【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题12.11 三角形全等的判定-HL（名师详细解析）

专题12.11三角形全等的判定-HL（专项练习）一、单选题1．如图，若，则的理由是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．HL2．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（

）A． B． C． D．3．如图，，，垂足分别是，，，，则等于（

）A． B． C． D．4．如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．E为BC中点6．如图，在和中，，，，则（

）A．30° B．40° C．50° D．60°7．如图：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，则下列说法正确的有几个（

）（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；

（4）AE⊥DE．（5）DE=AEA．2个 B．3个 C．4个 D．58．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（

）A． B． C． D．9．如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是(

)A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③10．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为()A．60° B．75° C．90° D．120°11．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝90°，∠ACD＝∠ACB，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为()A．145° B．130° C．110° D．70°12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°二、填空题13．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．14．如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．15．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．16．如图，中，点为的中点，的平分线与的中垂线交于点，连接，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，，则的长为_______．17．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．18．如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为___________．19．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．21．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____．22．如图所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．23．在中，，，，于，，两点分别在边和射线上移动．当，______时，和全等．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB=____．三、解答题25．如图，、相交于点，，于点，于点，且．求证：．26．如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．27．已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．(1)如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；(2)如图2，当D点不在直线BC上时，BE、CD相交于M，①直接写出∠CME的度数；②求证：MA平分∠CME28．动手操作：如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.问题解决：(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证：△CAN≌△CMN.实验探究：直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.参考答案1．D【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．解：∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．2．A【分析】由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．解：在和中∴故选A【点拨】此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．3．D【分析】根据已知条件可以利用，判定，全等后可得，再根据直角三角形两个锐角互余，可求得，进而可求得．解：证明：，，，在和中，，，∴，在中，,∴，∴,故选：D．【点拨】本题考查全等三角形的判断定理，HL定理，根据已知条件求证是解题关键．4．D【分析】由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可.解：由题意知在和中：∵∴(HL)∴，∴（1）、（3）正确∵，∴∴（2）正确故选：D【点拨】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键．5．D【分析】首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断．解：∵，∴和为直角三角形，在和中，，∴，∴，，，∵，∴，∴，故A、B、C正确，故选：D．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．6．D【分析】由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可．解：∵∴△ABC和△ADC均为直角三角形在和中∵∴∴∵∴故选D．【点拨】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．7．B【分析】过点E作EF⊥AD垂足为点F，证明△DEF≌△DEC（AAS）；得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；得出AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，即可得出答案．解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为点F，可得∠DFE＝90°，则∠DFE＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠FDE＝∠CDE，在△DCE和△DFE中，，∴△DEF≌△DEC（AAS）；∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，∵E是BC的中点，∴CE＝EB，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，∴AE平分∠DAB，故结论（1）正确，则AD＝AF+DF＝AB+CD，故结论（3）正确；可得∠AED＝∠FED+AEF＝∠FEC+∠BEF＝90°，即AE⊥DE故结论（4）正确．∵AB≠CD，AE≠DE，（5）错误，∴△EBA≌△DCE不可能成立，故结论（2）错误．综上所知正确的结论有3个．故答案为：B．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等内容，作出辅助线是解题的关键．8．C【分析】证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．解：，，在和中，，，，，cm，cm．故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．A【分析】利用HL证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，可判断各结论．解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．则①AB＝DE,正确；②∠ABC＝∠DEF,正确；③∠ACB＝∠DFE,正确；∵∠DEF+∠DFE=90°④∠ABC＋∠DFE＝90°正确；故选A．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是判断△ABC≌△DEF，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．10．C【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．解：如图，∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠1=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠ACB+∠DEF=90°．故选C．【点拨】本题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．11．C【分析】根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠ACD=∠ACB=55°，即可求∠BCD的度数．解：∵∠ABC=∠ADC=90，∴Rt△ADC与Rt△ABC中，CB=CD，AD=AD∴△ABC≌△ADC，又∠ACB=55°，∴∠ACD=∠ACB=55°，∠BCD=∠ACD+∠ACB=110°．故选C．【点拨】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质.解题关键点：根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠ACD=∠ACB．12．B解：试题分析：先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠2=∠3，∠1=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°．故选B．点评：本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．13．225°【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．解：如图所示：在△ABC和△AEF中，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5=∠BCA，∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，在Rt△ABD和Rt△AEH中，∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），∴∠4=∠BDA，∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，∵∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．故答案为：225°．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．14．12cm或6cm##6cm或12cm【分析】当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝6cm＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∵，∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝12cm＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：12cm或6cm．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．15．2或4##4或2【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．解：设点P的运动时间为t秒，∵，，∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．故答案为：2或4．【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．16．7.2【分析】根据题意，连接AE、CE，利用DE垂直平分AC，BE平分∠MBC，推出Rt△AME≌Rt△CNE（HL），得出AM=CN，进而证明，通过等边代换计算即可．解：连接AE、CE，如图：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，AD=CD，又∵BE平分∠MBC，EM⊥BM，EN⊥BC，∴EM=EN，∠M=∠ENC=90°，∴Rt△AME≌Rt△CNE（HL），∴AM=CN=2，同理可证，，，，故答案为：7.2【点拨】本题考查了HL判定直角三角形全等，三角形全等的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握HL判定直角三角形全等是解题的关键．17．2【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．解：AB⊥AD，CE⊥BD，，在与中，，，AD＝5，CD＝7，，BD=CD＝7，故答案为：2【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．18．【分析】先证明Rt△CDA≌Rt△CBA得到，再由角平分线的定义求出∠EDC=45°，最后根据三角形内角和定理求解即可．解：∵，，∴∠CDA=∠CBA=90°，在Rt△CDA和Rt△CBA中，，∴Rt△CDA≌Rt△CBA（HL），∴，∵DE平分与∠ADC相邻的角，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，∴∠CED=180°-∠DAE-∠ADC-∠EDC=15°，故答案为：15°．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．19．8【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．解：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，在Rt△ADB和Rt△CEA中，∵AB=AC，BD=AE，∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL），∵BD=3，CE=5，∴AE=BD=3，AD=CE=5，∴DE=AD+AE=8．故答案为：8．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键．20．【分析】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案．解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，∵AD⊥BC于点D，∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°∴∠AGD=∠B，∵AE//BC，∴∠EAH=∠B，∴∠EAH=∠AGD，∵AE=AB，∴AE=AG，在△AEH和△GAD中，，∴△AEH≌△GAD（AAS），∴EH=AD，AH=GD，在Rt△EHF和Rt△ADC中，，∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），∴FH=CD，∴FH-AH=CD-GD，∴AF=GC，∴，∴S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．21．5【分析】过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），得BE=CF，AE=AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF=DE=3，则CF=CD+DF=5，即可求解．解：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：记交于点则∠AFC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AED=90°，∵∠BDC=∠BAC，∴∠ABE=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE=CF，AE=AF，在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴DF=DE=3，∴CF=CD+DF=5，∴BE=CF=5，故答案为：5．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，正确作出辅助线，证明Rt△ADF≌Rt△ADE是解题的关键．22．【分析】由“HL”可证Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的数量关系可求解．解：在Rt△ABH和Rt△DEF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），∴∠EDF=∠BAH，∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，∴∠B=∠DAH，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，∴∠ACB=90°-∠CAH=3y，∵∠DAC+n∠ACB=90°，∴x+3ny=90°，∴3n=2，∴n=，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．23．8或15【分析】分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=15cm．解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=8cm；②当P运动到与C点重合时，如图2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），即AP=AC=15cm．综上所述，AP的长度是8cm或15cm．故答案为：8或15．【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．24．2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴△AED和△ACD都是直角三角形，在Rt△AED和Rt△ACD中，DE=DC,AD=AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL证明三角形全等是解答本题的关键．25．见分析【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD知△ACE和△BDF都是直角三角形，用AC=BD，CE=DF证明，得到∠C=∠D，AC∥BD．解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFD=90°，∵和中，，∴，∴∠C=∠D，∴AC∥BD．【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质，解决问题的关键是熟练运用斜边直角边定理证明两直角三角形全等．而全等三角形的对应角相等，内错角相等两直线平行．26．(1)证明见分析(2)【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．解：(1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；(2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°【点拨】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．27．(1)见分析(2)①90°；②见分析【分析】（1）先推出∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，然后证明△CAD≌△BAE得到∠ABE=∠C=45°，则∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，即EB⊥CD；（2）①同理可证△BAE≌△CAD，得到∠ABE=∠ACD，再由∠EMC=∠EBC