，针对个别小组操作问题进行纠正。最后通过课堂展示、对比分析，归纳正切函数的性质（周期性T=π，奇函数，单调区间等）。

结束阶段：教师带领学生总结本节课核心内容，并布置分层作业——基础题要求绘制正切函数图象并标注性质，拓展题要求结合生活实例（如雷达探测信号）分析正切函数应用。

3.师生互动：师生交流频繁，教师通过“为什么正切函数没有最大值最小值”“如何判断正切函数的单调性”等问题引导学生深入思考。学生参与度高，约80%的学生能主动回答问题或提出疑问。小组合作中，学生分工明确，部分小组通过讨论纠正了初始绘图的错误（如忽略不连续点）。教师对学生的回答给予及时反馈，如对“正切函数是奇函数”的证明给予肯定，并鼓励学生用类比方法分析其他函数。

4.学生学习状态：学生学习积极性高，尤其在实验环节表现出浓厚兴趣，通过动手操作加深对图象性质的理解。专注度整体良好，课堂违纪现象较少。合作学习中，部分学生能主动分享绘图技巧，如利用对称性减少关键点标注量。但也存在个别学生因几何画板操作不熟练而分心，教师通过个别指导帮助其跟上进度。

5.课堂管理：课堂纪律良好，教师通过提问和演示控制节奏，避免长时间讲授。时间分配合理，导入5分钟，展开阶段25分钟（含实验15分钟），总结作业布置5分钟，预留5分钟答疑。课堂节奏张弛有度，动态图象演示环节学生注意力高度集中，实验环节则体现自主探究特点。

6.教学技术使用：现代教育技术使用有效，多媒体课件直观展示了正切函数的动态变化过程，几何画板软件支持学生个性化实验，突破了传统教学难以实现的无限延伸性演示。技术手段与教学内容高度契合，如通过动画对比正切函数与余切函数图象的异同，强化了性质辨析。技术支持不仅提升了教学效率，还培养了学生的数形结合能力。

三.教学效果评价

1.目标达成：本节课的教学目标明确且适切，符合高一学生的认知水平和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对函数图象与性质教学的要求。目标设定包含三个维度：知识目标（理解并掌握正切函数图象的绘制方法、性质），能力目标（能运用数形结合思想分析正切函数的周期性、奇偶性、单调性，并能解决简单问题），情感目标（培养探究兴趣，体会数学美）。从课堂观察和后续作业反馈看，目标达成度较高。知识目标方面，通过动态演示和小组实验，绝大多数学生能够准确描述正切函数图象的形状特征和关键点分布。能力目标方面，约75%的学生在实验报告中能正确运用数学语言（如“不连续点构成离散集”）解释性质，部分学生还能尝试用几何画板录制动画过程进行展示。情感目标方面，实验环节的自主探究激发了学生的好奇心，课堂讨论中积极发言的学生比例较平时提升20%，体现了对数学探究的兴趣。目标适切性体现在，教师设计的实验难度适中，既保证了基础知识的掌握，也为学有余力的学生提供了拓展空间（如思考正切函数与反三角函数的关系）。

2.知识掌握：学生对正切函数图象与性质的知识掌握较为扎实，主要体现在以下几个方面：

**（1）图象绘制方法掌握：**约90%的学生能够独立完成正切函数在一个周期内的图象绘制，关键点（π/4,1）、（3π/4,-1）等能准确标注。实验中，大部分学生能利用对称性（奇函数）减少绘图步骤，体现了对方法的迁移应用。少数学生在不连续点的标注上存在模糊，如将π/2误标为连续点，教师通过再次演示动态图象进行纠正。

**（2）性质理解与辨析：**学生对核心性质的理解程度较高。周期性T=π的理解普遍较好，课堂提问中80%的学生能正确回答“为什么正切函数的周期是π而非2π”。奇偶性证明环节，部分学生尝试用诱导公式推导，教师予以肯定并引导其对比sin(-x)/cos(-x)的符号分析，强化了数形结合的思维方式。单调性分析方面，约60%的学生能结合图象直观判断增减区间，但抽象表述（如“在(-3π/4,-π/4)上单调递增”）的准确率有待提高，课后作业中相关题目的错误率约为15%。

**（3）技能掌握程度：**绘图技能方面，通过实验环节，学生熟练度显著提升，从最初的平均5分钟绘制一个周期，到课堂展示时的2分钟完成，效率提升明显。分析技能方面，约70%的学生能在作业中运用正切函数性质解决简单方程（如tanx=1在[0,2π)的解）和不等式（如tanx>0的解集）。技术应用技能方面，几乎所有参与实验的学生都能掌握几何画板的基本操作，如录制动画、调整参数等，为后续学习其他函数图象提供了技能储备。

3.情感态度价值观：本节课在促进学生全面发展方面取得了积极效果，具体表现在：

**（1）探究兴趣与自主学习：**实验环节的设计充分调动了学生的主动性，约85%的学生在实验前能主动查阅教材或询问教师关于“正切值如何计算”的问题，体现了课前预习习惯的初步形成。小组合作中，部分班级出现了“互助型”学习小组，如擅长软件操作的学生指导绘图较慢的同伴，这种非强制性合作促进了同伴间的共同成长。教师对实验过程的鼓励性评价（如“你们的对称性利用很巧妙”）进一步强化了学生的成就感。

**（2）数学思维培养：**通过对比正切函数与余切函数图象（两者图象关于原点对称），学生自发提出了“为什么周期相同但图象形态不同”的疑问，教师抓住契机引导其分析定义域差异（cosx≠0vssinx≠0），培养了学生透过现象看本质的批判性思维。数形结合思想的渗透贯穿始终，如分析单调区间时，学生倾向于先观察图象趋势再归纳结论，而非单纯记忆结论。这种思维方式的内化在作业中表现明显，数形结合解题的占比较以往提升25%。

**（3）科学态度与价值观：**正切函数图象的无限延伸性引发了学生对“无限”这一哲学概念的思考，部分学生在实验报告中写道“看似简单的正切函数，背后竟有如此复杂的细节”，这种体验有助于培养学生严谨的科学态度。课堂中，教师对错误观点的包容性处理（如对π/2连续性误判的学生先肯定其观察角度，再纠正结论）也传递了“允许犯错、勇于修正”的科学精神。此外，结合生活实例（如雷达信号扫描）的应用拓展，学生体会到数学与实际的联系，增强了学习数学的价值认同感。

总体而言，本节课在知识传授、能力培养和素养提升方面达到了较好平衡。建议后续教学中可进一步增加变式练习，强化性质辨析的准确性，同时探索分层评价方式，满足不同层次学生的需求。

四、总结与建议

1.总体评价：本节课整体教学效果良好，展现了新课程理念下的教学实践探索。教师教学设计逻辑清晰，环节过渡自然，能够有效结合高一学生的认知特点，将抽象的函数图象与性质教学转化为直观、可操作的探究活动。最突出的优点在于教师对现代教育技术的创新性运用，特别是几何画板软件与动态图象的结合，极大地提升了教学的直观性和互动性。通过动态演示，学生能够直观感知正切函数图象的无限性、不连续性和周期性，这种“可视化”的学习方式有效突破了传统讲授模式下学生难以理解的难点。此外，实验环节的设计充分体现了以学生为中心的教学思想，通过自主探究、合作交流，不仅巩固了知识，更培养了学生的数学思维能力、技术应用能力及合作精神。课堂氛围活跃，学生参与度高，体现了教师良好的教学调控能力和课堂驾驭能力。

2.改进建议：尽管本节课取得了较多亮点，但仍有提升空间，具体建议如下：

**（1）深化性质辨析的教学设计：**目前学生在单调性等性质的抽象表述上存在模糊，课堂提问和作业反馈显示，约40%的学生对单调区间的区间端点（如π/2+kπ）的理解停留在“不包含”的层面，但无法清晰解释原因。建议后续教学可增加“思想实验”环节，例如：提问“如果尝试在π/2处取一点，tanx的值会如何变化？定义域允许吗？”，引导学生从函数值的连续性和定义域限制双重角度理解不连续点与单调区间的边界关系。同时，设计对比性练习，将正切函数与反比例函数（y=k/x）的单调性进行类比，强化学生对“分母为零导致不连续”这一本质原因的把握。

**（2）加强分层指导与个别化支持：**实验环节中观察到，约15%的学生因几何画板操作不熟练而进度滞后，影响了探究效果。建议在实验前增加5分钟的微课演示，并提供操作指南的电子版，允许学生根据自身情况选择性预习。在实验过程中，教师可引入“技术帮扶岗”，由熟练操作的学生协助同伴，教师则重点关注操作困难群体。此外，针对性质记忆困难的学生，可设计“记忆卡片”等辅助工具，如正面写性质，背面写图象特征，帮助其建立知识联结。

**（3）拓展性质应用的教学维度：**本节课主要聚焦于正切函数的图象绘制和基本性质，对于性质的综合应用（如与三角恒等变换、解三角形等知识的结合）涉及较少。建议在后续课程中，设计跨学科的应用情境，例如：结合物理学科中的简谐振动方程分析正切型函数模型，或创设实际测量问题（如坡度变化的正切描述），引导学生体会数学知识在解决实际问题中的作用，提升应用意识。

**（4）优化技术使用的反馈机制：**虽然几何画板的应用提升了教学效果，但部分学生仅停留在“模仿操作”层面，未能实现技术向思维的转化。建议在实验后增加“技术反思”环节，要求学生提交简短报告，说明“通过操作发现了什么数学规律”或“如何改进软件演示更直观地表达性质”，教师据此调整后续的技术应用策略，确保技术工具始终服务于数学思维的培养。

如何进一步提升教学质量？可以从以下三个层面着手：首先，在教学内容层面，建议教师深入研读课标，挖掘函数图象与性质与其他高中数学知识（如导数、向量）的联系，构建知识网络，培养学生的数学整体观。其次，在教学方式层面，可尝试引入“概念图”等可视化工具，引导学生自主梳理知识结构，并通过“一题多解”“多题归一”等训练，深化对性质的理解。最后，在教学评价层面，建立过程性评价体系，将课堂参与、实验报告、作业质量、反思总结等多维度纳入评价范围，关注学生的思维成长过程，而非仅以结果定优劣。

3.后续跟踪：建议安排一次后续听课，重点观察改进建议的实施效果，特别是性质辨析环节的教学设计是否优化、分层指导是否有效。计划采取以下支持措施帮助教师成长：

**（1）专业发展工作坊：**邀请市教研员或高校数学教育专家，围绕“函数性质教学中的思维可视化”主题开展专题培训，分享国内外先进教学案例，帮助教师更新教学理念。

**（2）集体备课与教学研讨：**同年级教师开展“正切函数性质”的集体备课，集体研磨教学设计，共享教学资源（如微课视频、分层练习题库）。课后定期开展教学研讨，针对课堂