难点解析鲁教版（五四制）8年级数学下册试题（研优卷）附答案详解

鲁教版（五四制）8年级数学下册试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（）A．2 B． C． D．2、如图，在正方形ABCD中，，E是AD上的一点，且，F，G是AB，CD上的动点，且，，连接EF，FG，BG，当的值最小时，CG的长为（）A． B． C． D．3、若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（）A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和64、关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定5、如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F、G在边AC上，且DF∥EG∥BC，AD＝DE＝EB，若，则（）A．3 B．4 C．5 D．66、估计的值应该在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间7、方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法判断8、已知ABO∽DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、若，则的值是_______．2、如图，四边形ADEF为菱形，且，，那么______．3、如果α、β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则=_________．4、如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，，，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于________________．5、如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果＝，那么＝________________．6、如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为___．7、如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，且对角线BD⊥DC，AD=4，BC=9，则BD的长为_______．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图所示，在△ABC中，∠C=30°，BC=20，AC=16，E为BC中点．动点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P作PD//AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0<t<10）(1)当t＝3时，求PD的长；(2)设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S△DPQ：S△ABC＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．2、不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2＋3x﹣4＝0；(2)ax2＋bx＝0（a≠0）．3、一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．(1)若每件商品降价6元，则平均每天可售出______件；(2)当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元?4、如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．(1)求证：BE＝CE；(2)若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．5、解下列方程：(1)（x－1）2＝4；(2)x2＋3x－4＝0；(3)（4x－3）（1－x）＝0；(4)（x－1）2＝2（x－1）．6、如图，在中，，，点为的中点，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点出发后，过点作，交于点，连接．设点的运动时间为．(1)用含的式子表示的长；(2)求证：是等腰三角形；(3)当时（点和点，点和点是对应顶点），求的值；(4)连接，当的某一个顶点在的某条边的垂直平分线上时，直接写出的值．7、如图，在△ABC中，D是AC边上一点，DF∥AB交BC于点F，交AB于点E．(1)如果BD是△ABC的角平分线，求证：四边形BEDF是菱形．(2)如果BD是△ABC的中线且AC＝2BD，请判断四边形BEDF的形状并说明理由．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据矩形的性质和对称的性质得到AD=BC和，再根据相似的性质可得到ABBC=ADAE【详解】解：∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，∴，∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，∴ABBC∴，，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、相似多边形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．2、A【解析】【分析】先推出AE=FT，可得GF=BE=，推出EF+BG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，设CG=BT=x，则EF+BG=，欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．【详解】如图，过点G作GT⊥AB于T，设BE交FG于R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，∵GT⊥AB，∴∠GTB=90°，∴四边形BCGT是矩形，∴BC=GT，∴AB=GT，∵GF⊥BE，∴∠BRF=90°，∵∠ABE+∠BFR=90°，∠TGF+∠BFR=90°，∴∠ABE=∠TGF，在△BAE和△GTF中，，∴△BAE≌△GTF（ASA），∴AE=FT=1，∵AB=3，AE=1，∴BE===，∴GF=BE=，在Rt△FGT中，FG=是定值，∴EF+FG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，设CG=BT=x，则EF+BG==，欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，-3），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最小．∵N（2，1），M′（0，-3），∴直线M′N的解析式为y=2x-3，∴P（，0），∴x=时，的值最小．故选：A．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．3、D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．4、B【解析】【分析】根据一元二次方程的判别式的值即可作出判断．【详解】∵∴一元二次方程有两个不相等的实数根故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的值与一元二次方程根的个数的关系是关键．5、C【解析】【分析】利用，得到，，利用，得到，，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得和的面积，利用即可求得结论．【详解】解：，，．，，．，．，．．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用解答．6、B【解析】【分析】直接利用二次根式的运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．【详解】解：===∵∴故选：B【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的计算是解题关键．7、B【解析】【分析】根据可知或，进而求出x的取值即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，故方程由两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程，能够选用合适的方法快速解一元二次方程是解决本题的关键．8、C【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方直接得到答案即可．【详解】解：∵△ABO∽△DEO，且BO：EO=1：3，∴△ABO与△DEO的面积比是1：9，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大．二、填空题1、##【解析】【分析】利用设法进行计算即可解答．【详解】解：，，设，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握设法进行求解．2、2.4##【解析】【分析】由菱形的性质可得，进而得出，列出比例式，代入数值进行计算即可．【详解】四边形是菱形解得故答案为：2.4【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质得出相似比是解题的关键．3、2026【解析】【分析】因为α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，所以a2+3a-2=0即a2+3a=2，a+β=-3，整体代入即可解决问题．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，∴α2+3α-2=0即α2+3α=2，a+β=-3，∵α2+2α-β+2021=（α2+3α）-（α+β）+2021=2-（-3）+2021=2026，∴α2+2α-β+2021=2026，故答案为：2026．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=．4、【解析】【分析】由菱形的性质可得，，，由“”可证，可得，由面积的和差关系可求解．【详解】解：连接，四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，，阴影部分面积，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5、【解析】【分析】由DE∥AB可得，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，∴，∴，又∵＝，∴＝，又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．6、5【解析】【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．【详解】解：由旋转的性质可知：，，，，点在的延长线上，四边形为正方形，．又，．．．在和中，，，，，，，，，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．7、6【解析】【分析】先证明△ADB∽△DBC，通过对应边相等计算出BD的长度．【详解】解：∵AD//BC，BD⊥DC，∴∠ADB=∠DBC,且∠BDC=90°，∴∠BAD=∠BDC，∴△ADB∽△DBC，∴，∴，∴（负值舍去），故答案为：6．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理是解决本题的关键．三、解答题1、(1)(2)(3)或【解析】【分析】（1）根据题意先求得，根据可得，列出比例式代入数轴求解即可；（2）过点作于，证明，得出比例式，求得，根据含30度角的直角三角形的性质气得，求得，根据三角形的面积公式进行计算即可；（3）如图，作于，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，继而求得，由已知条件得出方程，解方程求解即可．(1)当时，，，即解得(2)过点作于，如图，为的中点，，，，，，，，，，，，的面积，即，(3)存在，使S△DPQ：S△ABC＝3：25，或，理由如下，如图，作于则，，，的面积，S△DPQ：S△ABC＝3：25，S△DPQ，，解得或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键．2、(1)方程有两个不相等的实数根(2)方程有两个实数根【解析】【分析】分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可．(1)∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根；(2)∵a≠0，∴方程ax2+bx＝0（a≠0）是一元二次方程，∵Δ＝（﹣b）2﹣4×a×0＝b2≥0，∴方程有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．3、(1)32(2)10元【解析】【分析】（1）利用平均每天的销售量=20+降低的价格÷2×4，即可求出每件商品降价6月时平均每天的销售量；（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（50-x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用该商品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．(1)20+×4=32（件）．故答案为：32．(2)设每件商品降价x元，则每件盈利（50-x）元，平均每天可售出20+×4=（20+2x）件，依题意得：（50-x）（20+2x）=1600，整理得：x2-40x+300=0，解得：x1=10，x2=30．当x=10时，50-x=50-10=40＞25，符合题意；当x=30时，50-x=50-30=20＜25，不符合题意，舍去．答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4、(1)见解析(2)∠ABE＝18°【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，再证△ECB≌△ECD（SAS），得出BE＝DE，根据MN垂直平分线段CD，得出EC＝ED即可；（2）根据等腰三角形内角和可求∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣72°）＝54°，根据EB＝EC，求出∠EBC＝∠ECB＝54°即可．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，在△ECB和△ECD中，，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴BE＝DE，由作图可知，MN垂直平分线段CD，∴EC＝ED，∴BE＝CE．(2)解：∵BA＝BC，∠ABC＝72°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣72°）＝54°，∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝54°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝18°．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题关键．5、(1)x1＝3，x2＝－1(2)x1＝－4，x2＝1(3)x1＝，x2＝1(4)x1＝3，x2＝1【解析】【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．(1)解：开平方得：x﹣1=±2，解得：x1=3，x2=﹣1；(2)解：分解因式得：（x+4）（x﹣1）=0，可得x+4=0或x﹣1=0，解得：x1=﹣4，x2=1；(3)解：由原方程可知4x﹣3＝0或1﹣x＝0，解得：x1＝，x2＝1；(4)解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．